---
kurs:
  - S0008M
tags:
  - matematik
  - sannolikhetslära
  - definition
förkunskaper:
  - "[[Marginalfördelning]]"
  - "[[Betingad sannolikhet]]"
status: utkast
aliases:
  - Betingad fördelning
  - Betingat väntevärde
  - Lagen om totalt väntevärde
  - Sats 1.13
  - E(ξ|η)
---

> **Kurs:** S0008M
> **Förkunskaper:** [[Marginalfördelning]], [[Betingad sannolikhet]]

---

Den betingade fördelningen för $\xi$ givet $\eta = y$ är fördelningen för $\xi$ när vi vet värdet på $\eta$. Den fås genom att normera ett tvärsnitt av den simultana fördelningen, och dess väntevärde — det betingade väntevärdet — är den bästa prognosen för $\xi$ givet informationen.

---

## 1. Ett tvärsnitt som normeras

Är två variabler beroende ger värdet på den ena ny information om vilka värden på den andra som är troliga — precis som för [[Betingad sannolikhet|betingade sannolikheter]] mellan händelser. I en simultan tabell betyder "givet $\eta = y$" att vi bara tittar på kolumnen $y$. Kolumnens värden summerar till $p_\eta(y)$, inte till $1$, så vi delar med kolumnsumman.

**Definition 1.9** (kompendiet). Den **betingade fördelningen** för $\xi$ givet $\eta = y$ ges i det diskreta fallet av sannolikhetsfunktionen

$$
\boxed{p_{\xi\mid\eta=y}(x) = \dfrac{p(x,y)}{p_\eta(y)}}
$$

och i det kontinuerliga fallet av frekvensfunktionen

$$
\boxed{f_{\xi\mid\eta=y}(x) = \dfrac{f(x,y)}{f_\eta(y)}}, \qquad f_\eta(y) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x,y)\,dx
$$

Nämnaren är [[Marginalfördelning|marginalfördelningen]] för den variabel vi betingar på.

> [!note] Oberoende variabler
> Är $\xi$ och $\eta$ oberoende är $p(x,y) = p_\xi(x)\,p_\eta(y)$, och den betingade fördelningen blir samma som marginalfördelningen för $\xi$. Informationen om $\eta$ ändrar ingenting.

---

## 2. Betingat väntevärde

**Definition 1.12** (kompendiet). Väntevärdet i den betingade fördelningen för $\xi$ givet $\eta = y$ kallas det **betingade väntevärdet** och betecknas $E(\xi\mid\eta = y)$:

$$
E(\xi\mid\eta = y) = \sum_x x\,p_{\xi\mid\eta=y}(x) \qquad\text{respektive}\qquad E(\xi\mid\eta = y) = \int_{-\infty}^{\infty} x\,f_{\xi\mid\eta=y}(x)\,dx
$$

På samma sätt får vi den betingade variansen och standardavvikelsen, som mäter hur osäkra vi fortfarande är om $\xi$ när $\eta$ är känd.

> [!important] Bästa prognosen
> [[Väntevärde|Väntevärdet]] $\mu$ är den prognos $c$ för $\xi$ som minimerar det förväntade kvadratiska felet $E\big((\xi - c)^2\big)$ (beviset är kompendiets övning 1.12 nedan). På samma sätt är $E(\xi\mid\eta = y)$ den bästa prognosen för $\xi$ **givet** att $\eta = y$, i minsta-kvadrat-mening.

---

## 3. Lagen om totalt väntevärde

Byter vi $y$ mot $\eta$ i $E(\xi\mid\eta = y)$ får vi en stokastisk variabel, $E(\xi\mid\eta) = g(\eta)$ där $g(y) = E(\xi\mid\eta = y)$.

**Lagen om totalt väntevärde** (kompendiet, sats 1.13).

$$
\boxed{E(\xi) = E\big(E(\xi\mid\eta)\big)}
$$

Det är [[Lagen om total sannolikhet|lagen om total sannolikhet]] för väntevärden: räkna väntevärdet fall för fall och väg ihop fallen. Satsen gäller oavsett om variablerna är diskreta, kontinuerliga eller en av varje.

> [!tip] När satsen används
> När $\xi$ är svår att beskriva direkt men blir enkel om vi vet värdet på $\eta$. Kommer $\eta$ kunder till en affär och var och en köper mjölk med sannolikheten $0{,}2$ är $E(\xi\mid\eta) = 0{,}2\,\eta$, och satsen ger $E(\xi) = 0{,}2\,E(\eta)$ utan att vi någonsin tar fram fördelningen för $\xi$.

Tillämpad på en indikatorvariabel för en händelse $A$ blir satsen $P(A) = \int P(A\mid\eta = y)\,f_\eta(y)\,dy$, användbar när $P(A\mid\eta = y)$ är lätt att räkna.

---

## 4. Lösta lektionsuppgifter

Övningarna märkta *Kompendiet* kommer ur kompendiet om flerdimensionella fördelningar. Det saknar facit, så de är lösta två gånger oberoende av varandra.

> [!example]- Lektion 17, övning 1b–f — Majas betyg givet Joels
> Samma tabell som i [[Marginalfördelning]]: $\xi$ = Joels betyg, $\eta$ = Majas betyg, med
>
> | $x\backslash y$ | 3 | 4 | 5 | $p_\xi(x)$ |
> |---|---|---|---|---|
> | **3** | 0,31 | 0,11 | 0,05 | 0,47 |
> | **4** | 0,02 | 0,22 | 0,12 | 0,36 |
> | **5** | 0,01 | 0,03 | 0,13 | 0,17 |
> | $p_\eta(y)$ | 0,34 | 0,36 | 0,30 | |
>
> Utan villkor är $E(\eta) = 3{,}96$ och $\sigma_\eta = 0{,}799$.
>
> b) Joel skriver tentan först och Maja får veta att han fick betyg 3. Beräkna den betingade fördelningen för Majas betyg.
>
> c) Skissa Majas fördelning före och efter beskedet. Vad har hänt med väntevärdet och spridningen?
>
> d) Beräkna väntevärde och standardavvikelse i den betingade fördelningen som kontroll.
>
> e) Vad hade hänt med väntevärdet och standardavvikelsen om Maja i stället fått veta att Joel fick en femma?
>
> f) Kontrollera förmodan i e) genom att räkna.
>
> > [!note]- Lösning
> > **b)** Ta raden $x = 3$ och dela med radsumman $p_\xi(3) = 0{,}47$:
> > $$
> > p_{\eta\mid\xi=3}(y) = \dfrac{0{,}31}{0{,}47},\ \dfrac{0{,}11}{0{,}47},\ \dfrac{0{,}05}{0{,}47} \approx \boxed{0{,}6596;\ 0{,}2340;\ 0{,}1064} \qquad y = 3, 4, 5
> > $$
> >
> > **c)** Massan har flyttats mot trean och samlats där:
> >
> > ![[lek17-betingad-fordelning-betyg.png|620]]
> >
> > Väntevärdet har **minskat**, och eftersom massan nu är koncentrerad på ett värde har spridningen också **minskat**.
> >
> > **d)**
> > $$
> > E(\eta\mid\xi = 3) = 3\cdot0{,}6596 + 4\cdot0{,}2340 + 5\cdot0{,}1064 \approx \boxed{3{,}4468}
> > $$
> > $E(\eta^2\mid\xi = 3) \approx 12{,}340$, så $V(\eta\mid\xi = 3) \approx 12{,}340 - 3{,}4468^2 \approx 0{,}460$ och standardavvikelsen blir $\approx\boxed{0{,}6782}$.
> >
> > **e)** Betygen samvarierar positivt, så en femma hos Joel bör flytta Majas fördelning uppåt: väntevärdet **ökar**. Massan bör samlas vid femman, så spridningen **minskar**.
> >
> > **f)** Raden $x = 5$ delad med $p_\xi(5) = 0{,}17$:
> > $$
> > p_{\eta\mid\xi=5}(y) \approx 0{,}0588;\ 0{,}1765;\ 0{,}7647
> > $$
> > $$
> > E(\eta\mid\xi = 5) \approx \boxed{4{,}7059}, \qquad \sqrt{V(\eta\mid\xi = 5)} \approx \boxed{0{,}5703}
> > $$
> > Förmodan stämmer.
> >
> > **På räknaren.** One-Variable Statistics med betygen $3, 4, 5$ som **X1 List** och radens sannolikheter, till exempel `{0.31,0.11,0.05}/0.47`, som **Frequency List**. `x̄` ger det betingade väntevärdet och `σx` den betingade standardavvikelsen.
> >
> > *Facit: b) 0,6596; 0,2340; 0,1064; c) minskat resp. minskat; d) 3,4468 resp. 0,6782; e) ökat resp. minskat; f) 4,7059 resp. 0,5703.*

> [!example]- Lektion 17, övning 2 — Total livslängd för batterier
> I ett lager finns 25 batterier av typ a och 10 av typ b. Livslängderna är exponentialfördelade, och sannolikheten att ett batteri räcker mer än 100 drifttimmar är $0{,}95$ för typ a och $0{,}97$ för typ b. Vi väljer ut 10 batterier på måfå. Vad är väntevärdet av den totala livslängden för de 10 batterierna?
>
> *Tips:* inför $\xi$ = total livslängd för de 10 och $\eta$ = antal batterier av typ a, och använd lagen om totalt väntevärde.
>
> > [!note]- Lösning
> > **Väntevärdena per typ.** För en [[Exponentialfördelning|exponentialfördelad]] livslängd med parameter $\lambda$ är $P(\text{livslängd} > t) = e^{-\lambda t}$ och väntevärdet $1/\lambda$. Ur $e^{-100\lambda} = p$ får vi $1/\lambda = 100/(-\ln p)$:
> > $$
> > \mu_a = \dfrac{100}{-\ln 0{,}95} \approx 1949{,}6 \text{ h}, \qquad \mu_b = \dfrac{100}{-\ln 0{,}97} \approx 3283{,}1 \text{ h}
> > $$
> >
> > **Betingat på $\eta$.** Givet att $\eta = y$ av de 10 är av typ a är resten, $10 - y$, av typ b:
> > $$
> > E(\xi\mid\eta = y) = y\,\mu_a + (10 - y)\,\mu_b
> > $$
> >
> > **Lagen om totalt väntevärde.** $\eta$ är antalet typ a vid dragning utan återläggning, $\eta\in\text{Hyp}(35,\ 10,\ 25/35)$ med $E(\eta) = 10\cdot\frac{25}{35} \approx 7{,}143$. Eftersom $E(\xi\mid\eta)$ är linjär i $\eta$:
> > $$
> > E(\xi) = E(\eta)\,\mu_a + \big(10 - E(\eta)\big)\,\mu_b \approx 7{,}143\cdot1949{,}6 + 2{,}857\cdot3283{,}1 \approx \boxed{23\,306 \text{ timmar}}
> > $$
> >
> > *Facit: 23 305,75 timmar.*

> [!example]- Lektion 17, övning 4 — Likformig fördelning på en triangel
> Antag att $(\xi,\eta)$ är likformigt fördelad på triangeln med hörn i $(0,0)$, $(0,1)$ och $(2,0)$.
>
> a) Diskutera utan beräkningar hur $f_\xi(x)$ borde se ut, och hur den betingade fördelningen för $\xi$ givet $\eta = 0{,}5$ borde se ut.
>
> b) Beräkna $f_\xi(x)$ och $f_{\xi\mid\eta=0{,}5}(x)$.
>
> > [!note]- Lösning
> > ![[lek17-triangel.png|380]]
> >
> > **a)** Triangeln är hög vid $x = 0$ och smalnar av mot $x = 2$. Marginalen $f_\xi(x)$ borde därför också se ut som en triangel, störst vid $0$ och noll vid $2$. Givet $\eta = 0{,}5$ ligger punkten på den vågräta sträckan inuti triangeln, och eftersom den simultana fördelningen är likformig bör den betingade fördelningen vara likformig på den sträckan.
> >
> > **b)** Triangelns area är $\frac12\cdot2\cdot1 = 1$, så $f(x,y) = 1$ på triangeln. Den sneda sidan är $y = 1 - x/2$.
> >
> > *Marginalen.* För $0 < x < 2$ går $y$ från $0$ till $1 - x/2$:
> > $$
> > f_\xi(x) = \int_0^{1-x/2} 1\,dy = \boxed{1 - \dfrac{x}{2}}, \qquad 0 < x < 2
> > $$
> > en triangel, som förutsagt.
> >
> > *Den betingade.* För $0 < y < 1$ går $x$ från $0$ till $2(1 - y)$, så $f_\eta(y) = 2(1 - y)$ och $f_\eta(0{,}5) = 1$. Alltså
> > $$
> > f_{\xi\mid\eta=0{,}5}(x) = \dfrac{f(x;\ 0{,}5)}{f_\eta(0{,}5)} = \boxed{1}, \qquad 0 < x < 1
> > $$
> > en rektangelfördelning på $(0,1)$, likformig på sträckan $y = 0{,}5$ inuti triangeln.
> >
> > *Facit: $f_\xi(x)$ ser ut som en triangel, och den betingade fördelningen är likformig på den del av linjen $y = 0{,}5$ som ligger i triangeln. Facit ger bara formen; uttrycken är lösta två gånger oberoende av varandra och stämmer överens.*


> [!example]- Kompendiet, övning 1.10 — Tre diskreta variabler
> Definitionen av en diskret tredimensionell fördelning är analog med det tvådimensionella fallet. Antag att $(\xi,\eta,\zeta)$ har sannolikhetsfunktionen $p(x,y,z)$.
>
> a) Ange uttryck för marginalfördelningarna för $\xi$, $\eta$ och $\zeta$.
>
> b) Ange ett uttryck för den betingade sannolikhetsfunktionen för $\xi$ givet $\eta = y$, och för den betingade sannolikhetsfunktionen för $\xi$ givet $\eta = y$ och $\zeta = z$.
>
> > [!note]- Lösning
> > **a)** Summera bort de variabler vi inte är intresserade av:
> > $$
> > p_\xi(x) = \sum_y\sum_z p(x,y,z), \qquad p_\eta(y) = \sum_x\sum_z p(x,y,z), \qquad p_\zeta(z) = \sum_x\sum_y p(x,y,z)
> > $$
> >
> > **b)** Som i det tvådimensionella fallet: simultan sannolikhet delad med sannolikheten för villkoret. Med ett villkor behöver täljaren den simultana fördelningen för $(\xi,\eta)$, där $\zeta$ är bortsummerad:
> > $$
> > p_{\xi\mid\eta=y}(x) = \dfrac{\sum_z p(x,y,z)}{p_\eta(y)}
> > $$
> > Med två villkor är täljaren $p(x,y,z)$ själv, och nämnaren är den simultana marginalen för $(\eta,\zeta)$:
> > $$
> > p_{\xi\mid\eta=y,\,\zeta=z}(x) = \dfrac{p(x,y,z)}{\sum_{x'} p(x',y,z)}
> > $$
> > Båda gäller för de $y$ respektive $(y,z)$ där nämnaren är positiv.
> >
> > *Ej kontrollerat mot facit — två oberoende lösningar stämmer överens.*

> [!example]- Kompendiet, övning 1.11 — Betyget utan seminarier
> Använd tabellen över tentamensbetyg $\xi$ och antal seminarier $\eta$ i [[Flerdimensionella fördelningar|kompendiets övning 1.1]]. Beräkna väntevärdet av betyget för en student som inte har gått på något seminarium, och jämför med väntevärdet innan vi fick den informationen.
>
> > [!note]- Lösning
> > **Utan villkor.** Radsummorna är $p_\xi(2), \dots, p_\xi(5) = 0{,}30;\ 0{,}35;\ 0{,}25;\ 0{,}10$, så
> > $$
> > E(\xi) = 2\cdot0{,}30 + 3\cdot0{,}35 + 4\cdot0{,}25 + 5\cdot0{,}10 = 3{,}15
> > $$
> >
> > **Givet $\eta = 0$.** Kolumnen $y = 0$ har värdena $0{,}18;\ 0{,}11;\ 0{,}06;\ 0{,}02$ med summan $p_\eta(0) = 0{,}37$. Den betingade fördelningen är kolumnen delad med $0{,}37$:
> > $$
> > p_{\xi\mid\eta=0}(x) \approx 0{,}486;\ 0{,}297;\ 0{,}162;\ 0{,}054 \qquad x = 2, 3, 4, 5
> > $$
> > $$
> > E(\xi\mid\eta = 0) = \dfrac{2\cdot0{,}18 + 3\cdot0{,}11 + 4\cdot0{,}06 + 5\cdot0{,}02}{0{,}37} = \dfrac{1{,}03}{0{,}37} \approx \boxed{2{,}78}
> > $$
> >
> > **Jämförelse.** Det förväntade betyget sjunker från $3{,}15$ till $2{,}78$ när vi vet att studenten inte gått på något seminarium. Nästan hälften av de studenterna blir underkända. Det säger inget om orsaken: seminarierna kan hjälpa, men flitiga studenter kan också vara de som går dit.
> >
> > **På räknaren.** One-Variable Statistics med `{2,3,4,5}` och **Frequency List** `{0.18,0.11,0.06,0.02}/0.37`.
> >
> > *Ej kontrollerat mot facit — två oberoende lösningar stämmer överens.*

> [!example]- Kompendiet, övning 1.12 — Väntevärdet är den bästa prognosen
> Låt $\xi$ vara en stokastisk variabel med väntevärdet $\mu$. Visa att funktionen $f(c) = E\big((\xi - c)^2\big)$ antar sitt minsta värde då $c = \mu$.
>
> > [!note]- Lösning
> > **Utveckla kvadraten** och använd att väntevärdet är linjärt och att $c$ är en konstant:
> > $$
> > f(c) = E(\xi^2 - 2c\,\xi + c^2) = E(\xi^2) - 2c\,\mu + c^2
> > $$
> > Det är ett andragradspolynom i $c$ med positiv $c^2$-koefficient.
> >
> > **Kvadratkomplettera.** Lägg till och dra ifrån $\mu^2$:
> > $$
> > f(c) = \underbrace{E(\xi^2) - \mu^2}_{V(\xi)} + (c - \mu)^2
> > $$
> > Första termen beror inte på $c$, och andra är $\ge 0$ med likhet precis då $c = \mu$. Alltså antar $f$ sitt minsta värde $\boxed{f(\mu) = V(\xi)}$ i $c = \mu$.
> >
> > **Tolkning.** Variansen är det minsta förväntade kvadratiska fel som går att uppnå med en fast prognos. Gör vi samma räkning i den betingade fördelningen givet $\eta = y$ följer att $E(\xi\mid\eta = y)$ är den bästa prognosen när $\eta$ är känd.
> >
> > *Resonemangsuppgift — det finns inget facit att jämföra med.*

> [!example]- Kompendiet, övning 1.13 (Vännman 2.25, i 2:a uppl. 2.24) — Livslängd för ett batteri ur centrallagret
> Batterierna i [[Lagen om total sannolikhet|lektion 2, övning 6]] kommer från fabrik $A$ ($50\ \%$), $B$ ($20\ \%$) och $C$ ($30\ \%$). Ett batteri från $A$ räcker mer än 100 drifttimmar med sannolikheten $0{,}95$, från $B$ med $0{,}97$ och från $C$ med $0{,}98$. Antag att livslängderna är exponentialfördelade med parametrarna $\lambda_A$, $\lambda_B$ och $\lambda_C$.
>
> a) Beräkna $\lambda_A$, $\lambda_B$ och $\lambda_C$.
>
> b) Beräkna den förväntade livslängden för ett batteri som tas på måfå ur centrallagret.
>
> > [!note]- Lösning
> > **a)** För $\xi\in\text{Exp}(\lambda)$ är $P(\xi > 100) = e^{-100\lambda}$. Sätt det lika med den givna sannolikheten och lös ut $\lambda$:
> > $$
> > \lambda = \dfrac{-\ln p}{100}: \qquad \lambda_A = \dfrac{-\ln 0{,}95}{100} \approx \boxed{5{,}13\cdot10^{-4}}, \quad \lambda_B \approx \boxed{3{,}05\cdot10^{-4}}, \quad \lambda_C \approx \boxed{2{,}02\cdot10^{-4}}
> > $$
> > per timme. Väntevärdena $1/\lambda$ blir $1950$, $3283$ och $4950$ timmar.
> >
> > **b)** Låt $\eta$ vara fabriken. Givet fabriken är den förväntade livslängden $1/\lambda$ för den fabriken, och lagen om totalt väntevärde väger ihop:
> > $$
> > E(\xi) = 0{,}5\cdot\dfrac{1}{\lambda_A} + 0{,}2\cdot\dfrac{1}{\lambda_B} + 0{,}3\cdot\dfrac{1}{\lambda_C} \approx 0{,}5\cdot1950 + 0{,}2\cdot3283 + 0{,}3\cdot4950 \approx \boxed{3116 \text{ timmar}}
> > $$
> >
> > **Fallgrop.** Det är väntevärdena som ska vägas ihop, inte parametrarna. $1/(0{,}5\lambda_A + 0{,}2\lambda_B + 0{,}3\lambda_C) \approx 2646$ timmar är fel: blandningen av tre exponentialfördelningar är ingen exponentialfördelning.
> >
> > *Ej kontrollerat mot facit — två oberoende lösningar stämmer överens.*

> [!example]- Kompendiet, övning 1.14 — Summa med ett slumpmässigt antal termer
> Antag att $\xi_1, \xi_2, \xi_3, \dots$ är $R(0,1)$-fördelade och att $\eta\in\text{Po}(10)$ är oberoende av dem. Låt $\xi = \sum_{i=1}^{\eta}\xi_i$. Beräkna $E(\xi)$.
>
> > [!note]- Lösning
> > **Betinga på antalet termer.** Givet $\eta = y$ är $\xi$ en summa av $y$ termer med väntevärdet $1/2$ vardera, och eftersom $\eta$ är oberoende av termerna ändras inte deras fördelning av villkoret:
> > $$
> > E(\xi\mid\eta = y) = \dfrac y2 \quad\Longrightarrow\quad E(\xi\mid\eta) = \dfrac\eta2
> > $$
> >
> > **Lagen om totalt väntevärde.**
> > $$
> > E(\xi) = E\!\left(\dfrac\eta2\right) = \dfrac{E(\eta)}{2} = \dfrac{10}{2} = \boxed{5}
> > $$
> >
> > Samma resonemang som mjölkexemplet i avsnitt 3. Kompendiets eget exempel 1.14 har där ett tryckfel, $0{,}2\cdot0{,}4$ i stället för $0{,}2\cdot4$, men svaret $0{,}8$ stämmer.
> >
> > *Ej kontrollerat mot facit — två oberoende lösningar stämmer överens.*

---

## Se även

- [[Marginalfördelning]]
- [[Flerdimensionella fördelningar]]
- [[Betingad sannolikhet]]
- [[Lagen om total sannolikhet]]
- [[Väntevärde]]
- [[Tvådimensionell normalfördelning]]

## Resurser

- [Wikipedia: Conditional probability distribution](https://en.wikipedia.org/wiki/Conditional_probability_distribution)
- [Wikipedia: Law of total expectation](https://en.wikipedia.org/wiki/Law_of_total_expectation)

---

← [[Marginalfördelning]] · [[S0008M]] · [[Kovarians]] →