Ferminivån

Kurs: F0005T Förkunskaper: Energiband

---

Ferminivån $E_F$ skiljer ockuperade från icke-ockuperade tillstånd. I en metall ligger den inne i ledningsbandet, och avståndet upp till vakuumnivån är just utträdesarbetet $\varphi$ från fotoelektriska effekten. Det är samma storhet som brunnsdjupet i modellen partikel i potentialbrunn — bandet svarar mot brunnen, och $\varphi$ mot kanten.

---

Formeln, symbol för symbol

$$\underset{\begin{array}{c}\text{ho¨gsta fyllda}\\ \text{energin vid }T=0\end{array}}{\underbrace{E_{F0}}}=\underset{\text{fri elektron}}{\underbrace{\frac{{\hslash }^2}{2m}}}(3{\pi }^2\underset{\begin{array}{c}\text{elektroner}\\ {\text{per m}}^3\end{array}}{\underbrace{n}}{)}^{2/3}$$

Ju tätare elektronerna sitter, desto högre måste de fylla upp, eftersom Pauliprincipen bara tillåter två per rumsligt tillstånd. Metallbitens storlek spelar ingen roll, bara tätheten.

---

1. Ferminivån i frielektronmodellen

I en metall är valenselektronerna inte bundna till någon atom. Vi ser dem som fria partiklar i en låda med metallens form, en tredimensionell version av partikel i låda. Vid $T=0$ fylls tillstånden nerifrån, två elektroner per rumsligt tillstånd, tills alla $N$ elektroner fått plats. Den högsta besatta energin är ferminivån vid absoluta nollpunkten, $E_{F0}$.

Antalet tillstånd med energi upp till $E$ räknas fram i Tillståndstäthet:

$$n(E)=\frac{(2m{)}^{3/2}V{E}^{3/2}}{3{\pi }^2{\hslash }^3}$$

Vid $T=0$ är precis $N$ av dem fyllda, så $n(E_{F0})=N$:

$$N=\frac{(2m{)}^{3/2}V{E}_{F0}^{3/2}}{3{\pi }^2{\hslash }^3}$$

$$E_{F0}^{3/2}=\frac{3{\pi }^2{\hslash }^3}{(2m{)}^{3/2}}\cdot \frac{N}{V}$$

$$E_{F0}=\frac{{\hslash }^2}{2m}{\left(3{\pi }^2\frac{N}{V}\right)}^{2/3}$$

Kvoten $N/V$ är elektronkoncentrationen, som vi skriver $n$:

$$\boxed{E_{F0}=\frac{{\hslash }^2}{2m}{\left(3{\pi }^{2}n\right)}^{2/3}}$$

Ferminivån beror alltså bara på hur tätt elektronerna sitter, inte på hur stor metallbiten är. Elektronkoncentrationen får vi ur densiteten $\rho$, molmassan $M$ och antalet fria elektroner $z$ per atom:

$$n=z\cdot \frac{\rho }{M}\cdot N_A$$

Fysika: T k3 (n tabellerad per grundämne)

För vanliga metaller blir $n\approx 10^{28}$–$10^{29}$ m⁻³ och $E_F$ några eV. Två storheter till gör storleken tydlig:

$$v_F=\sqrt{\frac{2E_F}{m}},T_F=\frac{E_F}{k}$$

Fermifarten $v_F$ är runt $10^6$ m/s, och det är farten hos de snabbaste elektronerna vid absoluta nollpunkten. Fermitemperaturen $T_F$ är några tiotusentals kelvin. Den säger att en klassisk gas skulle behöva så hög temperatur för att ha lika mycket rörelseenergi.

---

2. Medelenergin

Vid $T=0$ är alla tillstånd under $E_{F0}$ fyllda och alla över tomma. Med tillståndstätheten $g(E)=C\sqrt{E}$ blir den totala energin och antalet elektroner

$$E_{\text{tot}}={\int }_0^{E_{F0}}Eg(E)dE=C{\int }_0^{E_{F0}}{E}^{3/2}dE=\frac{2}{5}C{E}_{F0}^{5/2}$$

$$N={\int }_0^{E_{F0}}g(E)dE=C{\int }_0^{E_{F0}}{E}^{1/2}dE=\frac{2}{3}C{E}_{F0}^{3/2}$$

Kvoten ger medelenergin per elektron:

$$E_{\text{av}}=\frac{E_{\text{tot}}}{N}=\frac{2/5}{2/3}{E}_{F0}$$

$$\boxed{E_{\text{av}}=\frac{3}{5}{E}_{F0}}$$

Konstanten $C$ förkortas bort. En klassisk gas vid $300$ K har medelenergin $\frac{3}{2}kT=0,039$ eV, alltså ungefär femtio gånger mindre. Elektrongasen i en metall är långt ifrån klassisk, och det är Pauliprincipen som tvingar upp elektronerna i energi.

---

3. Ferminivån och temperaturen

Eftersom $E_F$ är några eV och $kT$ bara $0,026$ eV ändras nästan ingenting när metallen värms upp. Bara elektroner inom några $kT$ från $E_F$ kan flytta sig till lediga tillstånd ovanför, se Fermi-Dirac-fördelningen. För en metall kan vi därför använda $E_{F0}$ vid alla vanliga temperaturer.

Det förklarar också varför elektronerna nästan inte bidrar till metallens värmekapacitet: de flesta sitter djupt under $E_F$ och har inga lediga tillstånd att värmas upp till.

Bilden i ingressen går att göra kvantitativ. Räknat från ledningsbandets botten ligger de översta elektronerna på $E_F$, och de behöver ytterligare utträdesarbetet $\varphi$ för att lämna metallen. Brunnens djup i modellen partikel i potentialbrunn blir då $E_F+\varphi$.

Frielektronmodellen som en brunn. Vid $T=0$ fyller elektronerna nivåerna nerifrån, två per rumsligt tillstånd, upp till $E_F$. Ovanför återstår utträdesarbetet $\varphi$ upp till vakuumnivån, så brunnens djup är $E_F+\varphi$.

Vanliga fel

• $n$ betyder två saker. Här är $n$ elektronkoncentrationen i m⁻³, inte ett kvanttal. I noten om tillståndstäthet används $n(E)$ för antalet tillstånd upp till $E$.
• Fel antal fria elektroner per atom. Na och Cu har en, Mg och Zn två, Al tre. Glömmer vi faktorn $z$ blir $E_F$ en faktor $z^{2/3}$ för liten.
• Atomtätheten i fel enhet. $\rho /M$ måste vara i mol/m³: $\rho$ i kg/m³ och $M$ i kg/mol, inte g/mol.
• $E_F$ tas för en termisk energi. $E_F$ finns även vid $T=0$ och är ungefär hundra gånger större än $kT$ vid rumstemperatur.

---

4. Lösta exempel

Exempel — Ferminivån i natrium

Natrium har densiteten $971$ kg/m³, molmassan $22,99$ g/mol och en fri elektron per atom. Bestäm elektronkoncentrationen, ferminivån, fermifarten och medelenergin vid $T=0$.

Lösning

Elektronkoncentrationen.

$$n=1\cdot \frac{971}{22,99\cdot 10^{-3}}\cdot 6,022\cdot 10^{23}=\boxed{2,54\cdot 10^{28}{\text{ m}}^{-3}}$$

Fysika: Te

Ferminivån. Vi räknar faktorerna var för sig:

$$\frac{{\hslash }^2}{2m}=\frac{(1,0546\cdot 10^{-34}{)}^2}{2\cdot 9,109\cdot 10^{-31}}=6,10\cdot 10^{-39}\text{ J}\cdot {\text{m}}^2$$

$${\left(3{\pi }^{2}n\right)}^{2/3}={\left(7,53\cdot 10^{29}\right)}^{2/3}=8,28\cdot 10^{19}{\text{ m}}^{-2}$$

$$E_{F0}=6,10\cdot 10^{-39}\cdot 8,28\cdot 10^{19}=5,05\cdot 10^{-19}\text{ J}=\boxed{3,15\text{ eV}}$$

Fermifarten.

$$v_F=\sqrt{\frac{2\cdot 5,05\cdot 10^{-19}}{9,109\cdot 10^{-31}}}=\boxed{1,05\cdot 10^6\text{ m/s}}$$

Medelenergin.

$$E_{\text{av}}=\frac{3}{5}\cdot 3,15\text{ eV}=\boxed{1,89\text{ eV}}$$

Rimlighetskoll. $v_F$ är $0,35\%$ av ljushastigheten, så den klassiska formeln för rörelseenergi duger. Fermitemperaturen blir $E_F/k=3,66\cdot 10^4$ K.

Ej kontrollerat mot facit — två oberoende lösningar stämmer överens.

Exempel — Ferminivån i aluminium

Aluminium har densiteten $2700$ kg/m³, molmassan $26,98$ g/mol och tre fria elektroner per atom. Bestäm ferminivån och fermifarten.

Lösning

Elektronkoncentrationen. Med $z=3$:

$$n=3\cdot \frac{2700}{26,98\cdot 10^{-3}}\cdot 6,022\cdot 10^{23}=1,81\cdot 10^{29}{\text{ m}}^{-3}$$

Ferminivån.

$${\left(3{\pi }^{2}n\right)}^{2/3}={\left(5,35\cdot 10^{30}\right)}^{2/3}=3,06\cdot 10^{20}{\text{ m}}^{-2}$$

$$E_{F0}=6,10\cdot 10^{-39}\cdot 3,06\cdot 10^{20}=1,87\cdot 10^{-18}\text{ J}=\boxed{11,7\text{ eV}}$$

Fermifarten.

$$v_F=\sqrt{\frac{2\cdot 1,87\cdot 10^{-18}}{9,109\cdot 10^{-31}}}=\boxed{2,03\cdot 10^6\text{ m/s}}$$

Rimlighetskoll. Aluminium har $7,1$ gånger fler fria elektroner per volym än natrium, och $7,1^{2/3}=3,7$, vilket är kvoten $11,7/3,15$.

Ej kontrollerat mot facit — två oberoende lösningar stämmer överens.

Läsning

• 42.5 Free-Electron Model of Metals

---

← Bandgap · F0005T · Tillståndstäthet →