Betingad fördelning och betingat väntevärde

Kurs: S0008M Förkunskaper: Marginalfördelning, Betingad sannolikhet

---

Den betingade fördelningen för $\xi$ givet $\eta =y$ är fördelningen för $\xi$ när vi vet värdet på $\eta$. Den fås genom att normera ett tvärsnitt av den simultana fördelningen, och dess väntevärde — det betingade väntevärdet — är den bästa prognosen för $\xi$ givet informationen.

---

1. Ett tvärsnitt som normeras

Är två variabler beroende ger värdet på den ena ny information om vilka värden på den andra som är troliga — precis som för betingade sannolikheter mellan händelser. I en simultan tabell betyder “givet $\eta =y$” att vi bara tittar på kolumnen $y$. Kolumnens värden summerar till $p_{\eta }(y)$, inte till $1$, så vi delar med kolumnsumman.

Definition 1.9 (kompendiet). Den betingade fördelningen för $\xi$ givet $\eta =y$ ges i det diskreta fallet av sannolikhetsfunktionen

$$\boxed{p_{\xi \mid \eta =y}(x)=\frac{p(x,y)}{p_{\eta }(y)}}$$

och i det kontinuerliga fallet av frekvensfunktionen

$$\boxed{f_{\xi \mid \eta =y}(x)=\frac{f(x,y)}{f_{\eta }(y)}},f_{\eta }(y)={\int }_{-\infty }^{\infty }f(x,y)dx$$

Nämnaren är marginalfördelningen för den variabel vi betingar på.

Oberoende variabler

Är $\xi$ och $\eta$ oberoende är $p(x,y)=p_{\xi }(x)p_{\eta }(y)$, och den betingade fördelningen blir samma som marginalfördelningen för $\xi$. Informationen om $\eta$ ändrar ingenting.

---

2. Betingat väntevärde

Definition 1.12 (kompendiet). Väntevärdet i den betingade fördelningen för $\xi$ givet $\eta =y$ kallas det betingade väntevärdet och betecknas $E(\xi \mid \eta =y)$:

$$E(\xi \mid \eta =y)=\sum _{x}x{p}_{\xi \mid \eta =y}(x)\text{respektive}E(\xi \mid \eta =y)={\int }_{-\infty }^{\infty }x{f}_{\xi \mid \eta =y}(x)dx$$

På samma sätt får vi den betingade variansen och standardavvikelsen, som mäter hur osäkra vi fortfarande är om $\xi$ när $\eta$ är känd.

Bästa prognosen

Väntevärdet $\mu$ är den prognos $c$ för $\xi$ som minimerar det förväntade kvadratiska felet $E((\xi -c{)}^2)$ (beviset är kompendiets övning 1.12 nedan). På samma sätt är $E(\xi \mid \eta =y)$ den bästa prognosen för $\xi$ givet att $\eta =y$, i minsta-kvadrat-mening.

---

3. Lagen om totalt väntevärde

Byter vi $y$ mot $\eta$ i $E(\xi \mid \eta =y)$ får vi en stokastisk variabel, $E(\xi \mid \eta )=g(\eta )$ där $g(y)=E(\xi \mid \eta =y)$.

Lagen om totalt väntevärde (kompendiet, sats 1.13).

$$\boxed{E(\xi )=E(E(\xi \mid \eta ))}$$

Det är lagen om total sannolikhet för väntevärden: räkna väntevärdet fall för fall och väg ihop fallen. Satsen gäller oavsett om variablerna är diskreta, kontinuerliga eller en av varje.

När satsen används

När $\xi$ är svår att beskriva direkt men blir enkel om vi vet värdet på $\eta$. Kommer $\eta$ kunder till en affär och var och en köper mjölk med sannolikheten $0,2$ är $E(\xi \mid \eta )=0,2\eta$, och satsen ger $E(\xi )=0,2E(\eta )$ utan att vi någonsin tar fram fördelningen för $\xi$.

Tillämpad på en indikatorvariabel för en händelse $A$ blir satsen $P(A)=\int P(A\mid \eta =y)f_{\eta }(y)dy$, användbar när $P(A\mid \eta =y)$ är lätt att räkna.

---

4. Lösta lektionsuppgifter

Övningarna märkta Kompendiet kommer ur kompendiet om flerdimensionella fördelningar. Det saknar facit, så de är lösta två gånger oberoende av varandra.

Lektion 17, övning 1b–f — Majas betyg givet Joels

Samma tabell som i Marginalfördelning: $\xi$ = Joels betyg, $\eta$ = Majas betyg, med

$x\backslash y$	3	4	5	$p_{\xi }(x)$
3	0,31	0,11	0,05	0,47
4	0,02	0,22	0,12	0,36
5	0,01	0,03	0,13	0,17
$p_{\eta }(y)$	0,34	0,36	0,30

Utan villkor är $E(\eta )=3,96$ och ${\sigma }_{\eta }=0,799$.

b) Joel skriver tentan först och Maja får veta att han fick betyg 3. Beräkna den betingade fördelningen för Majas betyg.

c) Skissa Majas fördelning före och efter beskedet. Vad har hänt med väntevärdet och spridningen?

d) Beräkna väntevärde och standardavvikelse i den betingade fördelningen som kontroll.

e) Vad hade hänt med väntevärdet och standardavvikelsen om Maja i stället fått veta att Joel fick en femma?

f) Kontrollera förmodan i e) genom att räkna.

Lösning

b) Ta raden $x=3$ och dela med radsumman $p_{\xi }(3)=0,47$:

$$p_{\eta \mid \xi =3}(y)=\frac{0,31}{0,47},\frac{0,11}{0,47},\frac{0,05}{0,47}\approx \boxed{0,6596;0,2340;0,1064}y=3,4,5$$

c) Massan har flyttats mot trean och samlats där:

Väntevärdet har minskat, och eftersom massan nu är koncentrerad på ett värde har spridningen också minskat.

d)

$$E(\eta \mid \xi =3)=3\cdot 0,6596+4\cdot 0,2340+5\cdot 0,1064\approx \boxed{3,4468}$$

$E({\eta }^2\mid \xi =3)\approx 12,340$, så $V(\eta \mid \xi =3)\approx 12,340-3,4468^2\approx 0,460$ och standardavvikelsen blir $\approx \boxed{0,6782}$.

e) Betygen samvarierar positivt, så en femma hos Joel bör flytta Majas fördelning uppåt: väntevärdet ökar. Massan bör samlas vid femman, så spridningen minskar.

f) Raden $x=5$ delad med $p_{\xi }(5)=0,17$:

$$p_{\eta \mid \xi =5}(y)\approx 0,0588;0,1765;0,7647$$

$$E(\eta \mid \xi =5)\approx \boxed{4,7059},\sqrt{V(\eta \mid \xi =5)}\approx \boxed{0,5703}$$

Förmodan stämmer.

På räknaren. One-Variable Statistics med betygen $3,4,5$ som X1 List och radens sannolikheter, till exempel {0.31,0.11,0.05}/0.47, som Frequency List. x̄ ger det betingade väntevärdet och σx den betingade standardavvikelsen.

Facit: b) 0,6596; 0,2340; 0,1064; c) minskat resp. minskat; d) 3,4468 resp. 0,6782; e) ökat resp. minskat; f) 4,7059 resp. 0,5703.

Lektion 17, övning 2 — Total livslängd för batterier

I ett lager finns 25 batterier av typ a och 10 av typ b. Livslängderna är exponentialfördelade, och sannolikheten att ett batteri räcker mer än 100 drifttimmar är $0,95$ för typ a och $0,97$ för typ b. Vi väljer ut 10 batterier på måfå. Vad är väntevärdet av den totala livslängden för de 10 batterierna?

Tips: inför $\xi$ = total livslängd för de 10 och $\eta$ = antal batterier av typ a, och använd lagen om totalt väntevärde.

Lösning

Väntevärdena per typ. För en exponentialfördelad livslängd med parameter $\lambda$ är $P(\text{livsla¨ngd}>t)=e^{-\lambda t}$ och väntevärdet $1/\lambda$. Ur $e^{-100\lambda }=p$ får vi $1/\lambda =100/(-\ln p)$:

$${\mu }_a=\frac{100}{-\ln 0,95}\approx 1949,6\text{ h},{\mu }_b=\frac{100}{-\ln 0,97}\approx 3283,1\text{ h}$$

Betingat på $\eta$. Givet att $\eta =y$ av de 10 är av typ a är resten, $10-y$, av typ b:

$$E(\xi \mid \eta =y)=y{\mu }_a+(10-y){\mu }_b$$

Lagen om totalt väntevärde. $\eta$ är antalet typ a vid dragning utan återläggning, $\eta \in \text{Hyp}(35,10,25/35)$ med $E(\eta )=10\cdot \frac{25}{35}\approx 7,143$. Eftersom $E(\xi \mid \eta )$ är linjär i $\eta$:

$$E(\xi )=E(\eta ){\mu }_a+(10-E(\eta )){\mu }_b\approx 7,143\cdot 1949,6+2,857\cdot 3283,1\approx \boxed{23306\text{ timmar}}$$

Facit: 23 305,75 timmar.

Lektion 17, övning 4 — Likformig fördelning på en triangel

Antag att $(\xi ,\eta )$ är likformigt fördelad på triangeln med hörn i $(0,0)$, $(0,1)$ och $(2,0)$.

a) Diskutera utan beräkningar hur $f_{\xi }(x)$ borde se ut, och hur den betingade fördelningen för $\xi$ givet $\eta =0,5$ borde se ut.

b) Beräkna $f_{\xi }(x)$ och $f_{\xi \mid \eta =0,5}(x)$.

Lösning

a) Triangeln är hög vid $x=0$ och smalnar av mot $x=2$. Marginalen $f_{\xi }(x)$ borde därför också se ut som en triangel, störst vid $0$ och noll vid $2$. Givet $\eta =0,5$ ligger punkten på den vågräta sträckan inuti triangeln, och eftersom den simultana fördelningen är likformig bör den betingade fördelningen vara likformig på den sträckan.

b) Triangelns area är $\frac{1}{2}\cdot 2\cdot 1=1$, så $f(x,y)=1$ på triangeln. Den sneda sidan är $y=1-x/2$.

Marginalen. För $0<x<2$ går $y$ från $0$ till $1-x/2$:

$$f_{\xi }(x)={\int }_0^{1-x/2}1dy=\boxed{1-\frac{x}{2}},0<x<2$$

en triangel, som förutsagt.

Den betingade. För $0<y<1$ går $x$ från $0$ till $2(1-y)$, så $f_{\eta }(y)=2(1-y)$ och $f_{\eta }(0,5)=1$. Alltså

$$f_{\xi \mid \eta =0,5}(x)=\frac{f(x;0,5)}{f_{\eta }(0,5)}=\boxed{1},0<x<1$$

en rektangelfördelning på $(0,1)$, likformig på sträckan $y=0,5$ inuti triangeln.

Facit: $f_{\xi }(x)$ ser ut som en triangel, och den betingade fördelningen är likformig på den del av linjen $y=0,5$ som ligger i triangeln. Facit ger bara formen; uttrycken är lösta två gånger oberoende av varandra och stämmer överens.

Kompendiet, övning 1.10 — Tre diskreta variabler

Definitionen av en diskret tredimensionell fördelning är analog med det tvådimensionella fallet. Antag att $(\xi ,\eta ,\zeta )$ har sannolikhetsfunktionen $p(x,y,z)$.

a) Ange uttryck för marginalfördelningarna för $\xi$, $\eta$ och $\zeta$.

b) Ange ett uttryck för den betingade sannolikhetsfunktionen för $\xi$ givet $\eta =y$, och för den betingade sannolikhetsfunktionen för $\xi$ givet $\eta =y$ och $\zeta =z$.

Lösning

a) Summera bort de variabler vi inte är intresserade av:

$$p_{\xi }(x)=\sum _y\sum _{z}p(x,y,z),p_{\eta }(y)=\sum _x\sum _{z}p(x,y,z),p_{\zeta }(z)=\sum _x\sum _{y}p(x,y,z)$$

b) Som i det tvådimensionella fallet: simultan sannolikhet delad med sannolikheten för villkoret. Med ett villkor behöver täljaren den simultana fördelningen för $(\xi ,\eta )$, där $\zeta$ är bortsummerad:

$$p_{\xi \mid \eta =y}(x)=\frac{{\sum }_{z}p(x,y,z)}{p_{\eta }(y)}$$

Med två villkor är täljaren $p(x,y,z)$ själv, och nämnaren är den simultana marginalen för $(\eta ,\zeta )$:

$$p_{\xi \mid \eta =y,\zeta =z}(x)=\frac{p(x,y,z)}{{\sum }_{x^{\prime }}p(x^{\prime },y,z)}$$

Båda gäller för de $y$ respektive $(y,z)$ där nämnaren är positiv.

Ej kontrollerat mot facit — två oberoende lösningar stämmer överens.

Kompendiet, övning 1.11 — Betyget utan seminarier

Använd tabellen över tentamensbetyg $\xi$ och antal seminarier $\eta$ i kompendiets övning 1.1. Beräkna väntevärdet av betyget för en student som inte har gått på något seminarium, och jämför med väntevärdet innan vi fick den informationen.

Lösning

Utan villkor. Radsummorna är $p_{\xi }(2),\dots ,p_{\xi }(5)=0,30;0,35;0,25;0,10$, så

$$E(\xi )=2\cdot 0,30+3\cdot 0,35+4\cdot 0,25+5\cdot 0,10=3,15$$

Givet $\eta =0$. Kolumnen $y=0$ har värdena $0,18;0,11;0,06;0,02$ med summan $p_{\eta }(0)=0,37$. Den betingade fördelningen är kolumnen delad med $0,37$:

$$p_{\xi \mid \eta =0}(x)\approx 0,486;0,297;0,162;0,054x=2,3,4,5$$

$$E(\xi \mid \eta =0)=\frac{2\cdot 0,18+3\cdot 0,11+4\cdot 0,06+5\cdot 0,02}{0,37}=\frac{1,03}{0,37}\approx \boxed{2,78}$$

Jämförelse. Det förväntade betyget sjunker från $3,15$ till $2,78$ när vi vet att studenten inte gått på något seminarium. Nästan hälften av de studenterna blir underkända. Det säger inget om orsaken: seminarierna kan hjälpa, men flitiga studenter kan också vara de som går dit.

På räknaren. One-Variable Statistics med {2,3,4,5} och Frequency List {0.18,0.11,0.06,0.02}/0.37.

Ej kontrollerat mot facit — två oberoende lösningar stämmer överens.

Kompendiet, övning 1.12 — Väntevärdet är den bästa prognosen

Låt $\xi$ vara en stokastisk variabel med väntevärdet $\mu$. Visa att funktionen $f(c)=E((\xi -c{)}^2)$ antar sitt minsta värde då $c=\mu$.

Lösning

Utveckla kvadraten och använd att väntevärdet är linjärt och att $c$ är en konstant:

$$f(c)=E({\xi }^2-2c\xi +c^2)=E({\xi }^2)-2c\mu +c^2$$

Det är ett andragradspolynom i $c$ med positiv $c^2$-koefficient.

Kvadratkomplettera. Lägg till och dra ifrån ${\mu }^2$:

$$f(c)=\underset{V(\xi )}{\underbrace{E({\xi }^2)-{\mu }^2}}+(c-\mu {)}^2$$

Första termen beror inte på $c$, och andra är $\ge 0$ med likhet precis då $c=\mu$. Alltså antar $f$ sitt minsta värde $\boxed{f(\mu )=V(\xi )}$ i $c=\mu$.

Tolkning. Variansen är det minsta förväntade kvadratiska fel som går att uppnå med en fast prognos. Gör vi samma räkning i den betingade fördelningen givet $\eta =y$ följer att $E(\xi \mid \eta =y)$ är den bästa prognosen när $\eta$ är känd.

Resonemangsuppgift — det finns inget facit att jämföra med.

Kompendiet, övning 1.13 (Vännman 2.25, i 2:a uppl. 2.24) — Livslängd för ett batteri ur centrallagret

Batterierna i lektion 2, övning 6 kommer från fabrik $A$ ($50\%$), $B$ ($20\%$) och $C$ ($30\%$). Ett batteri från $A$ räcker mer än 100 drifttimmar med sannolikheten $0,95$, från $B$ med $0,97$ och från $C$ med $0,98$. Antag att livslängderna är exponentialfördelade med parametrarna ${\lambda }_A$, ${\lambda }_B$ och ${\lambda }_C$.

a) Beräkna ${\lambda }_A$, ${\lambda }_B$ och ${\lambda }_C$.

b) Beräkna den förväntade livslängden för ett batteri som tas på måfå ur centrallagret.

Lösning

a) För $\xi \in \text{Exp}(\lambda )$ är $P(\xi >100)=e^{-100\lambda }$. Sätt det lika med den givna sannolikheten och lös ut $\lambda$:

$$\lambda =\frac{-\ln p}{100}:{\lambda }_A=\frac{-\ln 0,95}{100}\approx \boxed{5,13\cdot 10^{-4}},{\lambda }_B\approx \boxed{3,05\cdot 10^{-4}},{\lambda }_C\approx \boxed{2,02\cdot 10^{-4}}$$

per timme. Väntevärdena $1/\lambda$ blir $1950$, $3283$ och $4950$ timmar.

b) Låt $\eta$ vara fabriken. Givet fabriken är den förväntade livslängden $1/\lambda$ för den fabriken, och lagen om totalt väntevärde väger ihop:

$$E(\xi )=0,5\cdot \frac{1}{{\lambda }_A}+0,2\cdot \frac{1}{{\lambda }_B}+0,3\cdot \frac{1}{{\lambda }_C}\approx 0,5\cdot 1950+0,2\cdot 3283+0,3\cdot 4950\approx \boxed{3116\text{ timmar}}$$

Fallgrop. Det är väntevärdena som ska vägas ihop, inte parametrarna. $1/(0,5{\lambda }_A+0,2{\lambda }_B+0,3{\lambda }_C)\approx 2646$ timmar är fel: blandningen av tre exponentialfördelningar är ingen exponentialfördelning.

Ej kontrollerat mot facit — två oberoende lösningar stämmer överens.

Kompendiet, övning 1.14 — Summa med ett slumpmässigt antal termer

Antag att ${\xi }_1,{\xi }_2,{\xi }_3,\dots$ är $R(0,1)$-fördelade och att $\eta \in \text{Po}(10)$ är oberoende av dem. Låt $\xi ={\sum }_{i=1}^{\eta }{\xi }_i$. Beräkna $E(\xi )$.

Lösning

Betinga på antalet termer. Givet $\eta =y$ är $\xi$ en summa av $y$ termer med väntevärdet $1/2$ vardera, och eftersom $\eta$ är oberoende av termerna ändras inte deras fördelning av villkoret:

$$E(\xi \mid \eta =y)=\frac{y}{2}⟹E(\xi \mid \eta )=\frac{\eta }{2}$$

Lagen om totalt väntevärde.

$$E(\xi )=E\left(\frac{\eta }{2}\right)=\frac{E(\eta )}{2}=\frac{10}{2}=\boxed{5}$$

Samma resonemang som mjölkexemplet i avsnitt 3. Kompendiets eget exempel 1.14 har där ett tryckfel, $0,2\cdot 0,4$ i stället för $0,2\cdot 4$, men svaret $0,8$ stämmer.

Ej kontrollerat mot facit — två oberoende lösningar stämmer överens.

---

Se även

• Marginalfördelning
• Flerdimensionella fördelningar
• Betingad sannolikhet
• Lagen om total sannolikhet
• Väntevärde
• Tvådimensionell normalfördelning

Resurser

• Wikipedia: Conditional probability distribution
• Wikipedia: Law of total expectation

---

← Marginalfördelning · S0008M · Kovarians →