Packningstäthet

Kurs: F0005T Förkunskaper: Kristallgitter

---

Packningstätheten är kvoten mellan atomernas volym och enhetscellens volym. Den beräknas genom att räkna hur många atomer som faktiskt tillhör cellen — en hörnatom delas av åtta celler, en sidatom av två — och sedan koppla atomradien $r$ till gitterkonstanten $a$ genom inspektion av geometrin. Simple cubic ger $a=2r$ och tätheten $0,52$, bcc ger $a=4r/\sqrt{3}$ och $0,68$, fcc ger $a=\sqrt{8}r$ och $0,74$. Hcp har samma täthet som fcc.

$$\boxed{\text{Packningsta¨thet}=\frac{N\cdot \frac{4}{3}\pi r^3}{a^3}}$$

Översikt över alla strukturer: Kristallstrukturer.

---

Formeln, symbol för symbol

$$\text{Packningsta¨thet}=\frac{\stackrel{\text{atomer/cell}}{\overbrace{N}}\cdot \stackrel{\text{volym/atom}}{\overbrace{\frac{4}{3}\pi r^3}}}{\underset{\begin{array}{c}\text{cellens}\\ \text{volym}\end{array}}{\underbrace{a^3}}}$$

Kvoten är den andel av cellen som atomerna fyller. $a$ skrivs om i $r$ via riktningen där atomerna rör vid varandra, och då förkortas $r$ bort.

---

1. Receptet

Varje beräkning följer samma tre steg, och alla tre finns i formeln i rutan:

1. Räkna $N$, antalet atomer som hör till cellen (hörn $\frac{1}{8}$, sida $\frac{1}{2}$, inuti $1$), se Kristallgitter.
2. Hitta riktningen där atomerna rör vid varandra, och skriv längden av den riktningen på två sätt: i $a$ och i $r$.
3. Sätt in $a$ uttryckt i $r$ i formeln. Radien förkortas bort, så tätheten beror bara på geometrin.

Att $r$ förkortas bort betyder att packningstätheten är densamma för alla ämnen med samma struktur, oavsett hur stora atomerna är.

De tre kubiska enhetscellerna (vrid med musen). Den orange linjen är steg 2 i receptet: riktningen där atomerna rör vid varandra, längs kanten i sc, rymddiagonalen i bcc och sidodiagonalen i fcc.

Snitten där atomerna rör vid varandra: en sida i sc, planet genom rymddiagonalen i bcc och en sida i fcc. Den orange linjen är $2r$ i sc och $4r$ i bcc och fcc, och det ger sambandet mellan $a$ och $r$.

---

2. Simple cubic

Atomerna rör vid varandra längs kanten.

Härledning av packningstätheten för sc

Åtta hörnatomer ger $N=1$. Längs kanten ligger två halva atomer:

$$a=2r$$

$$\frac{N\cdot \frac{4}{3}\pi r^3}{a^3}=\frac{\frac{4}{3}\pi r^3}{8r^3}$$

$$=\frac{\pi }{6}\approx 0,524$$

Nästan hälften av volymen är tom, och det är därför sc nästan aldrig förekommer i naturen.

---

3. Rymdcentrerat, bcc

Hörnatomerna rör inte vid varandra längs kanten. I stället rör de vid atomen i mitten, längs rymddiagonalen.

Härledning av packningstätheten för bcc

$N=8\cdot \frac{1}{8}+1=2$. Rymddiagonalen har längden $\sqrt{a^2+a^2+a^2}=\sqrt{3}a$ och rymmer en halv hörnatom, hela mittatomen och en halv hörnatom till, alltså fyra radier:

$$\sqrt{3}a=4r$$

$$a=\frac{4r}{\sqrt{3}}$$

$$\frac{2\cdot \frac{4}{3}\pi r^3}{{\left(4r/\sqrt{3}\right)}^3}=\frac{\frac{8}{3}\pi r^3\cdot 3\sqrt{3}}{64r^3}$$

$$=\frac{\sqrt{3}\pi }{8}\approx 0,680$$

---

4. Ytcentrerat, fcc

Atomerna rör vid varandra längs sidodiagonalen: hörn, sidans mitt, hörn.

Härledning av packningstätheten för fcc

$N=8\cdot \frac{1}{8}+6\cdot \frac{1}{2}=4$. Sidodiagonalen har längden $\sqrt{2}a$ och rymmer fyra radier:

$$\sqrt{2}a=4r$$

$$a=\frac{4r}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}r=\sqrt{8}r$$

$$\frac{4\cdot \frac{4}{3}\pi r^3}{{\left(2\sqrt{2}r\right)}^3}=\frac{\frac{16}{3}\pi r^3}{16\sqrt{2}{r}^3}$$

$$=\frac{\pi }{3\sqrt{2}}\approx 0,740$$

---

5. Varför metaller väljer fcc och hcp

Lägger vi lika stora kulor i ett plant lager blir det tätast om varje kula har sex grannar i lagret. Nästa lager lägger sig i gropar i det första. För det tredje lagret finns två val: rakt över det första (ABAB…, hcp) eller i de gropar som inte används (ABCABC…, fcc). Båda ger tolv grannar och tätheten $0,740$, den största möjliga för lika stora kulor.

Metallbindningen är inte riktad (se Metallisk bindning). Jonerna vill bara ha så många grannar som möjligt, och därför är de flesta metaller fcc, hcp eller bcc. Kovalenta kristaller gör tvärtom. I diamantstrukturen har varje atom bara fyra grannar, eftersom bindningarna pekar mot hörnen av en tetraeder. Med $N=8$ och närmaste avståndet $\sqrt{3}a/4=2r$ blir

$$\frac{8\cdot \frac{4}{3}\pi r^3}{a^3}=\frac{32\pi }{3}{\left(\frac{\sqrt{3}}{8}\right)}^3$$

$$\boxed{\text{diamant: }\frac{\sqrt{3}\pi }{16}\approx 0,340}$$

Två tredjedelar av en diamant är alltså tom, men den är ändå det hårdaste naturliga materialet. Packningstätheten säger ingenting om bindningarnas styrka.

Vanliga fel

• Fel diagonal. I bcc rör atomerna vid varandra längs rymddiagonalen $\sqrt{3}a$, i fcc längs sidodiagonalen $\sqrt{2}a$. Byter vi dem blir $a$ fel och tätheten orimlig, ibland större än $1$.
• Diametern i stället för radien. Diagonalen rymmer fyra radier. Den som skriver $\sqrt{3}a=4d$ får en atom som är dubbelt så stor som cellen tillåter.
• Fel $N$. Hörnatomerna räknas som $\frac{1}{8}$ var, och bcc har $N=2$, fcc $N=4$.
• Tätheten jämförs med densiteten. Packningstätheten är ett rent tal utan enhet. Två metaller med samma struktur har samma packningstäthet men olika densitet.

---

6. Lösta exempel

Exempel — Atomradien i järn

Järn har bcc-struktur vid rumstemperatur, med $a=0,2866$ nm och molmassan $55,85$ g/mol. Bestäm atomradien, densiteten och packningstätheten.

Lösning

Atomradien. I bcc är $\sqrt{3}a=4r$:

$$r=\frac{\sqrt{3}a}{4}=\frac{\sqrt{3}\cdot 0,2866}{4}\text{ nm}=\boxed{0,124\text{ nm}}$$

Densiteten. $N=2$:

$$\rho =\frac{NM}{N_A{a}^3}=\frac{2\cdot 55,85\cdot 10^{-3}}{6,022\cdot 10^{23}\cdot (0,2866\cdot 10^{-9}{)}^3}=\boxed{7,88\cdot 10^3{\text{ kg/m}}^3}$$

Fysika: Te

Packningstätheten. Direkt ur siffrorna:

$$\frac{2\cdot \frac{4}{3}\pi (0,1241{)}^3}{(0,2866{)}^3}=\boxed{0,680}$$

vilket är bcc-värdet $\sqrt{3}\pi /8$, som det ska.

Ej kontrollerat mot facit — två oberoende lösningar stämmer överens.

Exempel — Järn blir fcc vid 912 °C

Vid $912$ °C övergår järn till fcc-struktur. Anta att atomradien är densamma som i föregående exempel, $r=0,1241$ nm. Bestäm den nya gitterkonstanten och hur många procent densiteten ändras.

Lösning

Gitterkonstanten. I fcc är $\sqrt{2}a=4r$:

$$a_{\text{fcc}}=2\sqrt{2}r=2\sqrt{2}\cdot 0,1241\text{ nm}=\boxed{0,351\text{ nm}}$$

Densiteten. $N=4$:

$${\rho }_{\text{fcc}}=\frac{4\cdot 55,85\cdot 10^{-3}}{6,022\cdot 10^{23}\cdot (0,3510\cdot 10^{-9}{)}^3}=8,58\cdot 10^3{\text{ kg/m}}^3$$

Ändringen.

$$\frac{{\rho }_{\text{fcc}}}{{\rho }_{\text{bcc}}}=\frac{8,58}{7,88}=1,089$$

Densiteten ökar med $\boxed{8,9\%}$.

Kontroll med packningstätheterna. Med samma atomer och samma radie är densiteten proportionell mot packningstätheten, så kvoten ska vara

$$\frac{0,740}{0,680}=1,089$$

vilket stämmer.

Ej kontrollerat mot facit — två oberoende lösningar stämmer överens.

Läsning

• 42.3 Structure of Solids

---

← Kristallgitter · F0005T · Kristalldefekter →