Stående våg

Kurs: F0005T Förkunskaper: Superposition av vågor, Reflektion av vågor

---

En stående våg uppstår när två identiska vågor rör sig mot varandra i samma medium. Mönstret förflyttar sig inte i rummet — istället svänger hela mediet i takt, med punkter som står helt still och punkter som svänger maximalt.

---

1. Vad kännetecknar en stående våg?

Alla punkter når jämviktsläge samtidigt, alla punkter når sin vändpunkt samtidigt. Vågens komponenter är:

• Nodpunkter — punkter som inte lämnar jämviktsläget (markerade med rött i gif nedan)
• Buk — punkterna som når maximalt utslag i vågen. Mitt emellan nodpunkterna

En stående våg bildas genom att kombinera 2 vågor som propagerar i motgående riktningar med samma egenskaper.

---

2. Härledning ur superposition

De två motgående vågorna är

$y_1=A\sin (kx-\omega t)$

$y_2=A\sin (kx+\omega t)$

Vi adderar dem på komplex form. Med Eulers identiteter

$\sin \beta =\frac{e^{i\beta }-e^{-i\beta }}{2i}$

$\cos \beta =\frac{e^{i\beta }+e^{-i\beta }}{2}$

blir summan

$y_1+y_2=A\frac{e^{ikx}-e^{-ikx}}{2i}\left[e^{i\omega t}+e^{-i\omega t}\right]$

Den första faktorn är $\sin (kx)$ och den andra $2\cos (\omega t)$, alltså

$\boxed{y=2A\sin (kx)\cos (\omega t)}$ Fysika: Fc1a (i formen $s=f(x)\cdot g(t)$)

Läget och tiden har separerat. Rumsberoendet $\sin (kx)$ sätter mönstret en gång för alla; tidsberoendet $\cos (\omega t)$ ändrar bara den gemensamma amplituden. Ingenting vandrar.

---

3. Noder och bukar

Ur rumsfaktorn läses de två specialfallen av direkt:

nod: $\sin (kx)=0$ buk: $\sin (kx)=\pm 1$

Var mönstret hamnar beror på randvillkoret. Har vi en nod i origo får vi sinusformen, har vi en buk där får vi cosinusformen:

nod i $x=0$: $x=0⟹y(x,t)=f(\omega t)\cdot \sin (kx)$ buk i $x=0$: $x=0⟹y(x,t)=f(\omega t)\cdot \cos (kx)$

Nod sker på grund av destruktiv interferens och buk på grund av konstruktiv.

---

4. Var noderna och bukarna ligger

Utgå från

$y=f(\omega t)\sin (kx)$

Nollställena i $\sin (kx)$ ger noderna och maximipunkterna ger bukarna. Med $k=2\pi /\lambda$ blir avstånden

nod: $kx=0,\pi ,2\pi ,3\pi ,4\pi$ $x=0,\frac{\lambda }{2},\lambda ,\frac{3\lambda }{2}$ buk: $kx=\frac{\pi }{2},\frac{3\pi }{2},\frac{5\pi }{2}$ $x=\frac{\lambda }{4},\frac{3\lambda }{4},\frac{5\lambda }{4}$

Noderna ligger alltså en halv våglängd från varandra, och bukarna mitt emellan dem.

Ögonblicksbilder av $y=2A\sin (kx)\cos (\omega t)$. Noderna $N$ står still och ligger $\lambda /2$ isär; bukarna $B$ ligger mitt emellan, $\lambda /4$ från närmaste nod, och svänger mellan $+2A$ och $-2A$.

---

5. Sträng fäst i båda ändar

Om vi har en sträng med längd $l$ fäst i bägge ändpunkter måste det vara nod i båda ändarna. Bara ett diskret antal våglängder passar då in. Vi kallar dessa “grundsvängningar” för “mod”: mod $n=1$ är grundsvängningen och de högre moderna kallas översvängningar.

Frekvensen för mod $n$ följer av att våghastigheten är $v=\lambda f$ och att $v=\sqrt{F/\mu }$ på en sträng:

$f_n=\frac{v}{{\lambda }_n}=\frac{n}{2l}\sqrt{\frac{F}{\mu }}$

Villkoret och modernas frekvenser behandlas i detalj i svängningsmoder.

Läsning

• 15.7 Standing Waves on a String
• 15.8 Normal Modes of a String

Se även

• Svängningsmoder
• Superposition av vågor
• Reflektion av vågor
• Interferens
• Våghastighet på en sträng

Resurser

• Wikipedia: Standing wave

---

← Reflektion av vågor · F0005T · Svängningsmoder →