Fermi-Dirac-fördelningen

Kurs: F0005T Förkunskaper: Ferminivån, Paulis uteslutningsprincip

---

Fördelningen ger sannolikheten att ett tillstånd med energin $E$ är ockuperat av en elektron vid temperaturen $T$. Det är uttryckligen inte Maxwell-Boltzmannfördelningen, och skälet är tre: banden, Paulis uteslutningsprincip och att elektroner är omöjliga att särskilja. Vid $E=E_F$ är sannolikheten exakt $\frac{1}{2}$, och vid $T=0$ blir fördelningen ett steg.

$$\boxed{f(E)=\frac{1}{e^{(E-E_F)/kT}+1}}$$

---

Formeln, symbol för symbol

$$\underset{\begin{array}{c}\text{sannolikheten}\\ \text{att tillsta˚ndet}\\ \text{a¨r besatt}\end{array}}{\underbrace{f(E)}}=\frac{1}{e^{\stackrel{\text{avsta˚nd i }kT}{\overbrace{(E-E_F)/kT}}}\underset{\begin{array}{c}\text{ha˚ller}\\ f\le 1\end{array}}{\underbrace{+1}}}$$

Allt beror på hur många $kT$ tillståndet ligger från $E_F$. Långt under går $f$ mot $1$, långt över mot $0$, och ettan i nämnaren gör att $f$ aldrig blir större än $1$.

---

1. Formen på fördelningen

Tre värden räcker för att rita $f(E)$:

$$E=E_F:f=\frac{1}{e^0+1}=\frac{1}{2}$$

$$E-E_F\ll -kT:e^{(E-E_F)/kT}\to 0,f\to 1$$

$$E-E_F\gg kT:e^{(E-E_F)/kT}\to \infty ,f\to 0$$

Långt under ferminivån är alla tillstånd fulla, långt över är alla tomma, och övergången sker i ett band som är några $kT$ brett kring $E_F$. Vid $T=0$ krymper bandet till noll och $f$ blir ett trappsteg. Vid rumstemperatur är $kT=0,026$ eV, och för en metall med $E_F$ på några eV är steget nästan lika skarpt som vid $T=0$.

Fermi-Dirac-fördelningen för natrium ($E_F=3,15$ eV) vid $T=0$ och två temperaturer. Alla kurvor går genom $f=\frac{1}{2}$ vid $E_F$. Den streckade kurvan är tillståndstätheten $g(E)\propto \sqrt{E}$, och det skuggade området $g(E)f(E)$ visar var elektronerna faktiskt sitter vid den högre temperaturen.

Vad temperaturen gör med nivåerna nära $E_F$. Vid $T=0$ är allt under $E_F$ fyllt och allt över tomt. Vid $T>0$ flyttar bara elektroner inom några $kT$ under $E_F$ till lediga nivåer strax över, och fyllnaden blir symmetrisk kring $E_F$.

---

2. Energin för en given sannolikhet

Ofta vill vi veta var sannolikheten har ett visst värde. Vi löser ut $E$ ur formeln i rutan:

$$e^{(E-E_F)/kT}+1=\frac{1}{f}$$

$$e^{(E-E_F)/kT}=\frac{1}{f}-1$$

$$\boxed{E=E_F+kT\ln \left(\frac{1}{f}-1\right)}$$

Med $f=0,9$ och $f=0,1$ blir logaritmen $\ln \frac{1}{9}$ och $\ln 9$. Fallet från $90\%$ till $10\%$ sker alltså över $2kT\ln 9\approx 4,4kT$.

---

3. Symmetrin kring $E_F$

Sätt $x=\Delta /kT$ och jämför ett tillstånd $\Delta$ över $E_F$ med ett lika långt under:

$$f(E_F+\Delta )+f(E_F-\Delta )=\frac{1}{e^x+1}+\frac{1}{e^{-x}+1}$$

$$=\frac{1}{e^x+1}+\frac{e^x}{1+e^x}$$

$$=1$$

$$\boxed{f(E_F+\Delta )=1-f(E_F-\Delta )}$$

Högerledet är sannolikheten att tillståndet under $E_F$ är tomt. Sannolikheten att hitta en elektron $\Delta$ ovanför ferminivån är alltså lika stor som sannolikheten att hitta ett hål $\Delta$ under den. Det är därför ferminivån hamnar mitt i gapet i en ren halvledare.

---

4. Svansen blir Boltzmann

Långt ovanför ferminivån är exponentialfunktionen mycket större än $1$, och ettan i nämnaren kan strykas:

$$E-E_F\gg kT:\boxed{f(E)\approx e^{-(E-E_F)/kT}}$$

Det är Boltzmannfaktorn. Där tillstånden nästan alltid är tomma spelar Pauliprincipen ingen roll, och elektronerna beter sig som en klassisk gas. Redan vid $E-E_F=3kT$ är felet bara $5\%$ ($e^{-3}=0,0498$ mot $f=0,0474$). Det är just den här approximationen vi använder för ledningselektronerna i en halvledare, där $E-E_F$ är en halv elektronvolt.

Vanliga fel

• "$+1$" glöms eller får fel tecken. Utan ettan får vi Boltzmannfaktorn, som kan bli större än $1$ under $E_F$ och alltså inte är en sannolikhet. Med $-1$ blir det Bose-Einstein-fördelningen, som gäller fotoner och inte elektroner.
• $kT$ i joule och energierna i eV. Använd $k=8,617\cdot 10^{-5}$ eV/K när $E-E_F$ är i eV.
• $f$ tolkas som ett antal elektroner. $f$ är sannolikheten att ett tillstånd är besatt, mellan $0$ och $1$. Antalet elektroner kräver också tillståndstätheten: $dN=g(E)f(E)dE$.
• $f(E_F)=\frac{1}{2}$ tolkas som att det finns elektroner vid $E_F$. I en halvledare ligger $E_F$ i gapet där det inte finns några tillstånd. Sannolikheten är $\frac{1}{2}$, men det finns inget att besätta.

---

5. Lösta exempel

Exempel — Besättning kring ferminivån vid rumstemperatur

Vid $300$ K: vad är sannolikheten att ett tillstånd $0,100$ eV över ferminivån är besatt, och att ett tillstånd $0,100$ eV under är besatt? Mellan vilka energier faller $f$ från $0,9$ till $0,1$?

Lösning

Termiska energin.

$$kT=8,617\cdot 10^{-5}\cdot 300=0,02585\text{ eV}$$

Fysika: Te

Över $E_F$.

$$f=\frac{1}{e^{0,100/0,02585}+1}=\frac{1}{e^{3,868}+1}=\frac{1}{47,9+1}=\boxed{0,0205}$$

Under $E_F$. Symmetrin ger direkt

$$f(E_F-0,100)=1-0,0205=\boxed{0,980}$$

Övergångsbandet. Med $E=E_F+kT\ln (1/f-1)$:

$$f=0,9:E-E_F=0,02585\cdot \ln \frac{1}{9}=-0,0568\text{ eV}$$

$$f=0,1:E-E_F=0,02585\cdot \ln 9=+0,0568\text{ eV}$$

Sannolikheten faller från $0,9$ till $0,1$ mellan $\boxed{E_F-0,0568\text{ eV och }{E}_F+0,0568\text{ eV}}$, ett band som är $0,114$ eV brett.

Ej kontrollerat mot facit — två oberoende lösningar stämmer överens.

Exempel — Temperaturen för en given sannolikhet

Vid vilken temperatur är sannolikheten $5,00\%$ att ett tillstånd $0,100$ eV över ferminivån är besatt?

Lösning

Lös ut exponenten.

$$\frac{1}{e^{\Delta /kT}+1}=0,0500$$

$$e^{\Delta /kT}=\frac{1}{0,0500}-1=19,0$$

$$\frac{\Delta }{kT}=\ln 19,0=2,944$$

Temperaturen.

$$T=\frac{\Delta }{k\ln 19,0}=\frac{0,100}{8,617\cdot 10^{-5}\cdot 2,944}=\boxed{394\text{ K}}$$

Rimlighetskoll. Vid $300$ K var sannolikheten $2,05\%$ enligt föregående exempel, så det krävs en något högre temperatur för $5\%$.

Ej kontrollerat mot facit — två oberoende lösningar stämmer överens.

Läsning

• 42.5 Free-Electron Model of Metals

---

← Tillståndstäthet · F0005T · Halvledare →