Bas och koordinater

---

1. Vad är en bas?

3B1B: Linear combinations, span, and basis vectors

I V4L2 M0067M lärde vi oss två begrepp:

• Span — vilka vektorer kan vi nå?
• Linjärt oberoende — är vår vektormängd effektiv (inga onödiga)?

En bas kombinerar dessa två krav. Den är en vektormängd som är precis lagom stor: stor nog att nå allting, men utan överflödiga vektorer.

1.1 Definition

Definition: Bas

Låt $W$ vara ett underrum till ett vektorrum $V$.

En mängd $B=\{{\vec{b}}_1,{\vec{b}}_2,\dots ,{\vec{b}}_p\}$ är en bas för $W$ om:

1. $B$ är linjärt oberoende
2. $B$ spänner upp $W$, dvs. $\text{span}(B)=W$

Intuition: En bas är den minimala uppsättningen vektorer som fortfarande kan bygga allt i rummet. Ta bort en vektor och du kan inte längre nå allt. Lägg till en och den är överflödig.

1.2 Geometrisk intuition

Rum	Bas behöver…	Exempel
En linje genom origo	1 vektor (i linjens riktning)	$\{(1,2)\}$ för linjen $y=2x$
${\mathbb{R}}^2$	2 ej parallella vektorer	$\{(1,0),(0,1)\}$
Ett plan genom origo i ${\mathbb{R}}^3$	2 ej parallella vektorer i planet	$\{(1,0,0),(0,1,0)\}$ för $xy$-planet
${\mathbb{R}}^3$	3 vektorer som inte ligger i samma plan	$\{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\}$

---

2. Standardbaser

Varje “vanligt” vektorrum har en naturlig, enkel bas som kallas standardbasen.

2.1 Standardbas för ${\mathbb{R}}^n$

I ${\mathbb{R}}^n$ är standardbasen:

$\{{\vec{e}}_1,{\vec{e}}_2,\dots ,{\vec{e}}_n\}$

där ${\vec{e}}_i$ har en etta i position $i$ och nollor överallt annars.

Standardbasen för ${\mathbb{R}}^2$ och ${\mathbb{R}}^3$

${\mathbb{R}}^2$: $\left\{\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]\right\}$

${\mathbb{R}}^3$: $\left\{\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right]\right\}$

Verifiering (t.ex. ${\mathbb{R}}^3$):

• Linjärt oberoende: $c_1{\vec{e}}_1+c_2{\vec{e}}_2+c_3{\vec{e}}_3=\vec{0}$ ger direkt $c_1=c_2=c_3=0$ ✓
• Spänner upp: Varje $\left[\begin{array}{c}a\\ b\\ c\end{array}\right]=a{\vec{e}}_1+b{\vec{e}}_2+c{\vec{e}}_3$ ✓

2.2 Standardbas för ${\mathcal{P}}_n$

I polynomrummet ${\mathcal{P}}_n$ (polynom med grad $\le n$) är standardbasen:

$\{1,x,x^2,\dots ,x^n\}$

Standardbaser för polynomrum

${\mathcal{P}}_2$: $\{1,x,x^2\}$ — varje polynom $a+bx+c{x}^2$ är en linjärkombination av dessa.

${\mathcal{P}}_3$: $\{1,x,x^2,x^3\}$ — varje polynom av grad $\le 3$ kan skrivas $a+bx+c{x}^2+d{x}^3$.

Verifiering för ${\mathcal{P}}_2$:

• Linjärt oberoende: $c_1\cdot 1+c_2\cdot x+c_3\cdot x^2=0$ för alla $x$ kräver $c_1=c_2=c_3=0$ ✓
• Spänner upp: Per definition är varje polynom i ${\mathcal{P}}_2$ en linjärkombination $a\cdot 1+b\cdot x+c\cdot x^2$ ✓

2.3 Standardbas för $M_{m\times n}$

I matrisrummet $M_{m\times n}$ är standardbasen mängden av alla matriser med exakt en etta och resten nollor.

Standardbasen för $M_{2\times 2}$

$\left\{\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{cc}0& 0\\ 1& 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 1\end{array}\right]\right\}$

Varje $2\times 2$-matris kan skrivas: $\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]=a\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right]+b\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right]+c\left[\begin{array}{cc}0& 0\\ 1& 0\end{array}\right]+d\left[\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 1\end{array}\right]$

Basen har 4 element — det stämmer med att $M_{2\times 2}$ har dimension 4.

---

3. Är en given mängd en bas? — metod

För att kontrollera om $\{{\vec{v}}_1,\dots ,{\vec{v}}_p\}$ är en bas för ett rum med dimension $n$:

Steg-för-steg:

1. Skriv vektorerna som kolumner i en matris $A$
2. Radreducera till trappstegsform
3. Kontrollera:
   • Varje kolumn har en pivot → linjärt oberoende ✓
   • Varje rad har en pivot → spänner upp ✓
   • Båda gäller → bas ✓

Genväg: räkna vektorer

Om du vet att rummet har dimension $n$ och du har exakt $n$ vektorer, räcker det att kontrollera ett av villkoren (oberoende ELLER spänner upp) — det andra följer automatiskt! Detta beror på att en $n\times n$-matris har en pivot i varje kolumn om och bara om den har en pivot i varje rad.

Räkneexempel: Är tre polynom en bas för ${\mathcal{P}}_2$? (möjlig tentauppgift)

Givet:

• $p_1(x)=1+x-x^2$
• $p_2(x)=1-x+x^2$
• $p_3(x)=1+x$

Fråga: Är $\{p_1,p_2,p_3\}$ en bas för ${\mathcal{P}}_2$?

Steg 1: Identifiera koefficienter och skriv som kolumner. Varje polynom $a+bx+c{x}^2$ motsvarar vektorn $\left[\begin{array}{c}a\\ b\\ c\end{array}\right]$:

$p_1\leftrightarrow \left[\begin{array}{c}1\\ 1\\ -1\end{array}\right],p_2\leftrightarrow \left[\begin{array}{c}1\\ -1\\ 1\end{array}\right],p_3\leftrightarrow \left[\begin{array}{c}1\\ 1\\ 0\end{array}\right]$

Steg 2: Bilda matris och radreducera: $A=\left[\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& -1& 1\\ -1& 1& 0\end{array}\right]$

$R_2\leftarrow R_2-R_1$: $\left[\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 0& -2& 0\\ -1& 1& 0\end{array}\right]$

$R_3\leftarrow R_3+R_1$: $\left[\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 0& -2& 0\\ 0& 2& 1\end{array}\right]$

$R_3\leftarrow R_3+R_2$: $\left[\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 0& -2& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$

Steg 3: Tre pivoter i en $3\times 3$-matris → varje kolumn har en pivot OCH varje rad har en pivot.

Svar: Ja, $\{p_1,p_2,p_3\}$ är en bas för ${\mathcal{P}}_2$. ✓

Räkneexempel: Två vektorer i ${\mathbb{R}}^2$

Är $B=\left\{\left[\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}3\\ 1\end{array}\right]\right\}$ en bas för ${\mathbb{R}}^2$?

Snabbkoll: Vi har 2 vektorer i ${\mathbb{R}}^2$ ($\dim =2$). Alltså räcker det att kontrollera linjärt oberoende.

Är $(3,1)=k\cdot (1,2)$ för något $k$? Det ger $k=3$ och $k=1/2$ — motsägelse. Vektorerna är inte parallella → linjärt oberoende ✓.

Eftersom 2 oberoende vektorer i ${\mathbb{R}}^2$ (dim 2) automatiskt spänner upp: Ja, $B$ är en bas för ${\mathbb{R}}^2$. ✓

---

4. Unik representation — varför baser är så användbara

Den centrala anledningen till att baser är viktiga är att de ger oss ett koordinatsystem.

Sats: Unik representation

Låt $B=\{{\vec{b}}_1,{\vec{b}}_2,\dots ,{\vec{b}}_p\}$ vara en bas för vektorrummet $V$.

För varje $\vec{x}\in V$ finns en unik uppsättning skalärer $c_1,c_2,\dots ,c_p$ sådana att

$\vec{x}=c_1{\vec{b}}_1+c_2{\vec{b}}_2+\cdots +c_p{\vec{b}}_p$

Varför? Beviset har två delar:

1. Existens: Eftersom $B$ spänner upp $V$ kan varje $\vec{x}$ skrivas som en linjärkombination av basvektorerna.
2. Unikhet: Antag att det finns två representationer: $\vec{x}=c_1{\vec{b}}_1+\cdots +c_p{\vec{b}}_p\text{och}\vec{x}=d_1{\vec{b}}_1+\cdots +d_p{\vec{b}}_p$ Subtrahera: $(c_1-d_1){\vec{b}}_1+\cdots +(c_p-d_p){\vec{b}}_p=\vec{0}$. Eftersom $B$ är linjärt oberoende måste $c_i-d_i=0$ för alla $i$, alltså $c_i=d_i$. Representationen var densamma! ∎

Varför spelar det roll?

Utan unikhet hade koordinater varit meningslösa — samma vektor kunde ha olika “adresser”. Unikheten garanterar att varje vektor har exakt en uppsättning koordinater relativt en given bas, precis som varje punkt på en karta har exakt en GPS-position.

---

5. Koordinater relativt en bas

3B1B: Change of basis

5.1 Definition

Definition: Koordinatvektor

Låt $B=\{{\vec{b}}_1,{\vec{b}}_2,\dots ,{\vec{b}}_p\}$ vara en bas för $V$ och låt $\vec{x}\in V$.

Om $\vec{x}=c_1{\vec{b}}_1+c_2{\vec{b}}_2+\cdots +c_p{\vec{b}}_p$ kallas

$[\vec{x}{]}_B=\left[\begin{array}{c}{c}_1\\ c_2\\ ⋮\\ c_p\end{array}\right]\in {\mathbb{R}}^p$

koordinatvektorn för $\vec{x}$ relativt basen $B$.

Med andra ord: koordinatvektorn talar om “hur mycket av varje basvektor” som behövs för att bygga $\vec{x}$.

Koordinater beror på basen!

Samma vektor $\vec{x}$ får olika koordinater beroende på vilken bas man väljer. Basen fungerar som ett “perspektiv” — byt perspektiv och siffrorna ändras, men vektorn i sig är densamma.

5.2 Specialfall: standardbasen

Om $B$ är standardbasen $\{{\vec{e}}_1,\dots ,{\vec{e}}_n\}$ för ${\mathbb{R}}^n$, så är koordinatvektorn identisk med själva vektorn:

$[\vec{x}{]}_{\text{standard}}=\vec{x}$

Det är därför vi “normalt” inte tänker på koordinater — vi jobbar redan i standardbasen utan att reflektera över det.

---

5.3 Exempel

Koordinater i ${\mathbb{R}}^2$: givet koordinatvektor, hitta $\vec{x}$

Låt $B=\left\{{\vec{b}}_1,{\vec{b}}_2\right\}$ med ${\vec{b}}_1=\left[\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right]$, ${\vec{b}}_2=\left[\begin{array}{c}3\\ 1\end{array}\right]$.

Givet: $[\vec{x}{]}_B=\left[\begin{array}{c}2\\ 5\end{array}\right]$. Vad är $\vec{x}$ (i standardkoordinater)?

Lösning: $\vec{x}=2{\vec{b}}_1+5{\vec{b}}_2=2\left[\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right]+5\left[\begin{array}{c}3\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}2\\ 4\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}15\\ 5\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}17\\ 9\end{array}\right]$

Svar: $\vec{x}=\left[\begin{array}{c}17\\ 9\end{array}\right]$

Tolkning: I bas $B$:s “koordinatsystem” är adressen $(2,5)$, men i standard­koordinater hamnar vi på $(17,9)$.

Koordinater i ${\mathbb{R}}^2$: givet $\vec{x}$, hitta koordinatvektorn

Samma bas: $B=\left\{\left[\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}3\\ 1\end{array}\right]\right\}$.

Givet: $\vec{x}=\left[\begin{array}{c}7\\ 0\end{array}\right]$. Bestäm $[\vec{x}{]}_B$.

Lösning: Vi söker $c_1,c_2$ sådana att $c_1\left[\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right]+c_2\left[\begin{array}{c}3\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}7\\ 0\end{array}\right]$.

Ekvationssystem: $\{\begin{array}{l}{c}_1+3c_2=7\\ 2c_1+c_2=0\end{array}$

Radreducera den utökade matrisen: $\left[\begin{array}{ccc}1& 3& 7\\ 2& 1& 0\end{array}\right]\stackrel{R_2-2R_1}{\to }\left[\begin{array}{ccc}1& 3& 7\\ 0& -5& -14\end{array}\right]\stackrel{R_2/(-5)}{\to }\left[\begin{array}{ccc}1& 3& 7\\ 0& 1& \frac{14}{5}\end{array}\right]$

$\stackrel{R_1-3R_2}{\to }\left[\begin{array}{ccc}1& 0& -\frac{7}{5}\\ 0& 1& \frac{14}{5}\end{array}\right]$

Svar: $[\vec{x}{]}_B=\left[\begin{array}{c}-7/5\\ 14/5\end{array}\right]$

Kontroll: $-\frac{7}{5}\left[\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right]+\frac{14}{5}\left[\begin{array}{c}3\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}-7/5+42/5\\ -14/5+14/5\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}35/5\\ 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}7\\ 0\end{array}\right]$ ✓

Notera: Att svaret innehåller bråk är helt normalt — det beror på att basvektorerna inte är ortogonala med heltalslängder.

Koordinater i ${\mathcal{P}}_2$

Låt $B=\{p_1,p_2,p_3\}$ med:

• $p_1(x)=1-x$
• $p_2(x)=1+x$
• $p_3(x)=1-x^2$

Givet: Bestäm koordinaterna för $q(x)=1+x+x^2$ relativt $B$.

Lösning: Vi söker $c_1,c_2,c_3$ sådana att: $c_1(1-x)+c_2(1+x)+c_3(1-x^2)=1+x+x^2$

Utveckla vänsterledet och samla termer: $(c_1+c_2+c_3)+(-c_1+c_2)x+(-c_3)x^2=1+x+x^2$

Jämför koefficienter:

Term	Vänsterled	Högerled
$x^0$ (konstant)	$c_1+c_2+c_3$	$1$
$x^1$	$-c_1+c_2$	$1$
$x^2$	$-c_3$	$1$

Ekvationssystem: $\{\begin{array}{l}{c}_1+c_2+c_3=1\\ -c_1+c_2=1\\ -c_3=1\end{array}$

Från ekvation (3): $c_3=-1$. Insatt i (1): $c_1+c_2=2$. Från (2): $-c_1+c_2=1$. Addera: $2c_2=3⟹c_2=\frac{3}{2}$, och då $c_1=\frac{1}{2}$.

Svar: $[q{]}_B=\left[\begin{array}{c}1/2\\ 3/2\\ -1\end{array}\right]$

Alltså: $1+x+x^2=\frac{1}{2}(1-x)+\frac{3}{2}(1+x)+(-1)(1-x^2)$

Kontroll: $\frac{1}{2}-\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}+\frac{3}{2}x-1+x^2=(\frac{1}{2}+\frac{3}{2}-1)+(-\frac{1}{2}+\frac{3}{2})x+x^2=1+x+x^2$ ✓

---

6. Räkneregler för koordinater

Koordinatvektorn bevarar de linjära operationerna — addition och skalärmultiplikation “fungerar likadant” i koordinater som i originalrummet.

Sats: Linjäritet hos koordinatavbildningen

Låt $B$ vara en bas för $V$ och låt $\vec{u},\vec{v}\in V$, $c\in \mathbb{R}$. Då gäller:

$[\vec{u}+\vec{v}{]}_B=[\vec{u}{]}_B+[\vec{v}{]}_B$ $[c\vec{u}{]}_B=c[\vec{u}{]}_B$

Varför? Om $\vec{u}=\sum a_i{\vec{b}}_i$ och $\vec{v}=\sum d_i{\vec{b}}_i$, så $\vec{u}+\vec{v}=\sum (a_i+d_i){\vec{b}}_i$, och koordinatvektorn för summan är just summan av koordinatvektorerna.

Vad detta innebär

Att lösa problem i ett “komplicerat” vektorrum (polynom, matriser, funktioner…) kan alltid översättas till att lösa motsvarande problem i ${\mathbb{R}}^n$ via koordinater. Denna koppling kallas isomorfi — rummen “ser likadana ut” algebraiskt.

---

7. Koordinater bevarar linjärt oberoende

Sats: Oberoende bevaras av koordinatavbildningen

Låt $V$ vara ett vektorrum med bas $B=\{{\vec{b}}_1,\dots ,{\vec{b}}_n\}$.

Då gäller för vektorer ${\vec{v}}_1,\dots ,{\vec{v}}_m\in V$:

$\{{\vec{v}}_1,\dots ,{\vec{v}}_m\}\text{ linja¨rt oberoende i }V⟺\{[{\vec{v}}_1{]}_B,\dots ,[{\vec{v}}_m{]}_B\}\text{ linja¨rt oberoende i }{\mathbb{R}}^n$

Bevis ($\Leftarrow$): Antag att koordinatvektorerna är linjärt oberoende i ${\mathbb{R}}^n$. Vi vill visa att originalvektorerna är oberoende i $V$.

Sätt $c_1{\vec{v}}_1+\cdots +c_m{\vec{v}}_m=\vec{0}$.

Ta koordinater relativt $B$ på båda sidor och använd linjäriteten:

$[c_1{\vec{v}}_1+\cdots +c_m{\vec{v}}_m{]}_B=[\vec{0}{]}_B$ $c_1[{\vec{v}}_1{]}_B+\cdots +c_m[{\vec{v}}_m{]}_B=\vec{0}$

Eftersom koordinatvektorerna är linjärt oberoende: $c_1=\cdots =c_m=0$. ∎

(Den andra riktningen bevisas helt analogt.)

Praktisk konsekvens

Du behöver aldrig jobba direkt med polynom, matriser eller andra abstrakta vektorer när du vill kontrollera linjärt oberoende — översätt till koordinater i ${\mathbb{R}}^n$ och radreducera som vanligt. Det är exakt vad vi har gjort i alla polynom- och matrisexempel hittills!

---

8. En kommentar om mängdnotation

Vi skriver baser med mängdparenteser $\{\}$. Formellt innebär detta att:

• Ordningen spelar ingen roll: $\{{\vec{b}}_1,{\vec{b}}_2\}=\{{\vec{b}}_2,{\vec{b}}_1\}$ som mängder
• Inga dubbletter: $\{\vec{v},\vec{v}\}=\{\vec{v}\}$

I praktiken spelar ordningen roll ändå!

Även om mängdnotationen säger att ordning inte spelar roll, beror koordinatvektorn på vilken ordning vi listar basvektorerna. Om vi byter ordning på ${\vec{b}}_1$ och ${\vec{b}}_2$ i basen flippar vi koordinaterna:

$[\vec{x}{]}_{\{{\vec{b}}_1,{\vec{b}}_2\}}=\left[\begin{array}{c}{c}_1\\ c_2\end{array}\right]$ men $[\vec{x}{]}_{\{{\vec{b}}_2,{\vec{b}}_1\}}=\left[\begin{array}{c}{c}_2\\ c_1\end{array}\right]$

Därför bör man strikt sett använda ordnade mängder (tupler) för baser, men konventionen i de flesta läroböcker är att använda $\{\}$ och underförstå att ordningen är given.

---

9. Beslutsträd

Är $\{{\vec{v}}_1,\dots ,{\vec{v}}_p\}$ en bas för $V$?

flowchart TD
    A["Givet: {v₁, ..., vₚ} i V med dim(V) = n"] --> B{"Har du rätt antal\nvektorer? (p = n)"}
    B -- "p ≠ n" --> NO["INTE EN BAS\np < n → kan inte spänna upp\np > n → kan inte vara oberoende"]
    B -- "p = n" --> C["Skriv vektorerna som kolumner\ni en n×n-matris och radreducera"]
    C --> D{"Har varje kolumn\nen pivot?\n(ekvivalent: har varje\nrad en pivot?)"}
    D -- Ja --> YES["BAS ✓\n• Linjärt oberoende ✓\n• Spänner upp V ✓"]
    D -- Nej --> NO2["INTE EN BAS\nVektorerna är linjärt beroende\noch spänner inte upp V"]

Hitta koordinater $[\vec{x}{]}_B$

flowchart TD
    A["Givet: bas B = {b₁,...,bₙ}\noch vektor x ∈ V"] --> B["Sätt upp ekvationen\nc₁b₁ + c₂b₂ + ... + cₙbₙ = x"]
    B --> C["Skriv som utökad matris\n[b₁ | b₂ | ... | bₙ | x]"]
    C --> D["Radreducera till\nreducerad trappstegsform"]
    D --> E["Läs av c₁, c₂, ..., cₙ\nfrån sista kolumnen"]
    E --> F["Svaret:\n[x]_B = (c₁, c₂, ..., cₙ)"]

---

10. Övningsuppgifter

Bas-uppgifter

Uppgift 1: Bas för ${\mathbb{R}}^3$?

Är $\left\{\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 1\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}0\\ 1\\ 1\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}1\\ 1\\ 0\end{array}\right]\right\}$ en bas för ${\mathbb{R}}^3$?

Ledtråd 1 ${\mathbb{R}}^3$ (dim = 3), så antalet stämmer. Det räcker att kontrollera ett av villkoren: linjärt oberoende eller spänner upp.

Vi har 3 vektorer i

Ledtråd 2 $3\times 3$-matrisen med vektorerna som kolumner och radreducera. Om alla tre kolumnerna har pivoter → bas.

Bilda

Facit Ja, det är en bas för ${\mathbb{R}}^3$.

Full lösning $\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 0& 1& 1\\ 1& 1& 0\end{array}\right]\stackrel{R_3-R_1}{\to }\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 0& 1& 1\\ 0& 1& -1\end{array}\right]\stackrel{R_3-R_2}{\to }\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 0& 1& 1\\ 0& 0& -2\end{array}\right]$

Radreducera:

Tre pivoter i en $3\times 3$-matris → linjärt oberoende och spänner upp ${\mathbb{R}}^3$.

Alltså: $\left\{\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 1\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}0\\ 1\\ 1\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}1\\ 1\\ 0\end{array}\right]\right\}$ är en bas för ${\mathbb{R}}^3$. ✓

Uppgift 2: Bas för ${\mathcal{P}}_2$?

Är $\{1+x,x+x^2,1+x^2\}$ en bas för ${\mathcal{P}}_2$?

Ledtråd 1 ${\mathbb{R}}^3$: $(1+x)\leftrightarrow \left[\begin{array}{c}1\\ 1\\ 0\end{array}\right]$, $(x+x^2)\leftrightarrow \left[\begin{array}{c}0\\ 1\\ 1\end{array}\right]$, $(1+x^2)\leftrightarrow \left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 1\end{array}\right]$. Bilda matris och radreducera.

Översätt polynomen till vektorer i

Ledtråd 2 exakt samma matris som i uppgift 1 (fast kolumnerna i annan ordning). Alternativt: kontrollera om $(1+x^2)=(1+x)+(x+x^2)$ stämmer. Stämmer det?

Notera att detta ger

Facit Ja, det är en bas för ${\mathcal{P}}_2$.

Full lösning $\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 1& 1& 0\\ 0& 1& 1\end{array}\right]$

Översätt och bilda matris:

Radreducera: $R_2\leftarrow R_2-R_1$: $\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 0& 1& -1\\ 0& 1& 1\end{array}\right]$

$R_3\leftarrow R_3-R_2$: $\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 0& 1& -1\\ 0& 0& 2\end{array}\right]$

Tre pivoter → linjärt oberoende → Ja, det är en bas för ${\mathcal{P}}_2$! ✓

Poäng: Tre linjärt oberoende vektorer i ett 3-dimensionellt rum bildar alltid en bas.

---

Koordinat-uppgifter

Uppgift 3: Hitta koordinater i ${\mathbb{R}}^2$

Låt $B=\left\{\left[\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}1\\ 3\end{array}\right]\right\}$ och $\vec{x}=\left[\begin{array}{c}5\\ 5\end{array}\right]$.

Bestäm $[\vec{x}{]}_B$.

Ledtråd 1 $c_1\left[\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right]+c_2\left[\begin{array}{c}1\\ 3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}5\\ 5\end{array}\right]$, dvs. systemet $2c_1+c_2=5$ och $c_1+3c_2=5$.

Lös

Ledtråd 2 $c_1=5-3c_2$. Insatt i ekvation 1: $2(5-3c_2)+c_2=5⟹10-5c_2=5$.

Från ekvation 2:

Facit $[\vec{x}{]}_B=\left[\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right]$

Full lösning $\{\begin{array}{l}2c_1+c_2=5\\ c_1+3c_2=5\end{array}$

Ekvationssystem:

Utökad matris och radreducera: $\left[\begin{array}{ccc}2& 1& 5\\ 1& 3& 5\end{array}\right]\stackrel{R_1\leftrightarrow R_2}{\to }\left[\begin{array}{ccc}1& 3& 5\\ 2& 1& 5\end{array}\right]\stackrel{R_2-2R_1}{\to }\left[\begin{array}{ccc}1& 3& 5\\ 0& -5& -5\end{array}\right]$

Från rad 2: $-5c_2=-5⟹c_2=1$. Från rad 1: $c_1+3=5⟹c_1=2$.

$[\vec{x}{]}_B=\left[\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right]$

Kontroll: $2\left[\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right]+1\left[\begin{array}{c}1\\ 3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}4+1\\ 2+3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}5\\ 5\end{array}\right]$ ✓

Uppgift 4: Koordinater i polynomrum

Låt $B=\{1-x,1+x,1-x^2\}$ (samma bas som i exemplet ovan).

Bestäm $[3+x-2x^2{]}_B$.

Ledtråd 1 $c_1(1-x)+c_2(1+x)+c_3(1-x^2)=3+x-2x^2$ och jämför koefficienter.

Sätt upp ekvationen

Ledtråd 2

Koefficientjämförelsen ger:

• Konstant: $c_1+c_2+c_3=3$
• $x$: $-c_1+c_2=1$
• $x^2$: $-c_3=-2$

Facit $[3+x-2x^2{]}_B=\left[\begin{array}{c}0\\ 1\\ 2\end{array}\right]$

Full lösning $c_1(1-x)+c_2(1+x)+c_3(1-x^2)=(c_1+c_2+c_3)+(-c_1+c_2)x+(-c_3)x^2$

Utveckla:

Jämför med $3+x-2x^2$: $\{\begin{array}{l}{c}_1+c_2+c_3=3\\ -c_1+c_2=1\\ -c_3=-2\end{array}$

Från (3): $c_3=2$. Insatt i (1): $c_1+c_2=1$. Från (2): $-c_1+c_2=1$. Addera (1’) och (2): $2c_2=2⟹c_2=1$, och då $c_1=0$.

Kontroll: $0(1-x)+1(1+x)+2(1-x^2)=1+x+2-2x^2=3+x-2x^2$ ✓

Svar: $[3+x-2x^2{]}_B=\left[\begin{array}{c}0\\ 1\\ 2\end{array}\right]$

Uppgift 5: Från koordinater till vektor

Låt $B=\left\{\left[\begin{array}{c}1\\ 1\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}0\\ 1\\ 1\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 1\end{array}\right]\right\}$ vara en bas för ${\mathbb{R}}^3$.

Om $[\vec{x}{]}_B=\left[\begin{array}{c}3\\ -1\\ 2\end{array}\right]$, vad är $\vec{x}$?

Ledtråd $\vec{x}=c_1{\vec{b}}_1+c_2{\vec{b}}_2+c_3{\vec{b}}_3$ där $(c_1,c_2,c_3)$ läses direkt ur koordinatvektorn.

Facit $\vec{x}=\left[\begin{array}{c}5\\ 2\\ 1\end{array}\right]$

Full lösning $\vec{x}=3\left[\begin{array}{c}1\\ 1\\ 0\end{array}\right]+(-1)\left[\begin{array}{c}0\\ 1\\ 1\end{array}\right]+2\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}3\\ 3\\ 0\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}0\\ -1\\ -1\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}2\\ 0\\ 2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}5\\ 2\\ 1\end{array}\right]$

---

Konceptuella uppgifter

Uppgift 6: Sant eller falskt? (med motivering)

Avgör om påståendena är sanna eller falska. Motivera kort.

a) Standardbasen är den enda basen för ${\mathbb{R}}^n$. b) Om $B$ är en bas för $V$ och $\vec{x}\in V$, så finns det exakt en koordinatvektor $[\vec{x}{]}_B$. c) Om $\{{\vec{v}}_1,{\vec{v}}_2\}$ är linjärt oberoende i ${\mathbb{R}}^3$, så är det en bas för ${\mathbb{R}}^3$. d) Om $\{{\vec{v}}_1,{\vec{v}}_2,{\vec{v}}_3\}$ spänner upp ${\mathbb{R}}^3$, så är det en bas för ${\mathbb{R}}^3$. e) Varje vektorrum har en standardbas.

Ledtråd

Tänk på definitionen av bas: linjärt oberoende + spänner upp. Saknas ett villkor → inte en bas. Fundera också på vad “dimension” innebär för antalet vektorer i en bas.

Facit och motivering

a) Falskt. Det finns oändligt många baser för ${\mathbb{R}}^n$. T.ex. $\left\{\left[\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right]\right\}$ är en bas för ${\mathbb{R}}^2$ som inte är standardbasen.

b) Sant. Det är precis satsen om unik representation. Eftersom $B$ är en bas (oberoende + spänner upp) bestäms koordinaterna entydigt.

c) Falskt. Linjärt oberoende räcker inte — vi behöver även spänna upp. Två vektorer i ${\mathbb{R}}^3$ kan högst spänna upp ett plan (2-dimensionellt delrum), inte hela ${\mathbb{R}}^3$ (som är 3-dimensionellt). Vi behöver 3 vektorer.

d) Sant (under förutsättning att mängden också är linjärt oberoende). Men faktum är: 3 vektorer som spänner upp ${\mathbb{R}}^3$ måste vara linjärt oberoende. Varför? Matrisen med 3 kolumner i ${\mathbb{R}}^3$ som har en pivot i varje rad (spänner upp) har 3 pivoter i 3 kolumner — alltså en pivot per kolumn (oberoende). Sant.

e) Falskt. “Standardbasen” är bara definierad för rum som har en naturlig/kanonisk bas, som ${\mathbb{R}}^n$, ${\mathcal{P}}_n$ och $M_{m\times n}$. Godtyckliga vektorrum (t.ex. lösningsrum till differentialekvationer) behöver inte ha en “standard”-bas, även om de har baser.

Uppgift 7: Visa att koordinatavbildningen bevarar addition

Låt $B=\{{\vec{b}}_1,{\vec{b}}_2\}$ vara en bas för $V$.

Om $\vec{u}=3{\vec{b}}_1+2{\vec{b}}_2$ och $\vec{v}=-{\vec{b}}_1+4{\vec{b}}_2$, verifiera att $[\vec{u}+\vec{v}{]}_B=[\vec{u}{]}_B+[\vec{v}{]}_B$.

Ledtråd $\vec{u}+\vec{v}$ och bestäm koordinatvektorn. Beräkna sedan $[\vec{u}{]}_B+[\vec{v}{]}_B$ separat. Jämför.

Beräkna

Facit $[\vec{u}+\vec{v}{]}_B=[\vec{u}{]}_B+[\vec{v}{]}_B=\left[\begin{array}{c}2\\ 6\end{array}\right]$ ✓

Full lösning $\vec{u}+\vec{v}=(3{\vec{b}}_1+2{\vec{b}}_2)+(-{\vec{b}}_1+4{\vec{b}}_2)=2{\vec{b}}_1+6{\vec{b}}_2$

Alltså $[\vec{u}+\vec{v}{]}_B=\left[\begin{array}{c}2\\ 6\end{array}\right]$.

Å andra sidan: $[\vec{u}{]}_B+[\vec{v}{]}_B=\left[\begin{array}{c}3\\ 2\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}-1\\ 4\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}2\\ 6\end{array}\right]$.

Identiska! ✓ Koordinatavbildningen bevarar addition.

---

Resurser

Videor

• 3Blue1Brown: Linear combinations, span, and basis vectors (kap 2) — vad en bas är och varför den behövs
• 3Blue1Brown: Change of basis (kap 13) — koordinater relativt olika baser
• 3Blue1Brown: Abstract vector spaces (kap 16) — baser i abstrakta vektorrum

Wikipedia

• Basis (linear algebra)
• Coordinate vector
• Standard basis

Fördjupning

• Immersive Linear Algebra — Chapter 6: The Vector Space
• Georgia Tech — Interactive Linear Algebra: Basis and Dimension