Egenvärden och egenvektorer

---

1. Definition av egenvärde och egenvektor

3B1B: Eigenvectors and eigenvalues

1.1 Grundidén

När vi multiplicerar en vektor $\vec{x}$ med en matris $A$ ändras i allmänhet både riktning och längd. Men ibland finns speciella vektorer vars riktning bevaras — de bara skalas. Dessa är egenvektorerna.

Definition: Egenvärde och egenvektor

Låt $A$ vara en $n\times n$-matris. En nollskild vektor $\vec{x}\in {\mathbb{R}}^n$ kallas en egenvektor till $A$ om

$A\vec{x}=\lambda \vec{x}$

för någon skalär $\lambda$. Skalären $\lambda$ kallas ett egenvärde till $A$, och $\vec{x}$ sägs vara en egenvektor motsvarande $\lambda$.

Intuition: Att multiplicera med $A$ gör i allmänhet en komplicerad transformation — rotation, skjuvning, skalning i olika riktningar. Men längs egenvektorerna gör $A$ bara en enkel skalning med faktorn $\lambda$.

Nollvektorn är aldrig en egenvektor

Kravet $\vec{x}\ne \vec{0}$ är viktigt! Annars vore $A\vec{0}=\lambda \vec{0}$ uppfyllt för alla $A$ och alla $\lambda$, vilket ger meningslös information.

Däremot kan $\lambda =0$ vara ett egenvärde — det betyder att $A\vec{x}=\vec{0}$ har en nontrivial lösning, dvs. $A$ är singulär.

---

1.2 Geometrisk tolkning

Beroende på tecknet och storleken på $\lambda$ sker olika saker med egenvektorn:

Värde på $\lambda$	Effekt på $\vec{x}$
$\lambda >1$	Sträcks (samma riktning)
$0<\lambda <1$	Krymps (samma riktning)
$\lambda =1$	Oförändrad ($A\vec{x}=\vec{x}$)
$\lambda =0$	Skickas till $\vec{0}$
$-1<\lambda <0$	Krymps och byter riktning
$\lambda <-1$	Sträcks och byter riktning
$\lambda =-1$	Byter riktning, samma längd

Exempel 1: Verifiera en egenvektor

Visa att $\vec{x}=\left[\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right]$ är en egenvektor till $A=\left[\begin{array}{cc}3& 0\\ 8& -1\end{array}\right]$.

Lösning: Beräkna $A\vec{x}$:

$A\vec{x}=\left[\begin{array}{cc}3& 0\\ 8& -1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}3\\ 6\end{array}\right]=3\left[\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right]=3\vec{x}$

Alltså är $\vec{x}$ en egenvektor med egenvärde $\lambda =3$. Geometriskt: $A$ sträcker vektorn $(1,2)$ med faktor 3 utan att ändra riktning.

Exempel 2: Geometriska egenvektorer

Betrakta spegling i x-axeln: $A=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right]$.

• Vektorer längs x-axeln (t.ex. $\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]$) är opåverkade → $\lambda =1$
• Vektorer längs y-axeln (t.ex. $\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]$) byter riktning → $\lambda =-1$

Alla andra vektorer ändrar riktning och är inte egenvektorer.

---

2. Beräkna egenvärden: den karakteristiska ekvationen

2.1 Härledning

Vi söker $\lambda$ och $\vec{x}\ne \vec{0}$ sådana att $A\vec{x}=\lambda \vec{x}$. Skriv om:

$A\vec{x}=\lambda I\vec{x}⟹A\vec{x}-\lambda I\vec{x}=\vec{0}⟹(\lambda I-A)\vec{x}=\vec{0}$

För att detta ska ha en nontrivial lösning ($\vec{x}\ne \vec{0}$) krävs att matrisen $\lambda I-A$ är singulär:

Sats 5.1.1: Karakteristisk ekvation

$\lambda$ är ett egenvärde till $A$ om och bara om

$\boxed{\det (\lambda I-A)=0}$

Detta kallas den karakteristiska ekvationen för $A$.

Varför $\lambda I-A$ och inte $A-\lambda I$? Båda fungerar! $\det (\lambda I-A)=0⟺\det (A-\lambda I)=0$ (de skiljer sig bara med ett tecken $(-1{)}^n$, som inte påverkar nollställena). Boken använder $\lambda I-A$ för att det karakteristiska polynomet ska ha positivt ledande koefficient.

---

2.2 Det karakteristiska polynomet

Definition: Karakteristiskt polynom

Det karakteristiska polynomet för en $n\times n$-matris $A$ är

$p(\lambda )=\det (\lambda I-A)$

Det är ett polynom av grad $n$ i $\lambda$, med ledande term ${\lambda }^n$.

Egenvärdena till $A$ är rötterna till $p(\lambda )=0$.

Eftersom ett polynom av grad $n$ har högst $n$ rötter, har en $n\times n$-matris högst $n$ egenvärden.

---

2.3 Räkneexempel

Exempel 3: Egenvärden för $2\times 2$-matris

Bestäm egenvärdena till $A=\left[\begin{array}{cc}3& 0\\ 8& -1\end{array}\right]$.

Lösning:

$\det (\lambda I-A)=\det \left[\begin{array}{cc}\lambda -3& 0\\ -8& \lambda +1\end{array}\right]=(\lambda -3)(\lambda +1)=0$

Egenvärden: $\lambda =3$ och $\lambda =-1$.

Exempel 4: Egenvärden för $3\times 3$-matris

Bestäm egenvärdena till $A=\left[\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 0& 0& 1\\ 4& -17& 8\end{array}\right]$.

Lösning:

$\det (\lambda I-A)=\det \left[\begin{array}{ccc}\lambda & -1& 0\\ 0& \lambda & -1\\ -4& 17& \lambda -8\end{array}\right]$

Utveckla (t.ex. efter rad 1):

$=\lambda (\lambda (\lambda -8)+17)+1(0-4)={\lambda }^3-8{\lambda }^2+17\lambda -4$

Hitta rötterna: Testa heltalsdivisorer till konstanttermen $-4$: $\pm 1,\pm 2,\pm 4$.

Testa $\lambda =4$: $64-128+68-4=0$ ✓

Polynomdivision: ${\lambda }^3-8{\lambda }^2+17\lambda -4=(\lambda -4)({\lambda }^2-4\lambda +1)=0$

Andragradsekvation: $\lambda =\frac{4\pm \sqrt{16-4}}{2}=2\pm \sqrt{3}$

Egenvärden: $\lambda =4$, $\lambda =2+\sqrt{3}$, $\lambda =2-\sqrt{3}$.

Strategi: Hitta rötter till karakteristiska polynomet

1. Faktorisera direkt om det är uppenbart
2. Testa heltalsdivisorer till konstanttermen (rationella rotsatsen)
3. Polynomdividera bort kända rötter för att reducera graden
4. Andragradsfomeln för de återstående faktorerna
5. $2\times 2$-trick: $p(\lambda )={\lambda }^2-\text{tr}(A)\lambda +\det (A)$ (se övning 28 i boken)

---

3. Triangulära matriser — egenvärden direkt

Sats 5.1.2: Egenvärden för triangulära matriser

Om $A$ är en triangulär matris (övertriangulär, undertriangulär eller diagonal), så är egenvärdena diagonalelementen.

Varför? Determinanten av en triangulär matris är produkten av diagonalelementen:

$\det (\lambda I-A)=(\lambda -a_{11})(\lambda -a_{22})\cdots (\lambda -a_{nn})=0$

Exempel 5: Egenvärden för triangulär matris

$A=\left[\begin{array}{ccc}\frac{1}{2}& 0& 0\\ -1& \frac{2}{3}& 0\\ 5& -8& -\frac{1}{4}\end{array}\right]$

Egenvärden: $\lambda =\frac{1}{2}$, $\lambda =\frac{2}{3}$, $\lambda =-\frac{1}{4}$ (avläses direkt från diagonalen).

---

4. Hitta egenvektorer och egenrum

4.1 Metod

När vi har hittat ett egenvärde $\lambda$ finner vi motsvarande egenvektorer genom att lösa det homogena systemet:

$(\lambda I-A)\vec{x}=\vec{0}$

Definition: Egenrum

Egenrummet (eigenspace) motsvarande egenvärdet $\lambda$ är lösningsrummet till $(\lambda I-A)\vec{x}=\vec{0}$:

$E_{\lambda }=\text{null}(\lambda I-A)=\{\vec{x}\in {\mathbb{R}}^n:A\vec{x}=\lambda \vec{x}\}$

Egenrummet är ett delrum av ${\mathbb{R}}^n$. Egenvektorerna till $\lambda$ är de nollskilda vektorerna i $E_{\lambda }$.

Koppling till V5L1: Egenrummet $E_{\lambda }$ är precis nollrummet för matrisen $\lambda I-A$. Vi vet redan hur man hittar baser för nollrum — radreducera och identifiera fria variabler!

---

4.2 Räkneexempel

Exempel 6: Egenrum för $2\times 2$-matris

Bestäm baser för egenrummen till $A=\left[\begin{array}{cc}-1& 3\\ 2& 0\end{array}\right]$.

Steg 1: Hitta egenvärdena.

$\det (\lambda I-A)=\det \left[\begin{array}{cc}\lambda +1& -3\\ -2& \lambda \end{array}\right]=\lambda (\lambda +1)-6={\lambda }^2+\lambda -6=(\lambda -2)(\lambda +3)=0$

Egenvärden: ${\lambda }_1=2$ och ${\lambda }_2=-3$.

---

Steg 2: Egenrum för ${\lambda }_1=2$.

Lös $(2I-A)\vec{x}=\vec{0}$:

$\left[\begin{array}{cc}3& -3\\ -2& 2\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right]$

Radreducera: $\left[\begin{array}{cc}3& -3\\ -2& 2\end{array}\right]\stackrel{R_2+\frac{2}{3}{R}_1}{\to }\left[\begin{array}{cc}3& -3\\ 0& 0\end{array}\right]$

Ekvation: $3x_1-3x_2=0⟹x_1=x_2=t$.

$E_2=\text{span}\left\{\left[\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right]\right\}$

---

Steg 3: Egenrum för ${\lambda }_2=-3$.

Lös $(-3I-A)\vec{x}=\vec{0}$:

$\left[\begin{array}{cc}-2& -3\\ -2& -3\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right]$

Ekvation: $-2x_1-3x_2=0⟹x_1=-\frac{3}{2}{x}_2$. Sätt $x_2=2t$:

$E_{-3}=\text{span}\left\{\left[\begin{array}{c}-3\\ 2\end{array}\right]\right\}$

Exempel 7: Egenrum för $3\times 3$-matris (flerdimensionellt egenrum)

Bestäm baser för egenrummen till $A=\left[\begin{array}{ccc}0& 0& -2\\ 1& 2& 1\\ 1& 0& 3\end{array}\right]$.

Steg 1: Hitta egenvärdena.

$\det (\lambda I-A)={\lambda }^3-5{\lambda }^2+8\lambda -4=(\lambda -1)(\lambda -2{)}^2=0$

Egenvärden: ${\lambda }_1=1$ och ${\lambda }_2=2$ (dubbel rot).

---

Steg 2: Egenrum för ${\lambda }_1=1$.

Lös $(I-A)\vec{x}=\vec{0}$:

$\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 2\\ -1& -1& -1\\ -1& 0& -2\end{array}\right]\stackrel{\text{radred.}}{\to }\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 2\\ 0& 1& 1\\ 0& 0& 0\end{array}\right]$

Fria variabeln $x_3=s$ ger $x_1=-2s$, $x_2=-s$.

$E_1=\text{span}\left\{\left[\begin{array}{c}-2\\ -1\\ 1\end{array}\right]\right\}(\dim =1)$

---

Steg 3: Egenrum för ${\lambda }_2=2$.

Lös $(2I-A)\vec{x}=\vec{0}$:

$\left[\begin{array}{ccc}2& 0& 2\\ -1& 0& -1\\ -1& 0& -1\end{array}\right]\stackrel{\text{radred.}}{\to }\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right]$

Fria variabler: $x_2=t$, $x_3=s$. Då $x_1=-s$.

$\vec{x}=s\left[\begin{array}{c}-1\\ 0\\ 1\end{array}\right]+t\left[\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right]$

$E_2=\text{span}\left\{\left[\begin{array}{c}-1\\ 0\\ 1\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right]\right\}(\dim =2)$

Notera: $\lambda =2$ har algebraisk multiplicitet 2 (dubbel rot) och geometrisk multiplicitet 2 (tvådimensionellt egenrum). Dessa matchar, vilket visar sig vara viktigt för diagonalisering.

---

5. Tillvägagångssätt — sammanfattning

Metod: Hitta egenvärden och egenvektorer

Steg 1: Beräkna det karakteristiska polynomet $p(\lambda )=\det (\lambda I-A)$.

Steg 2: Lös $p(\lambda )=0$ för att hitta egenvärdena.

Steg 3: För varje egenvärde ${\lambda }_k$, lös $({\lambda }_{k}I-A)\vec{x}=\vec{0}$ (radreducera!) för att hitta en bas för egenrummet $E_{{\lambda }_k}$.

---

6. Egenvärden och inverterbarhet

Sats 5.1.4: Egenvärden och inverterbarhet

En kvadratisk matris $A$ är inverterbar om och bara om $\lambda =0$ inte är ett egenvärde till $A$.

Varför? $\lambda =0$ är ett egenvärde $⟺$ $\det (0\cdot I-A)=0⟺\det (-A)=0⟺\det (A)=0⟺A$ ej inverterbar.

Alternativ förklaring: $\lambda =0$ egenvärde betyder att $A\vec{x}=0\vec{x}=\vec{0}$ har en nontrivial lösning, dvs. $\text{null}(A)\ne \{\vec{0}\}$, dvs. $A$ är singulär.

---

7. $2\times 2$-trick: snabbformel

Snabbformel för $2\times 2$-matris

Om $A=\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]$, så är det karakteristiska polynomet:

$p(\lambda )={\lambda }^2-\underset{\text{tr}(A)}{\underbrace{(a+d)}}\lambda +\underset{\det (A)}{\underbrace{(ad-bc)}}$

$\boxed{p(\lambda )={\lambda }^2-\text{tr}(A)\lambda +\det (A)}$

Egenvärdena fås direkt med andragradsfomeln:

$\lambda =\frac{\text{tr}(A)\pm \sqrt{\text{tr}(A{)}^2-4\det (A)}}{2}$

Exempel: Snabbformeln

$A=\left[\begin{array}{cc}3& 0\\ 8& -1\end{array}\right]$. Då $\text{tr}(A)=3+(-1)=2$ och $\det (A)=-3-0=-3$.

$p(\lambda )={\lambda }^2-2\lambda -3=(\lambda -3)(\lambda +1)=0$

Egenvärden: $\lambda =3$ och $\lambda =-1$. ✓

---

• summa av egenvärden = spåret. Kontroll
• Produkt av egenvärdena blir determinanten

---

8. Ekvivalenssatsen — utökning

Vi kan nu lägga till ett nytt villkor till den stora ekvivalenssatsen (jfr V5L1 M0067M):

Sats 5.1.5: Ekvivalenta villkor (utökning)

Om $A$ är en $n\times n$-matris, så är följande ekvivalenta:

(a) $A$ är inverterbar (b) $A\vec{x}=\vec{0}$ har bara triviala lösningen (c) $A$ kan radreduceras till $I_n$ (d) $A$ är en produkt av elementärmatriser (e) $A\vec{x}=\vec{b}$ är konsistent för alla $\vec{b}$ (f) $A\vec{x}=\vec{b}$ har exakt en lösning för alla $\vec{b}$ (g) $\det (A)\ne 0$ (h) Kolumnerna i $A$ är linjärt oberoende (i) Raderna i $A$ är linjärt oberoende (j) Kolumnerna spänner upp ${\mathbb{R}}^n$ (k) Raderna spänner upp ${\mathbb{R}}^n$ (l) Kolumnerna bildar en bas för ${\mathbb{R}}^n$ (m) Raderna bildar en bas för ${\mathbb{R}}^n$ (n) $\text{rang}(A)=n$ (o) $\text{null}(A)=\{\vec{0}\}$ (p) $\lambda =0$ är inte ett egenvärde till $A$ ← NYTT

---

9. Övningsuppgifter

Beräkningsuppgifter

Uppgift 1: Egenvärden och egenvektorer ( $2\times 2$)

Bestäm egenvärdena och en bas för varje egenrum till $A=\left[\begin{array}{cc}1& 4\\ 2& 3\end{array}\right]$.

Ledtråd $2\times 2$-tricket: $p(\lambda )={\lambda }^2-\text{tr}(A)\lambda +\det (A)$.

Använd

Facit $\lambda =5$ och $\lambda =-1$.

Egenvärden:

Full lösning $\text{tr}(A)=1+3=4$, $\det (A)=3-8=-5$.

$p(\lambda )={\lambda }^2-4\lambda -5=(\lambda -5)(\lambda +1)=0$

Egenvärden: ${\lambda }_1=5$, ${\lambda }_2=-1$.

Egenrum för $\lambda =5$: Lös $(5I-A)\vec{x}=\vec{0}$:

$\left[\begin{array}{cc}4& -4\\ -2& 2\end{array}\right]\to \left[\begin{array}{cc}1& -1\\ 0& 0\end{array}\right]$

$x_1=x_2=t$. Bas: $\left\{\left[\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right]\right\}$.

Egenrum för $\lambda =-1$: Lös $(-I-A)\vec{x}=\vec{0}$:

$\left[\begin{array}{cc}-2& -4\\ -2& -4\end{array}\right]\to \left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& 0\end{array}\right]$

$x_1=-2x_2$, $x_2=t$. Bas: $\left\{\left[\begin{array}{c}-2\\ 1\end{array}\right]\right\}$.

Uppgift 2: Egenvärden och egenvektorer ( $3\times 3$)

Bestäm egenvärdena och en bas för varje egenrum till $A=\left[\begin{array}{ccc}4& 0& 1\\ -2& 1& 0\\ -2& 0& 1\end{array}\right]$.

Ledtråd 1 $\det (\lambda I-A)$ efter rad 2 eller kolumn 2 (det finns nollor där).

Utveckla

Ledtråd 2 $p(\lambda )=(\lambda -1)(\lambda -2)(\lambda -3)$.

Facit $\lambda =1,2,3$. Tre distinkta egenvärden.

Egenvärden:

Full lösning

Utveckla efter kolumn 2:

$\det (\lambda I-A)=\det \left[\begin{array}{ccc}\lambda -4& 0& -1\\ 2& \lambda -1& 0\\ 2& 0& \lambda -1\end{array}\right]$

$=(\lambda -1)\det \left[\begin{array}{cc}\lambda -4& -1\\ 2& \lambda -1\end{array}\right]=(\lambda -1)[(\lambda -4)(\lambda -1)+2]$

$=(\lambda -1)({\lambda }^2-5\lambda +6)=(\lambda -1)(\lambda -2)(\lambda -3)=0$

Egenrum för $\lambda =1$: $(I-A)\vec{x}=\vec{0}$: $\left[\begin{array}{ccc}-3& 0& -1\\ 2& 0& 0\\ 2& 0& 0\end{array}\right]\to \left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 0& 1\\ 0& 0& 0\end{array}\right]$ $x_1=0$, $x_3=0$, $x_2=t$. Bas: $\left\{\left[\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right]\right\}$.

Egenrum för $\lambda =2$: $(2I-A)\vec{x}=\vec{0}$: $\left[\begin{array}{ccc}-2& 0& -1\\ 2& 1& 0\\ 2& 0& 1\end{array}\right]\to \left[\begin{array}{ccc}1& 0& \frac{1}{2}\\ 0& 1& -1\\ 0& 0& 0\end{array}\right]$ $x_1=-\frac{1}{2}t$, $x_2=t$, $x_3=t$. Bas: $\left\{\left[\begin{array}{c}-1\\ 2\\ 2\end{array}\right]\right\}$.

Egenrum för $\lambda =3$: $(3I-A)\vec{x}=\vec{0}$: $\left[\begin{array}{ccc}-1& 0& -1\\ 2& 2& 0\\ 2& 0& 2\end{array}\right]\to \left[\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 0& 1& -1\\ 0& 0& 0\end{array}\right]$ $x_1=-t$, $x_2=t$, $x_3=t$. Bas: $\left\{\left[\begin{array}{c}-1\\ 1\\ 1\end{array}\right]\right\}$.

Uppgift 3: Geometrisk tolkning

Bestäm egenvärdena och beskriv egenrummen geometriskt (utan beräkning) för:

a) Spegling i x-axeln: $A=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right]$ b) Projektion på x-axeln: $A=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right]$ c) Rotation 90° moturs: $A=\left[\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right]$

Facit $\lambda =1$: vektorer längs x-axeln (oförändrade). $\lambda =-1$: vektorer längs y-axeln (byter riktning).

a)

b) $\lambda =1$: vektorer längs x-axeln (oförändrade). $\lambda =0$: vektorer längs y-axeln (skickas till $\vec{0}$). Notera: $A$ är singulär — konsekvent med $\lambda =0$.

c) Inga reella egenvärden! $p(\lambda )={\lambda }^2+1=0$ har inga reella rötter. Geometriskt: en rotation 90° bevarar aldrig riktningen av en vektor, så det finns inga egenvektorer i ${\mathbb{R}}^2$.

---

Konceptuella uppgifter

Uppgift 4: Sant eller falskt?

Avgör om påståendena är sanna eller falska. Motivera kort.

a) Om $A\vec{x}=\lambda \vec{x}$ för en skalär $\lambda$, så är $\vec{x}$ en egenvektor till $A$. b) En matris kan ha egenvärde $\lambda =0$. c) Om $A$ har egenvärde $\lambda$, så har $A^2$ egenvärde ${\lambda }^2$. d) Egenvärdena till $A$ och $A^T$ är samma. e) Om $A$ har egenvärde $\lambda$ och $\vec{x}$ är en motsvarande egenvektor, så är $3\vec{x}$ också en egenvektor med egenvärde $3\lambda$. f) Om $0$ är ett egenvärde till $A$, så är kolumnerna i $A$ linjärt beroende.

Facit

a) Falskt. Kravet $\vec{x}\ne \vec{0}$ saknas. Nollvektorn uppfyller $A\vec{0}=\lambda \vec{0}$ men är per definition inte en egenvektor.

b) Sant. $\lambda =0$ är egenvärde $⟺$ $A\vec{x}=\vec{0}$ har nontrivial lösning $⟺$ $A$ ej inverterbar.

c) Sant. Om $A\vec{x}=\lambda \vec{x}$, så $A^2\vec{x}=A(A\vec{x})=A(\lambda \vec{x})=\lambda (A\vec{x})={\lambda }^2\vec{x}$.

d) Sant. $\det (\lambda I-A^T)=\det ((\lambda I-A{)}^T)=\det (\lambda I-A)$, så de har samma karakteristiska polynom.

e) Falskt. $3\vec{x}$ är en egenvektor, men med egenvärde $\lambda$ (inte $3\lambda$): $A(3\vec{x})=3(A\vec{x})=3\lambda \vec{x}=\lambda (3\vec{x})$.

f) Sant. $\lambda =0$ egenvärde $⟹$ $A$ ej inverterbar $⟹$ kolumnerna linjärt beroende (ekvivalenssatsen).

---

Resurser

Videor

Visuella introduktionen $2\times 2$-tricket

• MIT 18.06SC: Eigenvalues and Eigenvectors (Gilbert Strang) — klassisk föreläsning

Interaktiva verktyg

• matrixcalc.org — beräkna egenvärden och egenvektorer online

Wikipedia

• Eigenvalues and eigenvectors
• Characteristic polynomial

Fördjupning

• Georgia Tech — Interactive Linear Algebra: Eigenvalues and Eigenvectors