--- kurs: - F0005T tags: - fysik - fasta tillståndets fysik - samband förkunskaper: - "[[Ferminivån]]" - "[[Paulis uteslutningsprincip]]" status: utkast aliases: - Fermi-Diracfördelning - Fermifunktionen - Ockupationssannolikhet --- > **Kurs:** F0005T > **Förkunskaper:** [[Ferminivån]], [[Paulis uteslutningsprincip]] --- Fördelningen ger sannolikheten att ett tillstånd med energin $E$ är ockuperat av en elektron vid temperaturen $T$. Det är uttryckligen inte Maxwell-Boltzmannfördelningen, och skälet är tre: banden, Paulis uteslutningsprincip och att elektroner är omöjliga att särskilja. Vid $E=E_F$ är sannolikheten exakt $\tfrac{1}{2}$, och vid $T=0$ blir fördelningen ett steg. $$ \boxed{\;f(E)=\dfrac{1}{e^{(E-E_F)/kT}+1}\;} $$ --- ## Formeln, symbol för symbol $$ \underbrace{f(E)}_{\substack{\text{sannolikheten}\\\text{att tillståndet}\\\text{är besatt}}} =\dfrac{1}{e^{\overbrace{(E-E_F)/kT}^{\text{avstånd i }kT}}\underbrace{+\,1}_{\substack{\text{håller}\\f\le1}}} $$ Allt beror på hur många $kT$ tillståndet ligger från $E_F$. Långt under går $f$ mot $1$, långt över mot $0$, och ettan i nämnaren gör att $f$ aldrig blir större än $1$. --- ## 1. Formen på fördelningen Tre värden räcker för att rita $f(E)$: $$ E=E_F:\qquad f=\dfrac{1}{e^{0}+1}=\dfrac{1}{2} $$ $$ E-E_F\ll-kT:\qquad e^{(E-E_F)/kT}\to0,\quad f\to1 $$ $$ E-E_F\gg kT:\qquad e^{(E-E_F)/kT}\to\infty,\quad f\to0 $$ Långt under [[Ferminivån|ferminivån]] är alla tillstånd fulla, långt över är alla tomma, och övergången sker i ett band som är några $kT$ brett kring $E_F$. Vid $T=0$ krymper bandet till noll och $f$ blir ett trappsteg. Vid rumstemperatur är $kT=0{,}026$ eV, och för en metall med $E_F$ på några eV är steget nästan lika skarpt som vid $T=0$. ![[f05-fermi-dirac.png|520]] *Fermi-Dirac-fördelningen för natrium ($E_F=3{,}15$ eV) vid $T=0$ och två temperaturer. Alla kurvor går genom $f=\tfrac12$ vid $E_F$. Den streckade kurvan är [[Tillståndstäthet|tillståndstätheten]] $g(E)\propto\sqrt E$, och det skuggade området $g(E)f(E)$ visar var elektronerna faktiskt sitter vid den högre temperaturen.* ![[f05-fd-fyllning.png|520]] *Vad temperaturen gör med nivåerna nära $E_F$. Vid $T=0$ är allt under $E_F$ fyllt och allt över tomt. Vid $T>0$ flyttar bara elektroner inom några $kT$ under $E_F$ till lediga nivåer strax över, och fyllnaden blir symmetrisk kring $E_F$.* --- ## 2. Energin för en given sannolikhet Ofta vill vi veta *var* sannolikheten har ett visst värde. Vi löser ut $E$ ur formeln i rutan: $$ e^{(E-E_F)/kT}+1=\dfrac{1}{f} $$ $$ e^{(E-E_F)/kT}=\dfrac{1}{f}-1 $$ $$ \boxed{E=E_F+kT\ln\!\left(\dfrac{1}{f}-1\right)} $$ Med $f=0{,}9$ och $f=0{,}1$ blir logaritmen $\ln\tfrac19$ och $\ln9$. Fallet från $90\ \%$ till $10\ \%$ sker alltså över $2kT\ln9\approx4{,}4\,kT$. --- ## 3. Symmetrin kring $E_F$ Sätt $x=\Delta/kT$ och jämför ett tillstånd $\Delta$ över $E_F$ med ett lika långt under: $$ f(E_F+\Delta)+f(E_F-\Delta)=\dfrac{1}{e^{x}+1}+\dfrac{1}{e^{-x}+1} $$ $$ =\dfrac{1}{e^{x}+1}+\dfrac{e^{x}}{1+e^{x}} $$ $$ =1 $$ $$ \boxed{f(E_F+\Delta)=1-f(E_F-\Delta)} $$ Högerledet är sannolikheten att tillståndet under $E_F$ är **tomt**. Sannolikheten att hitta en elektron $\Delta$ ovanför ferminivån är alltså lika stor som sannolikheten att hitta ett hål $\Delta$ under den. Det är därför ferminivån hamnar mitt i gapet i en ren [[Halvledare|halvledare]]. --- ## 4. Svansen blir Boltzmann Långt ovanför ferminivån är exponentialfunktionen mycket större än $1$, och ettan i nämnaren kan strykas: $$ E-E_F\gg kT:\qquad \boxed{f(E)\approx e^{-(E-E_F)/kT}} $$ Det är Boltzmannfaktorn. Där tillstånden nästan alltid är tomma spelar Pauliprincipen ingen roll, och elektronerna beter sig som en klassisk gas. Redan vid $E-E_F=3kT$ är felet bara $5\ \%$ ($e^{-3}=0{,}0498$ mot $f=0{,}0474$). Det är just den här approximationen vi använder för ledningselektronerna i en halvledare, där $E-E_F$ är en halv elektronvolt. > [!warning] Vanliga fel > - **"$+1$" glöms eller får fel tecken.** Utan ettan får vi Boltzmannfaktorn, som kan bli större än $1$ under $E_F$ och alltså inte är en sannolikhet. Med $-1$ blir det Bose-Einstein-fördelningen, som gäller fotoner och inte elektroner. > - **$kT$ i joule och energierna i eV.** Använd $k=8{,}617\cdot10^{-5}$ eV/K när $E-E_F$ är i eV. > - **$f$ tolkas som ett antal elektroner.** $f$ är sannolikheten att *ett* tillstånd är besatt, mellan $0$ och $1$. Antalet elektroner kräver också tillståndstätheten: $dN=g(E)f(E)\,dE$. > - **$f(E_F)=\tfrac12$ tolkas som att det finns elektroner vid $E_F$.** I en halvledare ligger $E_F$ i gapet där det inte finns några tillstånd. Sannolikheten är $\tfrac12$, men det finns inget att besätta. --- ## 5. Lösta exempel > [!example]- Exempel — Besättning kring ferminivån vid rumstemperatur > Vid $300$ K: vad är sannolikheten att ett tillstånd $0{,}100$ eV över ferminivån är besatt, och att ett tillstånd $0{,}100$ eV under är besatt? Mellan vilka energier faller $f$ från $0{,}9$ till $0{,}1$? > > > [!note]- Lösning > > **Termiska energin.** > > $$ > > kT=8{,}617\cdot10^{-5}\cdot300=0{,}02585\text{ eV} > > $$ > > *Fysika: Te* > > > > **Över $E_F$.** > > $$ > > f=\dfrac{1}{e^{0{,}100/0{,}02585}+1}=\dfrac{1}{e^{3{,}868}+1}=\dfrac{1}{47{,}9+1}=\boxed{0{,}0205} > > $$ > > > > **Under $E_F$.** Symmetrin ger direkt > > $$ > > f(E_F-0{,}100)=1-0{,}0205=\boxed{0{,}980} > > $$ > > > > **Övergångsbandet.** Med $E=E_F+kT\ln(1/f-1)$: > > $$ > > f=0{,}9:\quad E-E_F=0{,}02585\cdot\ln\dfrac{1}{9}=-0{,}0568\text{ eV} > > $$ > > $$ > > f=0{,}1:\quad E-E_F=0{,}02585\cdot\ln9=+0{,}0568\text{ eV} > > $$ > > Sannolikheten faller från $0{,}9$ till $0{,}1$ mellan $\boxed{E_F-0{,}0568\text{ eV och }E_F+0{,}0568\text{ eV}}$, ett band som är $0{,}114$ eV brett. > > > > *Ej kontrollerat mot facit — två oberoende lösningar stämmer överens.* > [!example]- Exempel — Temperaturen för en given sannolikhet > Vid vilken temperatur är sannolikheten $5{,}00\ \%$ att ett tillstånd $0{,}100$ eV över ferminivån är besatt? > > > [!note]- Lösning > > **Lös ut exponenten.** > > $$ > > \dfrac{1}{e^{\Delta/kT}+1}=0{,}0500 > > $$ > > $$ > > e^{\Delta/kT}=\dfrac{1}{0{,}0500}-1=19{,}0 > > $$ > > $$ > > \dfrac{\Delta}{kT}=\ln19{,}0=2{,}944 > > $$ > > > > **Temperaturen.** > > $$ > > T=\dfrac{\Delta}{k\ln19{,}0}=\dfrac{0{,}100}{8{,}617\cdot10^{-5}\cdot2{,}944}=\boxed{394\text{ K}} > > $$ > > > > **Rimlighetskoll.** Vid $300$ K var sannolikheten $2{,}05\ \%$ enligt föregående exempel, så det krävs en något högre temperatur för $5\ \%$. > > > > *Ej kontrollerat mot facit — två oberoende lösningar stämmer överens.* ## Läsning - [[z.University Physics.pdf#page=1451|42.5 Free-Electron Model of Metals]] --- ← [[Tillståndstäthet]] · [[F0005T]] · [[Halvledare]] →