Dimension

---

1. Alla baser har lika många vektorer

I V4L3 M0067M definierade vi begreppet bas — en linjärt oberoende mängd som spänner upp rummet. En naturlig fråga uppstår: kan olika baser för samma rum ha olika antal vektorer?

Svaret är nej. Detta är ett av de mest fundamentala resultaten i linjär algebra.

Sats: Alla baser har samma storlek

Låt $V$ vara ett vektorrum. Om $V$ har en bas med $n$ vektorer, så har varje bas för $V$ exakt $n$ vektorer.

Bevisidé: Antag att $B=\{{\vec{b}}_1,\dots ,{\vec{b}}_n\}$ och $C=\{{\vec{c}}_1,\dots ,{\vec{c}}_m\}$ båda är baser för $V$.

• Eftersom $B$ är en bas (spänner upp $V$) och $C$ är linjärt oberoende, måste $m\le n$ (fler oberoende vektorer än basvektorer kan inte finnas).
• Eftersom $C$ är en bas (spänner upp $V$) och $B$ är linjärt oberoende, måste $n\le m$.
• Alltså $m=n$. ∎

Varför är detta viktigt?

Det betyder att antalet basvektorer är en egenskap hos rummet, inte hos den specifika basen vi råkar välja. Detta antal förtjänar ett eget namn — dimensionen.

---

2. Definition av dimension

3B1B: Linear combinations, span, and basis vectors

Definition: Dimension

Låt $V$ vara ett vektorrum.

• Om $V$ har en bas med $n$ vektorer kallas $V$ ändligtdimensionellt och vi skriver $\dim (V)=n$.
• Om $V=\{\vec{0}\}$ (bara nollvektorn) definierar vi $\dim (V)=0$.
• Om $V$ inte kan spännas upp av ett ändligt antal vektorer kallas $V$ oändligtdimensionellt.

Med andra ord: dimensionen av ett vektorrum $V$ är antalet vektorer i en (vilken som helst) bas för $V$.

---

3. Dimensioner för vanliga vektorrum

Vektorrum	Standardbas	Dimension
${\mathbb{R}}^n$	$\{{\vec{e}}_1,{\vec{e}}_2,\dots ,{\vec{e}}_n\}$	$\dim ({\mathbb{R}}^n)=n$
${\mathcal{P}}_n$ (polynom grad $\le n$)	$\{1,x,x^2,\dots ,x^n\}$	$\dim ({\mathcal{P}}_n)=n+1$
$M_{m\times n}$ (alla $m\times n$-matriser)	Matriser med en etta, resten nollor	$\dim (M_{m\times n})=m\cdot n$
$\{\vec{0}\}$	$\varnothing$ (tom mängd)	$\dim =0$

Verifiering av dimensioner

${\mathbb{R}}^3$: Standardbasen $\{{\vec{e}}_1,{\vec{e}}_2,{\vec{e}}_3\}$ har 3 vektorer, alltså $\dim ({\mathbb{R}}^3)=3$.

${\mathcal{P}}_2$: Standardbasen $\{1,x,x^2\}$ har 3 element, alltså $\dim ({\mathcal{P}}_2)=3$.

$M_{2\times 3}$: Standardbasen har $2\cdot 3=6$ matriser (varje matris har en etta i exakt en av de 6 positionerna), alltså $\dim (M_{2\times 3})=6$.

${\mathcal{P}}_n$: Standardbasen $\{1,x,x^2,\dots ,x^n\}$ har $n+1$ element (grader $0,1,\dots ,n$), alltså $\dim ({\mathcal{P}}_n)=n+1$.

${\mathcal{P}}_n$ har dimension $n+1$, inte $n$!

Många gör misstaget att tro att $\dim ({\mathcal{P}}_n)=n$. Men polynomrummet ${\mathcal{P}}_n$ innehåller polynom av grad $\le n$, och basen $\{1,x,x^2,\dots ,x^n\}$ har $n+1$ element (glöm inte konstanttermen!).

Oändligtdimensionella rum

Mängden $\mathcal{P}$ av alla polynom (utan gradgräns) är oändligtdimensionellt.

Varför? Mängden $\{1,x,x^2,x^3,\dots \}$ är linjärt oberoende (inget polynom i listan kan skrivas som en linjärkombination av de andra), men den har oändligt många element. Inget ändligt antal polynom kan spänna upp alla polynom.

Likaså är $F(\mathbb{R})$ (alla funktioner $\mathbb{R}\to \mathbb{R}$) oändligtdimensionellt.

---

4. Centrala satser om dimension

Dimensionen ger oss kraftfulla verktyg för att snabbt avgöra frågor om linjärt oberoende och span.

4.1 Dimensionsbegränsningar

Sats: Övre gräns för oberoende

Om $\dim (V)=n$, så kan högst $n$ vektorer i $V$ vara linjärt oberoende.

Ekvivalent: varje mängd med fler än $n$ vektorer i $V$ är automatiskt linjärt beroende.

Sats: Undre gräns för uppspänning

Om $\dim (V)=n$, så krävs minst $n$ vektorer för att spänna upp $V$.

Ekvivalent: varje mängd med färre än $n$ vektorer kan inte spänna upp $V$.

Snabbslutsatser med dimension

• Kan 5 vektorer i ${\mathbb{R}}^3$ vara linjärt oberoende? Nej — $\dim ({\mathbb{R}}^3)=3$ och $5>3$.
• Kan 2 polynom spänna upp ${\mathcal{P}}_2$? Nej — $\dim ({\mathcal{P}}_2)=3$ och $2<3$.
• Kan 3 matriser spänna upp $M_{2\times 2}$? Nej — $\dim (M_{2\times 2})=4$ och $3<4$.
• Måste 4 vektorer i ${\mathbb{R}}^3$ vara linjärt beroende? Ja — $4>3=\dim ({\mathbb{R}}^3)$.

4.2 Genvägen: rätt antal vektorer

Sats: $n$ vektorer i ett $n$-dimensionellt rum

Låt $\dim (V)=n$ och låt $S=\{{\vec{v}}_1,\dots ,{\vec{v}}_n\}$ vara en mängd med exakt $n$ vektorer i $V$. Då gäller:

$S\text{ a¨r linja¨rt oberoende}⟺S\text{ spa¨nner upp }V⟺S\text{ a¨r en bas fo¨r }V$

Det räcker alltså att kontrollera ett av villkoren — det andra följer automatiskt!

Varför? Om vi har exakt $n$ vektorer i ett $n$-dimensionellt rum:

• Om de är oberoende: vi har $n$ oberoende vektorer, och det maximala antalet oberoende vektorer är $n$ (basens storlek). Att lägga till fler gör dem beroende, så de måste redan spänna upp.
• Om de spänner upp: vi har $n$ vektorer som spänner upp, och det minimala antalet som spänner upp är $n$. Om de vore beroende kunde vi ta bort en och fortfarande spänna upp med $n-1$ vektorer — men $n-1<n$ vektorer kan aldrig spänna upp. Motsägelse!

Praktisk nytta

Denna sats halverar arbetet! Om du vet dimensionen av rummet och har rätt antal vektorer behöver du bara kontrollera ett av:

• Linjärt oberoende (radreducera, kolla pivoter i varje kolumn)
• Spänner upp (radreducera, kolla pivoter i varje rad)

---

4.3 Plus/minus-satsen

Plus/minus-satsen

Låt $V$ vara ett vektorrum med $\dim (V)=n$.

Plus: Om $S$ är en linjärt oberoende mängd i $V$ som inte spänner upp $V$, så finns en vektor $\vec{v}\in V$ sådan att $S\cup \{\vec{v}\}$ fortfarande är linjärt oberoende.

Minus: Om $S$ spänner upp $V$ men inte är linjärt oberoende, så finns en vektor i $S$ som kan tas bort utan att minska spannet.

Intuition: Du kan alltid “bygga upp” till en bas genom att lägga till vektorer (plus), eller “trimma ner” till en bas genom att ta bort överflödiga vektorer (minus).

Bygg upp till en bas

Låt $V={\mathbb{R}}^3$ ($\dim =3$). Starta med den linjärt oberoende mängden $S=\left\{\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right]\right\}$.

$S$ spänner inte upp ${\mathbb{R}}^3$ (bara $x$-axeln). Enligt plus-satsen kan vi lägga till en vektor, t.ex. $\left[\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right]$:

$S^{\prime }=\left\{\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right]\right\}$

Fortfarande oberoende, men spänner bara upp $xy$-planet. Lägg till ytterligare en, t.ex. $\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right]$:

$S^{\prime \prime }=\left\{\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right]\right\}$

Nu har vi 3 oberoende vektorer i ${\mathbb{R}}^3$ — det är en bas!

Trimma ner till en bas

Låt $V={\mathbb{R}}^2$ ($\dim =2$). Mängden $S=\left\{\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right]\right\}$ spänner upp ${\mathbb{R}}^2$ men är linjärt beroende (3 vektorer i 2D).

Enligt minus-satsen kan vi ta bort en vektor utan att minska spannet. T.ex. $\left[\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]$, så ta bort den:

$S^{\prime }=\left\{\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]\right\}$

Nu har vi 2 oberoende vektorer i ${\mathbb{R}}^2$ — en bas!

---

5. Dimension av delrum

Sats: Dimensionssats för delrum

Låt $W$ vara ett delrum till ett ändligtdimensionellt vektorrum $V$. Då gäller:

1. $W$ är ändligtdimensionellt
2. $\dim (W)\le \dim (V)$
3. $\dim (W)=\dim (V)⟺W=V$

Tolkning:

• Ett delrum kan aldrig ha högre dimension än det omgivande rummet.
• Det enda delrummet med samma dimension som $V$ är $V$ självt.

Delrum till ${\mathbb{R}}^3$

Alla delrum till ${\mathbb{R}}^3$ (och deras dimensioner):

Dimension	Geometri	Beskrivning
$0$	Origo	$\{\vec{0}\}$
$1$	Linje genom origo	$\text{span}\{\vec{v}\}$ för någon $\vec{v}\ne \vec{0}$
$2$	Plan genom origo	$\text{span}\{\vec{u},\vec{v}\}$ för ej parallella $\vec{u},\vec{v}$
$3$	Hela ${\mathbb{R}}^3$	${\mathbb{R}}^3$ självt

Det finns inga andra delrum till ${\mathbb{R}}^3$!

Bestäm dimensionen av ett delrum (möjlig tentauppgift)

Bestäm dimensionen av delrummet $W=\text{span}\left\{\left[\begin{array}{c}1\\ 2\\ -1\\ 3\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}2\\ 4\\ -2\\ 6\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}0\\ 1\\ 1\\ -1\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}1\\ 3\\ 0\\ 2\end{array}\right]\right\}\subseteq {\mathbb{R}}^4$

Metod: Dimensionen av spannet = antalet linjärt oberoende vektorer = antalet pivoter vid radreducering.

Bilda matris med vektorerna som kolumner: $A=\left[\begin{array}{cccc}1& 2& 0& 1\\ 2& 4& 1& 3\\ -1& -2& 1& 0\\ 3& 6& -1& 2\end{array}\right]$

Radreducera: $\stackrel{R_2-2R_1,R_3+R_1,R_4-3R_1}{\to }\left[\begin{array}{cccc}1& 2& 0& 1\\ 0& 0& 1& 1\\ 0& 0& 1& 1\\ 0& 0& -1& -1\end{array}\right]$

$\stackrel{R_3-R_2,R_4+R_2}{\to }\left[\begin{array}{cccc}1& 2& 0& 1\\ 0& 0& 1& 1\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right]$

2 pivoter → $\dim (W)=2$.

Tolkning: Trots att vi startade med 4 vektorer i ${\mathbb{R}}^4$ spänner de bara upp ett 2-dimensionellt delrum (ett “plan” i ${\mathbb{R}}^4$). Vektor 2 är en multipel av vektor 1 ($2\cdot {\vec{v}}_1$) och vektor 4 är en kombination av de andra.

En bas för $W$ fås av de vektorer som motsvarar pivotkolumner: $\left\{\left[\begin{array}{c}1\\ 2\\ -1\\ 3\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}0\\ 1\\ 1\\ -1\end{array}\right]\right\}$.

---

6. Sammanfattning: dimensionsverktyg

Situation	Slutsats
$\dim (V)=n$ och du har $>n$ vektorer	Automatiskt linjärt beroende
$\dim (V)=n$ och du har $<n$ vektorer	Kan inte spänna upp $V$
$\dim (V)=n$ och du har exakt $n$ vektorer	Oberoende $⟺$ spänner upp $⟺$ bas
$W$ delrum till $V$	$\dim (W)\le \dim (V)$
$W$ delrum till $V$ med $\dim (W)=\dim (V)$	$W=V$

---

7. Beslutsträd

Bestäm dimensionen av ett delrum/span

flowchart TD
    A["Givet: W = span{v₁, ..., vₚ} ⊆ V"] --> B["Skriv vektorerna som kolumner\ni en matris A"]
    B --> C["Radreducera till\ntrappstegsform"]
    C --> D["Räkna antalet pivoter"]
    D --> E["dim(W) = antal pivoter"]
    E --> F{"Behöver du en bas?"}
    F -- Ja --> G["Välj de ursprungliga vektorer\nsom motsvarar pivotkolumner"]
    F -- Nej --> H["Klar!"]

Är mängden en bas? (med dimension)

flowchart TD
    A["Givet: {v₁, ..., vₚ} i V med dim(V) = n"] --> B{"p = n?"}
    B -- "p < n" --> NO1["INTE EN BAS\nFör få vektorer — kan inte\nspänna upp V"]
    B -- "p > n" --> NO2["INTE EN BAS\nFör många vektorer —\nautomatiskt beroende"]
    B -- "p = n" --> C["Kontrollera ETT av:\n• Linjärt oberoende\n• Spänner upp"]
    C --> D{"Villkoret\nuppfyllt?"}
    D -- Ja --> YES["BAS ✓\n(det andra villkoret\nföljer automatiskt)"]
    D -- Nej --> NO3["INTE EN BAS"]

---

8. Övningsuppgifter

Dimensionsuppgifter

Uppgift 1: Ange dimensionen

Ange dimensionen för följande vektorrum:

a) ${\mathbb{R}}^5$ b) ${\mathcal{P}}_4$ c) $M_{3\times 2}$ d) $M_{2\times 2}$ e) ${\mathcal{P}}_0$

Ledtråd $\dim ({\mathbb{R}}^n)=n$, $\dim ({\mathcal{P}}_n)=n+1$, $\dim (M_{m\times n})=m\cdot n$.

Använd formlerna:

Facit $\dim ({\mathbb{R}}^5)=5$ b) $\dim ({\mathcal{P}}_4)=5$ (bas: $\{1,x,x^2,x^3,x^4\}$) c) $\dim (M_{3\times 2})=6$ d) $\dim (M_{2\times 2})=4$ e) $\dim ({\mathcal{P}}_0)=1$ (bas: $\{1\}$, alla konstanta polynom)

a)

Uppgift 2: Dimension av delrum

Bestäm dimensionen av delrummet $W=\text{span}\left\{\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 1\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}0\\ 1\\ 1\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}1\\ 1\\ 2\end{array}\right]\right\}\subseteq {\mathbb{R}}^3$

Ledtråd 1 $\dim (W)$.

Bilda en matris med vektorerna som kolumner och radreducera. Antalet pivoter =

Ledtråd 2 $(1,1,2)$ ser ut som summan av de två första: $(1,0,1)+(0,1,1)=(1,1,2)$. Stämmer det? I så fall är vektorerna linjärt beroende.

Notera att den tredje vektorn

Facit $\dim (W)=2$.

Full lösning $\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 0& 1& 1\\ 1& 1& 2\end{array}\right]\stackrel{R_3-R_1}{\to }\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 0& 1& 1\\ 0& 1& 1\end{array}\right]\stackrel{R_3-R_2}{\to }\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 0& 1& 1\\ 0& 0& 0\end{array}\right]$

Radreducera:

2 pivoter → $\dim (W)=2$.

Den tredje vektorn var redundant: ${\vec{v}}_3={\vec{v}}_1+{\vec{v}}_2$.

En bas för $W$: $\left\{\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 1\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}0\\ 1\\ 1\end{array}\right]\right\}$.

Geometriskt: $W$ är ett plan genom origo i ${\mathbb{R}}^3$.

Uppgift 3: Dimension av polynomdelrum

Bestäm dimensionen av $W=\text{span}\{1+x,x+x^2,1+2x+x^2\}\subseteq {\mathcal{P}}_2$

Ledtråd 1 ${\mathbb{R}}^3$: $(1+x)\leftrightarrow \left[\begin{array}{c}1\\ 1\\ 0\end{array}\right]$, $(x+x^2)\leftrightarrow \left[\begin{array}{c}0\\ 1\\ 1\end{array}\right]$, $(1+2x+x^2)\leftrightarrow \left[\begin{array}{c}1\\ 2\\ 1\end{array}\right]$.

Översätt polynomen till vektorer i

Ledtråd 2 $(1+x)+(x+x^2)=1+2x+x^2$. Det tredje polynomet är summan av de två första!

Notera att

Facit $\dim (W)=2$.

Full lösning $\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 1& 1& 2\\ 0& 1& 1\end{array}\right]\stackrel{R_2-R_1}{\to }\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 0& 1& 1\\ 0& 1& 1\end{array}\right]\stackrel{R_3-R_2}{\to }\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 0& 1& 1\\ 0& 0& 0\end{array}\right]$

Vektorrepresentation och radreducering:

2 pivoter → $\dim (W)=2$.

Beroendet: $(1+2x+x^2)=(1+x)+(x+x^2)$.

En bas för $W$: $\{1+x,x+x^2\}$.

Notera: $W⊊{\mathcal{P}}_2$ eftersom $\dim (W)=2<3=\dim ({\mathcal{P}}_2)$. T.ex. polynomet $x^2$ kan inte skrivas som en kombination av $1+x$ och $x+x^2$ (kontrollera!).

---

Basuppgifter med dimension

Uppgift 4: Bas för ${\mathbb{R}}^4$?

Är $\left\{\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\\ 1\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\\ 1\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\\ 1\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\\ 0\end{array}\right]\right\}$ en bas för ${\mathbb{R}}^4$?

Ledtråd ${\mathbb{R}}^4$ ($\dim =4$). Alltså räcker det att kontrollera ett av villkoren (oberoende eller spänner upp).

Vi har 4 vektorer i

Facit Ja, det är en bas.

Full lösning $\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 1\\ 0& 1& 0& 1\\ 0& 0& 1& 1\\ 1& 1& 1& 0\end{array}\right]\stackrel{R_4-R_1}{\to }\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 1\\ 0& 1& 0& 1\\ 0& 0& 1& 1\\ 0& 1& 1& -1\end{array}\right]$

Radreducera:

$\stackrel{R_4-R_2}{\to }\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 1\\ 0& 1& 0& 1\\ 0& 0& 1& 1\\ 0& 0& 1& -2\end{array}\right]\stackrel{R_4-R_3}{\to }\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 1\\ 0& 1& 0& 1\\ 0& 0& 1& 1\\ 0& 0& 0& -3\end{array}\right]$

4 pivoter i en $4\times 4$-matris → linjärt oberoende → bas för ${\mathbb{R}}^4$. ✓

Uppgift 5: Komplettera till bas

Givet den linjärt oberoende mängden $\left\{\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 1\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}0\\ 1\\ 1\end{array}\right]\right\}$ i ${\mathbb{R}}^3$.

Hitta en vektor $\vec{v}$ så att mängden utökas till en bas för ${\mathbb{R}}^3$.

Ledtråd 1 ${\mathbb{R}}^3$. Enligt plus/minus-satsen kan vi lägga till en vektor. Testa en standardbasvektor — t.ex. ${\vec{e}}_1=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right]$.

Vi har 2 oberoende vektorer och behöver 3 för en bas i

Ledtråd 2 $\left\{\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 1\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}0\\ 1\\ 1\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right]\right\}$ är linjärt oberoende genom att radreducera. Om det inte fungerar, testa ${\vec{e}}_2$ eller ${\vec{e}}_3$.

Kontrollera att

Facit $\vec{v}=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right]$ fungerar (det finns flera korrekta svar).

T.ex.

Full lösning $\vec{v}={\vec{e}}_1=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right]$:

Pröva

$\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 0& 1& 0\\ 1& 1& 0\end{array}\right]\stackrel{R_3-R_1}{\to }\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 0& 1& 0\\ 0& 1& -1\end{array}\right]\stackrel{R_3-R_2}{\to }\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& -1\end{array}\right]$

3 pivoter → oberoende → bas för ${\mathbb{R}}^3$. ✓

Hade vi valt $\vec{v}=\left[\begin{array}{c}1\\ 1\\ 2\end{array}\right]$ hade det inte fungerat (den är ${\vec{v}}_1+{\vec{v}}_2$, alltså beroende av de befintliga). Standardbasvektorer är ofta ett bra val att pröva.

---

Konceptuella uppgifter

Uppgift 6: Sant eller falskt?

Avgör om påståendena är sanna eller falska. Motivera kort.

a) $\dim ({\mathcal{P}}_3)=3$. b) Om $\dim (V)=5$ och $S$ har 5 linjärt oberoende vektorer i $V$, så är $S$ en bas för $V$. c) Om $W$ är ett delrum till ${\mathbb{R}}^4$ och $\dim (W)=4$, så är $W={\mathbb{R}}^4$. d) Om $\{{\vec{v}}_1,{\vec{v}}_2,{\vec{v}}_3\}$ spänner upp $V$ och $\dim (V)=3$, så är mängden en bas. e) Om $\dim (V)=n$, så finns det exakt en bas för $V$.

Ledtråd $\{1,x,x^2,x^3\}$? e) Tänk på att redan i ${\mathbb{R}}^2$ finns oändligt många baser.

a) Hur många element har standardbasen

Facit

a) Falskt. $\dim ({\mathcal{P}}_3)=4$ (standardbasen $\{1,x,x^2,x^3\}$ har 4 element).

b) Sant. Exakt $n=5$ vektorer som är linjärt oberoende i ett $n$-dimensionellt rum bildar automatiskt en bas.

c) Sant. Dimensionssatsen: om $W\subseteq V$ och $\dim (W)=\dim (V)$, så $W=V$.

d) Sant. 3 vektorer som spänner upp ett 3-dimensionellt rum måste vara oberoende (annars kunde vi ta bort en och spänna upp med 2, men $2<3$). Alltså en bas.

e) Falskt. Det finns oändligt många baser. T.ex. i ${\mathbb{R}}^2$ är $\{(1,0),(0,1)\}$, $\{(1,1),(1,-1)\}$, $\{(2,1),(1,3)\}$ alla baser. Alla baser har samma antal vektorer ($n$), men det finns oändligt många val.

---

Resurser

Videor

• 3Blue1Brown: Linear combinations, span, and basis vectors (kap 2) — dimension som antal basvektorer
• 3Blue1Brown: Abstract vector spaces (kap 16) — dimension i abstrakta vektorrum
• 3Blue1Brown: Nonsquare matrices as transformations between dimensions (kap 8) — olika dimensioner och transformationer

Wikipedia

• Dimension (vector space)
• Basis (linear algebra)

Fördjupning

• Georgia Tech — Interactive Linear Algebra: Basis and Dimension