---
kurs:
  - F0005T
tags:
  - fysik
  - vågrörelselära
  - fenomen
förkunskaper:
  - "[[Superposition av vågor]]"
  - "[[Reflektion av vågor]]"
status: utkast
aliases:
  - Stående vågor
  - Nod
  - Buk
  - Standing wave
---

> **Kurs:** F0005T
> **Förkunskaper:** [[Superposition av vågor]], [[Reflektion av vågor]]

---

En stående våg uppstår när två identiska vågor rör sig mot varandra i samma medium. Mönstret förflyttar sig inte i rummet — istället svänger hela mediet i takt, med punkter som står helt still och punkter som svänger maximalt.

---

## 1. Vad kännetecknar en stående våg?

Alla punkter når jämviktsläge samtidigt, alla punkter når sin vändpunkt samtidigt. Vågens komponenter är:

- **Nodpunkter** — punkter som inte lämnar jämviktsläget (markerade med rött i gif nedan)
- **Buk** — punkterna som når maximalt utslag i vågen. Mitt emellan nodpunkterna

En stående våg bildas genom att kombinera 2 vågor som propagerar i motgående riktningar med samma egenskaper.

![[Standing_wave_2.gif]]

---

## 2. Härledning ur superposition

De två motgående vågorna är

$$y_{1}=A\sin(kx-\omega t)$$

$$y_{2}=A\sin(kx+\omega t)$$

Vi adderar dem på komplex form. Med Eulers identiteter

$$\sin \beta= \frac{e^{i\beta}-e^{-i\beta}}{2i}$$

$$\cos \beta= \frac{e^{i\beta}+e^{-i\beta}}{2}$$

blir summan

$$y_{1}+y_{2}=A \frac{e^{ikx}-e^{-ikx}}{2i}\left[e^{i\omega t}+e^{-i\omega t}\right]$$

Den första faktorn är $\sin(kx)$ och den andra $2\cos(\omega t)$, alltså

$$\boxed{\;y=2A\sin(kx)\cos(\omega t)\;}$$
*Fysika: Fc1a (i formen $s=f(x)\cdot g(t)$)*

Läget och tiden har separerat. Rumsberoendet $\sin(kx)$ sätter mönstret en gång för alla; tidsberoendet $\cos(\omega t)$ ändrar bara den gemensamma amplituden. Ingenting vandrar.

---

## 3. Noder och bukar

Ur rumsfaktorn läses de två specialfallen av direkt:

nod: $\sin(kx)=0$
buk: $\sin(kx)=\pm1$

Var mönstret hamnar beror på randvillkoret. Har vi en nod i origo får vi sinusformen, har vi en buk där får vi cosinusformen:

nod i $x=0$: $x=0\implies y(x,t)=f(\omega t)\cdot\sin(kx)$
buk i $x=0$: $x=0\implies y(x,t)=f(\omega t)\cdot\cos(kx)$

Nod sker på grund av destruktiv [[Interferens|interferens]] och buk på grund av konstruktiv.

---

## 4. Var noderna och bukarna ligger

Utgå från

$$y=f(\omega t)\sin(kx)$$

Nollställena i $\sin(kx)$ ger noderna och maximipunkterna ger bukarna. Med $k=2\pi/\lambda$ blir avstånden

nod: $kx=0,\pi,2\pi,3\pi,4\pi$
     $x=0,\frac{\lambda}{2},\lambda, \frac{3\lambda}{2}$
buk: $kx=\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}$
     $x= \frac{\lambda}{4}, \frac{3\lambda}{4}, \frac{5\lambda}{4}$

Noderna ligger alltså en halv våglängd från varandra, och bukarna mitt emellan dem.

![[f05-staende-noder-bukar.png|520]]

*Ögonblicksbilder av $y=2A\sin(kx)\cos(\omega t)$. Noderna $N$ står still och ligger $\lambda/2$ isär; bukarna $B$ ligger mitt emellan, $\lambda/4$ från närmaste nod, och svänger mellan $+2A$ och $-2A$.*

---

## 5. Sträng fäst i båda ändar

Om vi har en sträng med längd $l$ fäst i bägge ändpunkter måste det vara nod i båda ändarna. Bara ett diskret antal våglängder passar då in. Vi kallar dessa "grundsvängningar" för "mod": mod $n=1$ är grundsvängningen och de högre moderna kallas översvängningar.

![[Pasted image 20260908085419.png]]

Frekvensen för mod $n$ följer av att våghastigheten är $v=\lambda f$ och att $v=\sqrt{F/\mu}$ på en sträng:

$$f_{n}=\frac{v}{\lambda_{n}}=\frac{n}{2l}\sqrt{ \frac{F}{\mu} }$$

Villkoret och modernas frekvenser behandlas i detalj i [[Svängningsmoder|svängningsmoder]].

## Läsning

- [[z.University Physics.pdf#page=513|15.7 Standing Waves on a String]]
- [[z.University Physics.pdf#page=516|15.8 Normal Modes of a String]]

## Se även

- [[Svängningsmoder]]
- [[Superposition av vågor]]
- [[Reflektion av vågor]]
- [[Interferens]]
- [[Våghastighet på en sträng]]

## Resurser

- [Wikipedia: Standing wave](https://en.wikipedia.org/wiki/Standing_wave)

---

← [[Reflektion av vågor]] · [[F0005T]] · [[Svängningsmoder]] →