Kristallgitter

Kurs: F0005T Förkunskaper: Elektrondiffraktion

---

En kristall beskrivs av tre saker: gittret, som är de regelbundet ordnade punkterna; basen, som är atomen vid varje gitterpunkt; och enhetscellen, den minsta byggklossen som repeteras genom kristallen. Det finns fjorton generella typer av kristallgitter, och de som används i kursen är simple cubic, fcc och bcc.

Översikt över alla strukturer: Kristallstrukturer.

---

Formeln, symbol för symbol

$$\underset{\text{densitet}}{\underbrace{\rho }}=\frac{\stackrel{\text{atomer/cell}}{\overbrace{N}}\cdot \stackrel{\text{massa/atom}}{\overbrace{M/N_A}}}{\underset{\begin{array}{c}\text{cellens}\\ \text{volym}\end{array}}{\underbrace{a^3}}}$$

Densiteten är massan i en enhetscell delad med cellens volym. Hela kristallen är samma cell upprepad, så det räcker att räkna på en.

---

1. Gitter plus bas ger struktur

Gittret är ett rent geometriskt mönster av punkter som ser likadant ut från varje punkt. Basen är det som sitter vid varje punkt: en atom, två joner eller en hel molekyl. Först tillsammans beskriver de en verklig kristall:

$$\text{kristallstruktur}=\text{gitter}+\text{bas}$$

Enhetscellen är en låda som fyller rummet när den flyttas i steg om sin egen kantlängd. För de kubiska gittren är cellen en kub med kanten $a$, gitterkonstanten, som typiskt är några tiondels nanometer. Avstånd av den storleken mäts med röntgen- eller elektrondiffraktion.

Kristallstruktur = gitter + bas. Gittret är bara punkter, och vid varje punkt sitter samma grupp atomer, basen. Den blå rutan är enhetscellen med kanten $a$.

---

2. De kubiska gittren

Gitter	Gitterpunkter	Närmaste grannar	Avstånd till närmaste granne	Exempel
Simple cubic (sc)	hörnen	$6$	$a$	polonium
Rymdcentrerat (bcc)	hörnen och kubens mitt	$8$	$\frac{\sqrt{3}}{2}a$	Fe, Na, W
Ytcentrerat (fcc)	hörnen och sidornas mitt	$12$	$\frac{\sqrt{2}}{2}a$	Cu, Al, Au

Avståndet till närmaste granne följer av var atomerna rör vid varandra: längs kanten i sc, längs rymddiagonalen $\sqrt{3}a$ i bcc (två halva avstånd) och längs sidodiagonalen $\sqrt{2}a$ i fcc (två halva avstånd). Den hexagonala tätpackningen, hcp (Mg, Zn, Ti), är inte kubisk men har också $12$ närmaste grannar. Skillnaden mot fcc är hur tätpackade lager staplas, se Packningstäthet.

Enhetscellerna för sc, bcc och fcc (vrid med musen). Hörnatomerna är blå, atomerna i mitten eller på sidorna orange, och den orange linjen visar riktningen där atomerna rör vid varandra: kanten, rymddiagonalen och sidodiagonalen.

---

3. Atomer per enhetscell

En atom i ett hörn delas av de åtta celler som möts där, en atom mitt på en sida av två celler och en atom inne i cellen tillhör bara den. Antalet atomer $N$ som hör till en cell blir

$$N_{\text{sc}}=8\cdot \frac{1}{8}=1$$

$$N_{\text{bcc}}=8\cdot \frac{1}{8}+1=2$$

$$N_{\text{fcc}}=8\cdot \frac{1}{8}+6\cdot \frac{1}{2}=4$$

Fysika: T k3 (atomer per cell och gitterkonstanter)

---

4. Densiteten ur gitterkonstanten

Cellen innehåller $N$ atomer med molmassan $M$, och varje atom väger $M/N_A$. Cellens volym är $a^3$:

$$\rho =\frac{m_{\text{cell}}}{V_{\text{cell}}}=\frac{N\cdot M/N_A}{a^3}$$

$$\boxed{\rho =\frac{NM}{N_A{a}^3}}$$

Omvänt ger antalet atomer per volymenhet $N/a^3$ direkt, vilket vi behöver för elektronkoncentrationen i Ferminivån och dopkoncentrationen i Dopning.

---

5. Strukturer med bas

Natriumklorid. Na⁺ och Cl⁻ växlar längs varje kant, så om vi bortser från vilken jon som är vilken ser det ut som ett sc-gitter med kanten $a/2$. Men gittret ska se likadant ut från varje punkt, och det gör det bara om vi tar med sorten. Strukturen är ett fcc-gitter med en bas av två joner: en Na⁺ i gitterpunkten och en Cl⁻ ett halvt kantavstånd bort. Cellen innehåller fyra Na⁺ och fyra Cl⁻.

Diamantstrukturen (C, Si, Ge) är också ett fcc-gitter med en bas av två atomer, men den andra atomen sitter en fjärdedel längs rymddiagonalen. Cellen innehåller $4\cdot 2=8$ atomer, och varje atom har bara fyra närmaste grannar i en tetraeder, som i en kovalent bindning med fyra valenselektroner.

Vanliga fel

• Gitter och struktur blandas. Fcc är ett gitter. Koppar är en fcc-struktur (en atom per gitterpunkt), och NaCl och kisel är fcc-gitter med en bas av två.
• NaCl tas för sc. Na⁺ och Cl⁻ är olika, så grannpunkterna ser inte likadana ut. Gittret är fcc med kanten $a$, och varje gitterpunkt bär ett jonpar. Gitterkonstanten är alltså $a$, inte avståndet $a/2$ mellan närmaste joner.
• Hörn- och sidoatomer räknas hela. Ett hörn ger $\frac{1}{8}$, en sida $\frac{1}{2}$. Fcc har $4$ atomer per cell, inte $14$.
• $a$ tas för atomavståndet. Det gäller bara i sc. I bcc och fcc är närmaste grannen närmare än $a$.

---

6. Lösta exempel

Exempel — Kopparns densitet

Koppar har fcc-struktur med gitterkonstanten $a=0,3615$ nm och molmassan $63,55$ g/mol. Bestäm densiteten och avståndet mellan närmaste grannar.

Lösning

Atomer per cell. Fcc ger $N=4$.

Densiteten.

$$\rho =\frac{NM}{N_A{a}^3}=\frac{4\cdot 63,55\cdot 10^{-3}}{6,022\cdot 10^{23}\cdot (0,3615\cdot 10^{-9}{)}^3}=\boxed{8,94\cdot 10^3{\text{ kg/m}}^3}$$

Fysika: Te

Närmaste granne. Atomerna rör vid varandra längs sidodiagonalen $\sqrt{2}a$, som rymmer två grannavstånd:

$$d=\frac{\sqrt{2}a}{2}=\frac{0,3615}{\sqrt{2}}\text{ nm}=\boxed{0,256\text{ nm}}$$

Rimlighetskoll. Tabellvärdet för koppar är $8,96$ g/cm³, så gittermodellen ger densiteten på några promille när.

Ej kontrollerat mot facit — två oberoende lösningar stämmer överens.

Exempel — Atomtätheten i kisel

Kisel har diamantstruktur med $a=0,5431$ nm och molmassan $28,09$ g/mol. Bestäm antalet atomer per kubikmeter, densiteten och avståndet till närmaste granne, som ligger en fjärdedel av rymddiagonalen bort.

Lösning

Atomer per cell. Fcc-gitter med två atomer i basen ger $N=8$.

Atomtätheten.

$$n_{\text{Si}}=\frac{N}{a^3}=\frac{8}{(0,5431\cdot 10^{-9}{)}^3}=\boxed{4,99\cdot 10^{28}{\text{ m}}^{-3}}$$

Densiteten.

$$\rho =\frac{n_{\text{Si}}M}{N_A}=\frac{4,99\cdot 10^{28}\cdot 28,09\cdot 10^{-3}}{6,022\cdot 10^{23}}=\boxed{2,33\cdot 10^3{\text{ kg/m}}^3}$$

Närmaste granne.

$$d=\frac{\sqrt{3}a}{4}=\frac{\sqrt{3}\cdot 0,5431}{4}\text{ nm}=\boxed{0,235\text{ nm}}$$

Koppar har $4/a^3=8,47\cdot 10^{28}$ atomer per m³. Kisel har alltså bara drygt hälften så många, trots att grannavståndet är kortare. Det beror på att de riktade bindningarna bara ger fyra grannar i stället för tolv.

Ej kontrollerat mot facit — två oberoende lösningar stämmer överens.

Läsning

• 42.3 Structure of Solids

---

← Molekylspektra · F0005T · Packningstäthet →