--- kurs: - F0005T tags: - fysik - fasta tillståndets fysik - storhet förkunskaper: - "[[Energiband]]" status: utkast aliases: - Fermi level - Ferminivå - Utträdesarbete --- > **Kurs:** F0005T > **Förkunskaper:** [[Energiband]] --- Ferminivån $E_F$ skiljer ockuperade från icke-ockuperade tillstånd. I en metall ligger den inne i ledningsbandet, och avståndet upp till vakuumnivån är just utträdesarbetet $\phi$ från fotoelektriska effekten. Det är samma storhet som brunnsdjupet i modellen partikel i potentialbrunn — bandet svarar mot brunnen, och $\phi$ mot kanten. --- ## Formeln, symbol för symbol $$ \underbrace{E_{F0}}_{\substack{\text{högsta fyllda}\\\text{energin vid }T=0}} =\underbrace{\dfrac{\hbar^{2}}{2m}}_{\text{fri elektron}} \bigl(3\pi^{2}\,\underbrace{n}_{\substack{\text{elektroner}\\\text{per m}^3}}\bigr)^{2/3} $$ Ju tätare elektronerna sitter, desto högre måste de fylla upp, eftersom Pauliprincipen bara tillåter två per rumsligt tillstånd. Metallbitens storlek spelar ingen roll, bara tätheten. --- ## 1. Ferminivån i frielektronmodellen I en metall är valenselektronerna inte bundna till någon atom. Vi ser dem som fria partiklar i en låda med metallens form, en tredimensionell version av [[Partikel i låda|partikel i låda]]. Vid $T=0$ fylls tillstånden nerifrån, två elektroner per rumsligt tillstånd, tills alla $N$ elektroner fått plats. Den högsta besatta energin är ferminivån vid absoluta nollpunkten, $E_{F0}$. Antalet tillstånd med energi upp till $E$ räknas fram i [[Tillståndstäthet]]: $$ n(E)=\dfrac{(2m)^{3/2}\,V\,E^{3/2}}{3\pi^{2}\hbar^{3}} $$ Vid $T=0$ är precis $N$ av dem fyllda, så $n(E_{F0})=N$: $$ N=\dfrac{(2m)^{3/2}\,V\,E_{F0}^{3/2}}{3\pi^{2}\hbar^{3}} $$ $$ E_{F0}^{3/2}=\dfrac{3\pi^{2}\hbar^{3}}{(2m)^{3/2}}\cdot\dfrac{N}{V} $$ $$ E_{F0}=\dfrac{\hbar^{2}}{2m}\left(3\pi^{2}\,\dfrac{N}{V}\right)^{2/3} $$ Kvoten $N/V$ är **elektronkoncentrationen**, som vi skriver $n$: $$ \boxed{E_{F0}=\dfrac{\hbar^{2}}{2m}\left(3\pi^{2}n\right)^{2/3}} $$ Ferminivån beror alltså bara på hur tätt elektronerna sitter, inte på hur stor metallbiten är. Elektronkoncentrationen får vi ur densiteten $\rho$, molmassan $M$ och antalet fria elektroner $z$ per atom: $$ n=z\cdot\dfrac{\rho}{M}\cdot N_A $$ *Fysika: T k3 (n tabellerad per grundämne)* För vanliga metaller blir $n\approx10^{28}$–$10^{29}$ m⁻³ och $E_F$ några eV. Två storheter till gör storleken tydlig: $$ v_F=\sqrt{\dfrac{2E_F}{m}},\qquad T_F=\dfrac{E_F}{k} $$ Fermifarten $v_F$ är runt $10^6$ m/s, och det är farten hos de snabbaste elektronerna *vid absoluta nollpunkten*. Fermitemperaturen $T_F$ är några tiotusentals kelvin. Den säger att en klassisk gas skulle behöva så hög temperatur för att ha lika mycket rörelseenergi. --- ## 2. Medelenergin Vid $T=0$ är alla tillstånd under $E_{F0}$ fyllda och alla över tomma. Med tillståndstätheten $g(E)=C\sqrt E$ blir den totala energin och antalet elektroner $$ E_{\text{tot}}=\int_0^{E_{F0}}E\,g(E)\,dE=C\int_0^{E_{F0}}E^{3/2}\,dE=\dfrac{2}{5}\,C\,E_{F0}^{5/2} $$ $$ N=\int_0^{E_{F0}}g(E)\,dE=C\int_0^{E_{F0}}E^{1/2}\,dE=\dfrac{2}{3}\,C\,E_{F0}^{3/2} $$ Kvoten ger medelenergin per elektron: $$ E_{\text{av}}=\dfrac{E_{\text{tot}}}{N}=\dfrac{2/5}{2/3}\,E_{F0} $$ $$ \boxed{E_{\text{av}}=\dfrac{3}{5}\,E_{F0}} $$ Konstanten $C$ förkortas bort. En klassisk gas vid $300$ K har medelenergin $\tfrac32kT=0{,}039$ eV, alltså ungefär femtio gånger mindre. Elektrongasen i en metall är långt ifrån klassisk, och det är Pauliprincipen som tvingar upp elektronerna i energi. --- ## 3. Ferminivån och temperaturen Eftersom $E_F$ är några eV och $kT$ bara $0{,}026$ eV ändras nästan ingenting när metallen värms upp. Bara elektroner inom några $kT$ från $E_F$ kan flytta sig till lediga tillstånd ovanför, se [[Fermi-Dirac-fördelningen]]. För en metall kan vi därför använda $E_{F0}$ vid alla vanliga temperaturer. Det förklarar också varför elektronerna nästan inte bidrar till metallens värmekapacitet: de flesta sitter djupt under $E_F$ och har inga lediga tillstånd att värmas upp till. Bilden i ingressen går att göra kvantitativ. Räknat från ledningsbandets botten ligger de översta elektronerna på $E_F$, och de behöver ytterligare utträdesarbetet $\phi$ för att lämna metallen. Brunnens djup i modellen [[Partikel i potentialbrunn|partikel i potentialbrunn]] blir då $E_F+\phi$. ![[f05-fermi-brunn.png|520]] *Frielektronmodellen som en brunn. Vid $T=0$ fyller elektronerna nivåerna nerifrån, två per rumsligt tillstånd, upp till $E_F$. Ovanför återstår utträdesarbetet $\phi$ upp till vakuumnivån, så brunnens djup är $E_F+\phi$.* > [!warning] Vanliga fel > - **$n$ betyder två saker.** Här är $n$ elektronkoncentrationen i m⁻³, inte ett kvanttal. I noten om tillståndstäthet används $n(E)$ för antalet tillstånd upp till $E$. > - **Fel antal fria elektroner per atom.** Na och Cu har en, Mg och Zn två, Al tre. Glömmer vi faktorn $z$ blir $E_F$ en faktor $z^{2/3}$ för liten. > - **Atomtätheten i fel enhet.** $\rho/M$ måste vara i mol/m³: $\rho$ i kg/m³ och $M$ i kg/mol, inte g/mol. > - **$E_F$ tas för en termisk energi.** $E_F$ finns även vid $T=0$ och är ungefär hundra gånger större än $kT$ vid rumstemperatur. --- ## 4. Lösta exempel > [!example]- Exempel — Ferminivån i natrium > Natrium har densiteten $971$ kg/m³, molmassan $22{,}99$ g/mol och en fri elektron per atom. Bestäm elektronkoncentrationen, ferminivån, fermifarten och medelenergin vid $T=0$. > > > [!note]- Lösning > > **Elektronkoncentrationen.** > > $$ > > n=1\cdot\dfrac{971}{22{,}99\cdot10^{-3}}\cdot6{,}022\cdot10^{23}=\boxed{2{,}54\cdot10^{28}\text{ m}^{-3}} > > $$ > > *Fysika: Te* > > > > **Ferminivån.** Vi räknar faktorerna var för sig: > > $$ > > \dfrac{\hbar^{2}}{2m}=\dfrac{(1{,}0546\cdot10^{-34})^{2}}{2\cdot9{,}109\cdot10^{-31}}=6{,}10\cdot10^{-39}\text{ J}\cdot\text{m}^{2} > > $$ > > $$ > > \left(3\pi^{2}n\right)^{2/3}=\left(7{,}53\cdot10^{29}\right)^{2/3}=8{,}28\cdot10^{19}\text{ m}^{-2} > > $$ > > $$ > > E_{F0}=6{,}10\cdot10^{-39}\cdot8{,}28\cdot10^{19}=5{,}05\cdot10^{-19}\text{ J}=\boxed{3{,}15\text{ eV}} > > $$ > > > > **Fermifarten.** > > $$ > > v_F=\sqrt{\dfrac{2\cdot5{,}05\cdot10^{-19}}{9{,}109\cdot10^{-31}}}=\boxed{1{,}05\cdot10^{6}\text{ m/s}} > > $$ > > > > **Medelenergin.** > > $$ > > E_{\text{av}}=\dfrac{3}{5}\cdot3{,}15\text{ eV}=\boxed{1{,}89\text{ eV}} > > $$ > > > > **Rimlighetskoll.** $v_F$ är $0{,}35\ \%$ av ljushastigheten, så den klassiska formeln för rörelseenergi duger. Fermitemperaturen blir $E_F/k=3{,}66\cdot10^{4}$ K. > > > > *Ej kontrollerat mot facit — två oberoende lösningar stämmer överens.* > [!example]- Exempel — Ferminivån i aluminium > Aluminium har densiteten $2700$ kg/m³, molmassan $26{,}98$ g/mol och tre fria elektroner per atom. Bestäm ferminivån och fermifarten. > > > [!note]- Lösning > > **Elektronkoncentrationen.** Med $z=3$: > > $$ > > n=3\cdot\dfrac{2700}{26{,}98\cdot10^{-3}}\cdot6{,}022\cdot10^{23}=1{,}81\cdot10^{29}\text{ m}^{-3} > > $$ > > > > **Ferminivån.** > > $$ > > \left(3\pi^{2}n\right)^{2/3}=\left(5{,}35\cdot10^{30}\right)^{2/3}=3{,}06\cdot10^{20}\text{ m}^{-2} > > $$ > > $$ > > E_{F0}=6{,}10\cdot10^{-39}\cdot3{,}06\cdot10^{20}=1{,}87\cdot10^{-18}\text{ J}=\boxed{11{,}7\text{ eV}} > > $$ > > > > **Fermifarten.** > > $$ > > v_F=\sqrt{\dfrac{2\cdot1{,}87\cdot10^{-18}}{9{,}109\cdot10^{-31}}}=\boxed{2{,}03\cdot10^{6}\text{ m/s}} > > $$ > > > > **Rimlighetskoll.** Aluminium har $7{,}1$ gånger fler fria elektroner per volym än natrium, och $7{,}1^{2/3}=3{,}7$, vilket är kvoten $11{,}7/3{,}15$. > > > > *Ej kontrollerat mot facit — två oberoende lösningar stämmer överens.* ## Läsning - [[z.University Physics.pdf#page=1451|42.5 Free-Electron Model of Metals]] --- ← [[Bandgap]] · [[F0005T]] · [[Tillståndstäthet]] →