Geometri för linjära system

Linjär kombination

En linjär kombination av vektorer ${\vec{v}}_1,{\vec{v}}_2,\dots ,{\vec{v}}_k$: $c_1{\vec{v}}_1+c_2{\vec{v}}_2+\cdots +c_k{\vec{v}}_k$

Geometrisk tolkning av $A\vec{x}=\vec{b}$

Systemet $A\vec{x}=\vec{b}$ frågar:

Kan $\vec{b}$ skrivas som en linjär kombination av kolonnerna i $A$?

Lösningsfall

• Unik lösning: $\vec{b}$ ligger i kolonnrummet, kolonnerna är linjärt oberoende
• Oändligt många lösningar: $\vec{b}$ i kolonnrummet, kolonnerna är linjärt beroende
• Ingen lösning: $\vec{b}$ ligger inte i kolonnrummet

Linjer och plan

• Linje: $\vec{r}(t)=\vec{p}+t\vec{d}$
• Plan: $\vec{r}(s,t)=\vec{p}+s\vec{u}+t\vec{v}$
• Plan (normalform): $\vec{n}\cdot (\vec{r}-\vec{p})=0$

---

Resurser

• 3Blue1Brown: Vectors, what even are they? (kap 1)
• 3Blue1Brown: Inverse matrices, column space and null space (kap 7) GeoGebra: Span of Two Vectors in 3D

- [Wikipedia: System of linear equations — Geometric interpretation](https://en.wikipedia.org/wiki/System_of_linear_equations#Geometric_interpretation)