--- kurs: - F0005T tags: - fysik - fasta tillståndets fysik - modell förkunskaper: - "[[Elektrondiffraktion]]" status: utkast aliases: - Gitter - Enhetscell - Bas - Gitterkonstant --- > **Kurs:** F0005T > **Förkunskaper:** [[Elektrondiffraktion]] --- En kristall beskrivs av tre saker: gittret, som är de regelbundet ordnade punkterna; basen, som är atomen vid varje gitterpunkt; och enhetscellen, den minsta byggklossen som repeteras genom kristallen. Det finns fjorton generella typer av kristallgitter, och de som används i kursen är simple cubic, fcc och bcc. Översikt över alla strukturer: [[Kristallstrukturer]]. --- ## Formeln, symbol för symbol $$ \underbrace{\rho}_{\text{densitet}} =\dfrac{\overbrace{N}^{\text{atomer/cell}}\cdot\overbrace{M/N_A}^{\text{massa/atom}}}{\underbrace{a^{3}}_{\substack{\text{cellens}\\\text{volym}}}} $$ Densiteten är massan i en enhetscell delad med cellens volym. Hela kristallen är samma cell upprepad, så det räcker att räkna på en. --- ## 1. Gitter plus bas ger struktur Gittret är ett rent geometriskt mönster av punkter som ser likadant ut från varje punkt. Basen är det som sitter vid varje punkt: en atom, två joner eller en hel molekyl. Först tillsammans beskriver de en verklig kristall: $$ \text{kristallstruktur}=\text{gitter}+\text{bas} $$ Enhetscellen är en låda som fyller rummet när den flyttas i steg om sin egen kantlängd. För de kubiska gittren är cellen en kub med kanten $a$, **gitterkonstanten**, som typiskt är några tiondels nanometer. Avstånd av den storleken mäts med röntgen- eller [[Elektrondiffraktion|elektrondiffraktion]]. ![[f05-gitter-bas.png|520]] *Kristallstruktur = gitter + bas. Gittret är bara punkter, och vid varje punkt sitter samma grupp atomer, basen. Den blå rutan är enhetscellen med kanten $a$.* --- ## 2. De kubiska gittren | Gitter | Gitterpunkter | Närmaste grannar | Avstånd till närmaste granne | Exempel | |---|---|---|---|---| | Simple cubic (sc) | hörnen | $6$ | $a$ | polonium | | Rymdcentrerat (bcc) | hörnen och kubens mitt | $8$ | $\dfrac{\sqrt3}{2}\,a$ | Fe, Na, W | | Ytcentrerat (fcc) | hörnen och sidornas mitt | $12$ | $\dfrac{\sqrt2}{2}\,a$ | Cu, Al, Au | Avståndet till närmaste granne följer av var atomerna rör vid varandra: längs kanten i sc, längs rymddiagonalen $\sqrt3\,a$ i bcc (två halva avstånd) och längs sidodiagonalen $\sqrt2\,a$ i fcc (två halva avstånd). Den hexagonala tätpackningen, **hcp** (Mg, Zn, Ti), är inte kubisk men har också $12$ närmaste grannar. Skillnaden mot fcc är hur tätpackade lager staplas, se [[Packningstäthet]]. ![[f05-enhetsceller-3d.png|520]] *Enhetscellerna för sc, bcc och fcc (vrid med musen). Hörnatomerna är blå, atomerna i mitten eller på sidorna orange, och den orange linjen visar riktningen där atomerna rör vid varandra: kanten, rymddiagonalen och sidodiagonalen.* --- ## 3. Atomer per enhetscell En atom i ett hörn delas av de åtta celler som möts där, en atom mitt på en sida av två celler och en atom inne i cellen tillhör bara den. Antalet atomer $N$ som hör till en cell blir $$ N_{\text{sc}}=8\cdot\dfrac{1}{8}=1 $$ $$ N_{\text{bcc}}=8\cdot\dfrac{1}{8}+1=2 $$ $$ N_{\text{fcc}}=8\cdot\dfrac{1}{8}+6\cdot\dfrac{1}{2}=4 $$ *Fysika: T k3 (atomer per cell och gitterkonstanter)* --- ## 4. Densiteten ur gitterkonstanten Cellen innehåller $N$ atomer med molmassan $M$, och varje atom väger $M/N_A$. Cellens volym är $a^3$: $$ \rho=\dfrac{m_{\text{cell}}}{V_{\text{cell}}}=\dfrac{N\cdot M/N_A}{a^{3}} $$ $$ \boxed{\rho=\dfrac{N\,M}{N_A\,a^{3}}} $$ Omvänt ger antalet atomer per volymenhet $N/a^3$ direkt, vilket vi behöver för elektronkoncentrationen i [[Ferminivån]] och dopkoncentrationen i [[Dopning]]. --- ## 5. Strukturer med bas **Natriumklorid.** Na⁺ och Cl⁻ växlar längs varje kant, så om vi bortser från vilken jon som är vilken ser det ut som ett sc-gitter med kanten $a/2$. Men gittret ska se likadant ut från varje punkt, och det gör det bara om vi tar med sorten. Strukturen är ett **fcc-gitter med en bas av två joner**: en Na⁺ i gitterpunkten och en Cl⁻ ett halvt kantavstånd bort. Cellen innehåller fyra Na⁺ och fyra Cl⁻. **Diamantstrukturen** (C, Si, Ge) är också ett fcc-gitter med en bas av två atomer, men den andra atomen sitter en fjärdedel längs rymddiagonalen. Cellen innehåller $4\cdot2=8$ atomer, och varje atom har bara fyra närmaste grannar i en tetraeder, som i en [[Kovalent bindning|kovalent bindning]] med fyra valenselektroner. > [!warning] Vanliga fel > - **Gitter och struktur blandas.** Fcc är ett gitter. Koppar är en fcc-*struktur* (en atom per gitterpunkt), och NaCl och kisel är fcc-gitter med en bas av två. > - **NaCl tas för sc.** Na⁺ och Cl⁻ är olika, så grannpunkterna ser inte likadana ut. Gittret är fcc med kanten $a$, och varje gitterpunkt bär ett jonpar. Gitterkonstanten är alltså $a$, inte avståndet $a/2$ mellan närmaste joner. > - **Hörn- och sidoatomer räknas hela.** Ett hörn ger $\tfrac18$, en sida $\tfrac12$. Fcc har $4$ atomer per cell, inte $14$. > - **$a$ tas för atomavståndet.** Det gäller bara i sc. I bcc och fcc är närmaste grannen närmare än $a$. --- ## 6. Lösta exempel > [!example]- Exempel — Kopparns densitet > Koppar har fcc-struktur med gitterkonstanten $a=0{,}3615$ nm och molmassan $63{,}55$ g/mol. Bestäm densiteten och avståndet mellan närmaste grannar. > > > [!note]- Lösning > > **Atomer per cell.** Fcc ger $N=4$. > > > > **Densiteten.** > > $$ > > \rho=\dfrac{N\,M}{N_A\,a^{3}}=\dfrac{4\cdot63{,}55\cdot10^{-3}}{6{,}022\cdot10^{23}\cdot(0{,}3615\cdot10^{-9})^{3}}=\boxed{8{,}94\cdot10^{3}\text{ kg/m}^{3}} > > $$ > > *Fysika: Te* > > > > **Närmaste granne.** Atomerna rör vid varandra längs sidodiagonalen $\sqrt2\,a$, som rymmer två grannavstånd: > > $$ > > d=\dfrac{\sqrt2\,a}{2}=\dfrac{0{,}3615}{\sqrt2}\text{ nm}=\boxed{0{,}256\text{ nm}} > > $$ > > > > **Rimlighetskoll.** Tabellvärdet för koppar är $8{,}96$ g/cm³, så gittermodellen ger densiteten på några promille när. > > > > *Ej kontrollerat mot facit — två oberoende lösningar stämmer överens.* > [!example]- Exempel — Atomtätheten i kisel > Kisel har diamantstruktur med $a=0{,}5431$ nm och molmassan $28{,}09$ g/mol. Bestäm antalet atomer per kubikmeter, densiteten och avståndet till närmaste granne, som ligger en fjärdedel av rymddiagonalen bort. > > > [!note]- Lösning > > **Atomer per cell.** Fcc-gitter med två atomer i basen ger $N=8$. > > > > **Atomtätheten.** > > $$ > > n_{\text{Si}}=\dfrac{N}{a^{3}}=\dfrac{8}{(0{,}5431\cdot10^{-9})^{3}}=\boxed{4{,}99\cdot10^{28}\text{ m}^{-3}} > > $$ > > > > **Densiteten.** > > $$ > > \rho=\dfrac{n_{\text{Si}}\,M}{N_A}=\dfrac{4{,}99\cdot10^{28}\cdot28{,}09\cdot10^{-3}}{6{,}022\cdot10^{23}}=\boxed{2{,}33\cdot10^{3}\text{ kg/m}^{3}} > > $$ > > > > **Närmaste granne.** > > $$ > > d=\dfrac{\sqrt3\,a}{4}=\dfrac{\sqrt3\cdot0{,}5431}{4}\text{ nm}=\boxed{0{,}235\text{ nm}} > > $$ > > > > Koppar har $4/a^3=8{,}47\cdot10^{28}$ atomer per m³. Kisel har alltså bara drygt hälften så många, trots att grannavståndet är kortare. Det beror på att de riktade bindningarna bara ger fyra grannar i stället för tolv. > > > > *Ej kontrollerat mot facit — två oberoende lösningar stämmer överens.* ## Läsning - [[z.University Physics.pdf#page=1445|42.3 Structure of Solids]] --- ← [[Molekylspektra]] · [[F0005T]] · [[Packningstäthet]] →