---
kurs:
- M0067M
kapitel: "1.8–1.9"
tags:
- linjär-algebra
- linjär-avbildning
- matris
förkunskaper:
- "[[Matriser]]"
- "[[Linjära ekvationssystem]]"
- "[[Linjära ekvationssystem]]"
status: true
aliases:
- Linjär avbildning
- Linear transformation
- Matrisavbildning
---
> **Kapitel:** 1.8–1.9 · **Ämne:** Linjär algebra
> **Förkunskaper:** [[Matrisinvers]], [[Matriser]]
---
## 1. Utökad sats för inverterbara matriser
### Sats (TFAE för $n \times n$ matris)
Följande är ekvivalenta:
1. $A$ är inverterbar
2. $A\vec{x} = \vec{0} \Rightarrow \vec{x} = \vec{0}$
3. $A\vec{x} = \vec{b}$ har lösning för varje $\vec{b}$
4. $A\vec{x} = \vec{b}$ har **precis en** lösning för varje $\vec{b}$
### Höger- och vänsterinvers
För $n \times n$ matriser $A$, $B$, $C$:
- $AC = I \Rightarrow A^{-1} = C$ (högerinvers)
- $BA = I \Rightarrow A^{-1} = B$ (vänsterinvers)
---
## 2. Linjära avbildningar
> [3B1B: Linear transformations and matrices](https://youtu.be/kYB8IZa5AuE)
### 2.1 Definition
En funktion $T: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$ är en **linjär avbildning** om:
$$
\vec{x} \in \mathbb{R}^n \xrightarrow{T} A\vec{x} \in \mathbb{R}^m
$$
Vi skriver $T = T_A$ där $T_A(\vec{x}) = A\vec{x}$.
### 2.2 Egenskaper
| Egenskap | Definition |
|----------|------------|
| **Additiv** | $T_A(\vec{x} + \vec{y}) = T_A(\vec{x}) + T_A(\vec{y})$ |
| **Homogen** | $T_A(c\vec{x}) = cT_A(\vec{x})$ |
| **Linjär** | $T_A(c\vec{x} + d\vec{y}) = cT(\vec{x}) + dT(\vec{y})$ |
---
## 3. Fundamental sats
### 3.1 Sats
En avbildning $T: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$ är en matrisavbildning (dvs. $T = T_A$ för någon matris $A$) om och endast om:
1. $T(\vec{x} + \vec{y}) = T(\vec{x}) + T(\vec{y})$ (additiv)
2. $T(c\vec{x}) = cT(\vec{x})$ (homogen)
$$
\boxed{\text{Linjär} \Longleftrightarrow \text{Matrisavbildning}}
$$
### 3.2 Sats: Unikhet
Om $T_A(\vec{x}) = T_B(\vec{x})$ för alla $\vec{x} \in \mathbb{R}^n$, då är $A = B$.
---
## 4. Standardbasvektorer och standardmatrisen
$$
\vec{e}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix}, \quad
\vec{e}_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix}, \quad \ldots \quad
\vec{e}_n = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 1 \end{pmatrix}
$$
**Definition:** Standardmatrisen för en linjär avbildning $T$ är:
$$
\boxed{A = [T(\vec{e}_1) \quad T(\vec{e}_2) \quad \cdots \quad T(\vec{e}_n)]}
$$
där $\vec{e}_i$ är standardbasvektorerna.
> [!example]- Bestäm standardmatrisen
>
> Givet $T: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^3$ definierad av:
> $$
> T\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2x_1 - x_2 \\ x_1 + 3x_2 \\ x_1 \end{pmatrix}
> $$
>
> **Beräkna:**
> $$
> T(\vec{e}_1) = T\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}, \quad
> T(\vec{e}_2) = T\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}
> $$
>
> **Standardmatrisen:**
> $$
> A = \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 3 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}
> $$
---
## 5. Två typer av uppgifter
| Fråga | Beskrivning |
|-------|-------------|
| "På vad avbildas $\vec{v}$?" | Beräkna $T(\vec{v}) = A\vec{v}$ |
| "Vad avbildas på $\vec{w}$?" | Lös $A\vec{x} = \vec{w}$ |
---
## 6. Linjära operatorer i $\mathbb{R}^2$
> [3B1B: Linear transformations](https://youtu.be/kYB8IZa5AuE) · [interaktiv GeoGebra](https://www.geogebra.org/m/VjhNaB8V)
### 6.1 Spegling
**Spegling genom en linje som går genom origo.**
**Tillvägagång:** Gå vinkelrätt mot speglingslinjen och gå lika långt åt andra hållet.
| Spegling | Matris |
|----------|--------|
| I x-axeln | $S = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}$ |
| I y-axeln | $S = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ |
| I linjen $y = x$ | $S = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$ |
> [!note]- Varför måste speglingslinjen gå genom origo?
> Annars är avbildningen inte linjär (den bevarar inte nollvektorn).
---
### 6.2 Projektion
**Ortogonal projektion på en linje genom origo.**
| Projektion | Matris |
|------------|--------|
| På x-axeln | $P = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$ |
| På y-axeln | $P = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ |
| På linjen $y = x$ | $P = \begin{bmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{bmatrix}$ |
---
### 6.3 Rotation i $\mathbb{R}^2$
**Rotation moturs med vinkel $\theta$:**
$$
\boxed{R_\theta = \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix}}
$$
**Härledning:**
$$
\vec{x} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} r\cos\phi \\ r\sin\phi \end{pmatrix}
$$
$$
R_\theta(\vec{x}) = \begin{pmatrix} r\cos(\phi + \theta) \\ r\sin(\phi + \theta) \end{pmatrix}
$$
Använd additionsformlerna för att få rotationsmatrisen.
> [!example]- Rotation $\frac{\pi}{3}$: Vad avbildas på $(1, 2)$?
>
> $$
> R_{\frac{\pi}{3}} = \begin{bmatrix} \cos\frac{\pi}{3} & -\sin\frac{\pi}{3} \\ \sin\frac{\pi}{3} & \cos\frac{\pi}{3} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \end{bmatrix}
> $$
>
> Lös $R_{\frac{\pi}{3}} \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$
> [!note]- Rotation medurs
> 30° medurs = $-30°$ moturs, så använd $R_{-30°}$
---
## 7. Sammansättningar av avbildningar
> [3B1B: Matrix multiplication as composition](https://youtu.be/XkY2DOUCWMU)
### 7.1 Definition
Givet:
- $S: \mathbb{R}^k \to \mathbb{R}^m$
- $T: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^k$
Sammansättningen:
$$
S \circ T: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m, \quad (S \circ T)(\vec{x}) = S(T(\vec{x}))
$$
### 7.2 Satser
**Sats 1:** Om $S$ och $T$ är linjära, så är $S \circ T$ linjär.
**Sats 2:** Om $S = S_A$ och $T = T_B$, så är:
$$
\boxed{S \circ T = T_{AB}}
$$
**Bevis:**
$(S \circ T)(\vec{x}) = S(T(\vec{x})) = S(B\vec{x}) = A(B\vec{x}) = (AB)\vec{x}$
**Formel:**
$$
T_A \circ T_B = T_{AB}
$$
> [!warning]- Matrismultiplikation är ej kommutativ
> $AB \neq BA$ i allmänhet! Ordningen spelar roll.
> [!note]- Kan man alltid gå tillbaka?
> Nej, det kräver att avbildningen är **injektiv** (en-till-en).
---
## 8. Inverser av linjära avbildningar
### Sats
$$
\boxed{T_A^{-1} = T_{A^{-1}}}
$$
**Bevis:**
$$
T_{A^{-1}} \circ T_A(\vec{x}) = T_{A^{-1}}(A\vec{x}) = A^{-1}(A\vec{x}) = I\vec{x} = \vec{x}
$$
> [!note]- Krav
> Avbildningen måste vara $T_A: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$ (kvadratisk matris).
---
## 9. Exempel: Sammansatt avbildning
> [!example]- Rotation följt av spegling
>
> **Problem:** Bestäm matrisen för avbildningen som:
> 1. Först roterar $\frac{\pi}{3}$ moturs
> 2. Sedan speglar i x-axeln
>
> På vad avbildas $\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$?
>
> ---
>
> **Steg 1: Rotationsmatris**
> $$
> R_{\frac{\pi}{3}} = \begin{bmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \end{bmatrix}
> $$
>
> **Steg 2: Speglingsmatris (i x-axeln)**
> $$
> S = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}
> $$
>
> **Steg 3: Sammansatt matris** (spegling $\circ$ rotation = $S \cdot R$)
> $$
> S \cdot R_{\frac{\pi}{3}} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\ -\frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2} \end{bmatrix}
> $$
>
> **Steg 4: Avbilda vektorn**
> $$
> \begin{bmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\ -\frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2} \end{bmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 - \sqrt{3} \\ -\sqrt{3} - 1 \end{pmatrix}
> $$
---
## 10. Kvadrater av operatorer
| Operator | Beräkning | Resultat |
|----------|-----------|----------|
| Spegling $S$ (i $y=x$) | $S^2 = S \circ S$ | $S^2 = I$ |
| Projektion $P$ (på $y=x$) | $P^2 = P \circ P$ | $P^2 = P$ (idempotent) |
| Rotation $R_\theta$ | $R_\theta^2 = R_\theta \circ R_\theta$ | $R_\theta^2 = R_{2\theta}$ |
> [!example]- Beräkningar
>
> **Spegling i $y = x$:**
> $$
> S^2 = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = I
> $$
>
> **Projektion på $y = x$:**
> $$
> P^2 = \begin{bmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{bmatrix}^2 = \begin{bmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{bmatrix} = P
> $$
>
> **Rotation:**
> $$
> R_\theta^2 = \begin{bmatrix} \cos 2\theta & -\sin 2\theta \\ \sin 2\theta & \cos 2\theta \end{bmatrix} = R_{2\theta}
> $$
---
## 11. Inverser av operatorer
| Operator | Invers | Kommentar |
|----------|--------|-----------|
| Spegling $S$ | $S^{-1} = S$ | Spegling är sin egen invers |
| Projektion $P$ | **Existerar ej** | Singulär matris |
| Rotation $R_\theta$ | $R_\theta^{-1} = R_{-\theta}$ | Rotera tillbaka |
> [!warning]- Varför är projektionsmatrisen ej inverterbar?
> Den är **singulär** -- flera vektorer avbildas på samma punkt.
> Projektionsmatriser är **aldrig** inverterbara.
---
## Resurser
### Videor
- [3Blue1Brown: Linear transformations and matrices (kap 3)](https://youtu.be/kYB8IZa5AuE) -- visuellt vad linjära avbildningar gör med rummet
- [3Blue1Brown: Matrix multiplication as composition (kap 4)](https://youtu.be/XkY2DOUCWMU) -- sammansättningar av avbildningar, hur sammansatta avbildningar motsvarar matrismultiplikation
- [3Blue1Brown: Three-dimensional linear transformations (kap 5)](https://youtu.be/rHLEWRxRGiM) -- avbildningar i 3D
- [3Blue1Brown: Inverse matrices, column space and null space (kap 7)](https://youtu.be/uQhTuRlWMxw) -- inversa avbildningar, singulära matriser
### Interaktiva verktyg
GeoGebra: Matrix Transformations -- applicera matriser på former, se rotation/spegling/skalning
GeoGebra: 2D Linear Transformations -- dra basvektorer, se effekten
GeoGebra: Matrix Representation of Rotation -- rotationsmatriser visualiserade
- [Falstad: Matrix Simulation](https://www.falstad.com/matrix/) -- interaktiv 2D-transformation med determinant och egenvärden
- [MatVis -- Interactive Matrix Visualization](https://shad.io/MatVis/) -- inspirerad av 3B1B, sliders för matriskomponenter, egenvektorer
- [Desmos: Linear Transformations](https://www.desmos.com/calculator/yfeeqwkrhd)
- [Visualize It: Linear Transformations](https://visualize-it.github.io/linear_transformations/simulation.html) -- skalning, rotation, skjuvning
### Wikipedia
- [Linear map](https://en.wikipedia.org/wiki/Linear_map)
- [Transformation matrix](https://en.wikipedia.org/wiki/Transformation_matrix)
- [Rotation matrix](https://en.wikipedia.org/wiki/Rotation_matrix)
- [Projection (linear algebra)](https://en.wikipedia.org/wiki/Projection_(linear_algebra))
- [Function composition](https://en.wikipedia.org/wiki/Function_composition)
### Fördjupning
- [3Blue1Brown: Lesson page -- Linear transformations](https://www.3blue1brown.com/lessons/linear-transformations) -- interaktiva övningar
- [3Blue1Brown: Lesson page -- Matrix multiplication](https://www.3blue1brown.com/lessons/matrix-multiplication) -- interaktiva övningar
- [Georgia Tech: Interactive Linear Algebra](https://textbooks.math.gatech.edu/ila/) -- fri interaktiv lärobok