---
kurs:
  - F0005T
tags:
  - fysik
  - fasta tillståndets fysik
  - storhet
förkunskaper:
  - "[[Kristallgitter]]"
status: utkast
aliases:
  - Packningsgrad
  - fcc
  - bcc
  - Simple cubic
---

> **Kurs:** F0005T
> **Förkunskaper:** [[Kristallgitter]]

---

Packningstätheten är kvoten mellan atomernas volym och enhetscellens volym. Den beräknas genom att räkna hur många atomer som faktiskt tillhör cellen — en hörnatom delas av åtta celler, en sidatom av två — och sedan koppla atomradien $r$ till gitterkonstanten $a$ genom inspektion av geometrin. Simple cubic ger $a=2r$ och tätheten $0{,}52$, bcc ger $a=4r/\sqrt{3}$ och $0{,}68$, fcc ger $a=\sqrt{8}\,r$ och $0{,}74$. Hcp har samma täthet som fcc.

$$
\boxed{\;\text{Packningstäthet}=\dfrac{N\cdot\frac{4}{3}\pi r^{3}}{a^{3}}\;}
$$

Översikt över alla strukturer: [[Kristallstrukturer]].

---

## Formeln, symbol för symbol

$$
\text{Packningstäthet}
=\dfrac{\overbrace{N}^{\text{atomer/cell}}\cdot\overbrace{\frac{4}{3}\pi r^{3}}^{\text{volym/atom}}}{\underbrace{a^{3}}_{\substack{\text{cellens}\\\text{volym}}}}
$$

Kvoten är den andel av cellen som atomerna fyller. $a$ skrivs om i $r$ via riktningen där atomerna rör vid varandra, och då förkortas $r$ bort.

---

## 1. Receptet

Varje beräkning följer samma tre steg, och alla tre finns i formeln i rutan:

1. **Räkna $N$**, antalet atomer som hör till cellen (hörn $\tfrac18$, sida $\tfrac12$, inuti $1$), se [[Kristallgitter]].
2. **Hitta riktningen där atomerna rör vid varandra**, och skriv längden av den riktningen på två sätt: i $a$ och i $r$.
3. **Sätt in** $a$ uttryckt i $r$ i formeln. Radien förkortas bort, så tätheten beror bara på geometrin.

Att $r$ förkortas bort betyder att packningstätheten är densamma för alla ämnen med samma struktur, oavsett hur stora atomerna är.

![[f05-enhetsceller-3d.png|520]]

*De tre kubiska enhetscellerna (vrid med musen). Den orange linjen är steg 2 i receptet: riktningen där atomerna rör vid varandra, längs kanten i sc, rymddiagonalen i bcc och sidodiagonalen i fcc.*

![[f05-packning-snitt.png|520]]

*Snitten där atomerna rör vid varandra: en sida i sc, planet genom rymddiagonalen i bcc och en sida i fcc. Den orange linjen är $2r$ i sc och $4r$ i bcc och fcc, och det ger sambandet mellan $a$ och $r$.*

---

## 2. Simple cubic

Atomerna rör vid varandra längs kanten.

> [!note]- Härledning av packningstätheten för sc
> Åtta hörnatomer ger $N=1$. Längs kanten ligger två halva atomer:
>
> $$
> a=2r
> $$
>
> $$
> \dfrac{N\cdot\frac{4}{3}\pi r^{3}}{a^{3}}=\dfrac{\frac{4}{3}\pi r^{3}}{8r^{3}}
> $$
>
> $$
> =\dfrac{\pi}{6}\approx0{,}524
> $$

Nästan hälften av volymen är tom, och det är därför sc nästan aldrig förekommer i naturen.

---

## 3. Rymdcentrerat, bcc

Hörnatomerna rör inte vid varandra längs kanten. I stället rör de vid atomen i mitten, längs rymddiagonalen.

> [!note]- Härledning av packningstätheten för bcc
> $N=8\cdot\tfrac18+1=2$. Rymddiagonalen har längden $\sqrt{a^2+a^2+a^2}=\sqrt3\,a$ och rymmer en halv hörnatom, hela mittatomen och en halv hörnatom till, alltså fyra radier:
>
> $$
> \sqrt3\,a=4r
> $$
>
> $$
> a=\dfrac{4r}{\sqrt3}
> $$
>
> $$
> \dfrac{2\cdot\frac{4}{3}\pi r^{3}}{\left(4r/\sqrt3\right)^{3}}=\dfrac{\frac{8}{3}\pi r^{3}\cdot3\sqrt3}{64\,r^{3}}
> $$
>
> $$
> =\dfrac{\sqrt3\,\pi}{8}\approx0{,}680
> $$

---

## 4. Ytcentrerat, fcc

Atomerna rör vid varandra längs sidodiagonalen: hörn, sidans mitt, hörn.

> [!note]- Härledning av packningstätheten för fcc
> $N=8\cdot\tfrac18+6\cdot\tfrac12=4$. Sidodiagonalen har längden $\sqrt2\,a$ och rymmer fyra radier:
>
> $$
> \sqrt2\,a=4r
> $$
>
> $$
> a=\dfrac{4r}{\sqrt2}=2\sqrt2\,r=\sqrt8\,r
> $$
>
> $$
> \dfrac{4\cdot\frac{4}{3}\pi r^{3}}{\left(2\sqrt2\,r\right)^{3}}=\dfrac{\frac{16}{3}\pi r^{3}}{16\sqrt2\,r^{3}}
> $$
>
> $$
> =\dfrac{\pi}{3\sqrt2}\approx0{,}740
> $$

---

## 5. Varför metaller väljer fcc och hcp

Lägger vi lika stora kulor i ett plant lager blir det tätast om varje kula har sex grannar i lagret. Nästa lager lägger sig i gropar i det första. För det tredje lagret finns två val: rakt över det första (ABAB…, **hcp**) eller i de gropar som inte används (ABCABC…, **fcc**). Båda ger tolv grannar och tätheten $0{,}740$, den största möjliga för lika stora kulor.

Metallbindningen är inte riktad (se [[Metallisk bindning]]). Jonerna vill bara ha så många grannar som möjligt, och därför är de flesta metaller fcc, hcp eller bcc. Kovalenta kristaller gör tvärtom. I diamantstrukturen har varje atom bara fyra grannar, eftersom bindningarna pekar mot hörnen av en tetraeder. Med $N=8$ och närmaste avståndet $\sqrt3\,a/4=2r$ blir

$$
\dfrac{8\cdot\frac{4}{3}\pi r^{3}}{a^{3}}=\dfrac{32\pi}{3}\left(\dfrac{\sqrt3}{8}\right)^{3}
$$

$$
\boxed{\text{diamant: }\dfrac{\sqrt3\,\pi}{16}\approx0{,}340}
$$

Två tredjedelar av en diamant är alltså tom, men den är ändå det hårdaste naturliga materialet. Packningstätheten säger ingenting om bindningarnas styrka.

> [!warning] Vanliga fel
> - **Fel diagonal.** I bcc rör atomerna vid varandra längs *rymd*diagonalen $\sqrt3\,a$, i fcc längs *sido*diagonalen $\sqrt2\,a$. Byter vi dem blir $a$ fel och tätheten orimlig, ibland större än $1$.
> - **Diametern i stället för radien.** Diagonalen rymmer fyra *radier*. Den som skriver $\sqrt3\,a=4d$ får en atom som är dubbelt så stor som cellen tillåter.
> - **Fel $N$.** Hörnatomerna räknas som $\tfrac18$ var, och bcc har $N=2$, fcc $N=4$.
> - **Tätheten jämförs med densiteten.** Packningstätheten är ett rent tal utan enhet. Två metaller med samma struktur har samma packningstäthet men olika densitet.

---

## 6. Lösta exempel

> [!example]- Exempel — Atomradien i järn
> Järn har bcc-struktur vid rumstemperatur, med $a=0{,}2866$ nm och molmassan $55{,}85$ g/mol. Bestäm atomradien, densiteten och packningstätheten.
>
> > [!note]- Lösning
> > **Atomradien.** I bcc är $\sqrt3\,a=4r$:
> > $$
> > r=\dfrac{\sqrt3\,a}{4}=\dfrac{\sqrt3\cdot0{,}2866}{4}\text{ nm}=\boxed{0{,}124\text{ nm}}
> > $$
> >
> > **Densiteten.** $N=2$:
> > $$
> > \rho=\dfrac{N\,M}{N_A\,a^{3}}=\dfrac{2\cdot55{,}85\cdot10^{-3}}{6{,}022\cdot10^{23}\cdot(0{,}2866\cdot10^{-9})^{3}}=\boxed{7{,}88\cdot10^{3}\text{ kg/m}^{3}}
> > $$
> > *Fysika: Te*
> >
> > **Packningstätheten.** Direkt ur siffrorna:
> > $$
> > \dfrac{2\cdot\frac{4}{3}\pi\,(0{,}1241)^{3}}{(0{,}2866)^{3}}=\boxed{0{,}680}
> > $$
> > vilket är bcc-värdet $\sqrt3\,\pi/8$, som det ska.
> >
> > *Ej kontrollerat mot facit — två oberoende lösningar stämmer överens.*

> [!example]- Exempel — Järn blir fcc vid 912 °C
> Vid $912$ °C övergår järn till fcc-struktur. Anta att atomradien är densamma som i föregående exempel, $r=0{,}1241$ nm. Bestäm den nya gitterkonstanten och hur många procent densiteten ändras.
>
> > [!note]- Lösning
> > **Gitterkonstanten.** I fcc är $\sqrt2\,a=4r$:
> > $$
> > a_{\text{fcc}}=2\sqrt2\,r=2\sqrt2\cdot0{,}1241\text{ nm}=\boxed{0{,}351\text{ nm}}
> > $$
> >
> > **Densiteten.** $N=4$:
> > $$
> > \rho_{\text{fcc}}=\dfrac{4\cdot55{,}85\cdot10^{-3}}{6{,}022\cdot10^{23}\cdot(0{,}3510\cdot10^{-9})^{3}}=8{,}58\cdot10^{3}\text{ kg/m}^{3}
> > $$
> >
> > **Ändringen.**
> > $$
> > \dfrac{\rho_{\text{fcc}}}{\rho_{\text{bcc}}}=\dfrac{8{,}58}{7{,}88}=1{,}089
> > $$
> > Densiteten **ökar** med $\boxed{8{,}9\ \%}$.
> >
> > **Kontroll med packningstätheterna.** Med samma atomer och samma radie är densiteten proportionell mot packningstätheten, så kvoten ska vara
> > $$
> > \dfrac{0{,}740}{0{,}680}=1{,}089
> > $$
> > vilket stämmer.
> >
> > *Ej kontrollerat mot facit — två oberoende lösningar stämmer överens.*

## Läsning

- [[z.University Physics.pdf#page=1445|42.3 Structure of Solids]]

---

← [[Kristallgitter]] · [[F0005T]] · [[Kristalldefekter]] →