Diagonalisering

---

1. Likhetsomvandlingar

1.1 Grundidén

Produkter av formen $P^{-1}AP$, där $A$ och $P$ är $n\times n$-matriser och $P$ är inverterbar, är det centrala verktyget i detta kapitel. Omvandlingen

$A⟶P^{-1}AP$

kallas en likhetsomvandling (“similarity transformation”). Matrisen $A$ avbildas på matrisen $P^{-1}AP$.

Dessa omvandlingar är viktiga eftersom de bevarar många egenskaper hos $A$.

1.2 Likhetsbeständiga egenskaper

Om $B=P^{-1}AP$ kallas dessa bevarade egenskaper likhetsbeständiga (similarity invariants):

Egenskap	Vad som gäller
Determinant	$\det (A)=\det (P^{-1}AP)$
Inverterbarhet	$A$ inverterbar $⟺$ $P^{-1}AP$ inverterbar
Rang	$\text{rang}(A)=\text{rang}(P^{-1}AP)$
Nollitet	$\text{null}(A)=\text{null}(P^{-1}AP)$
Spår	$\text{tr}(A)=\text{tr}(P^{-1}AP)$
Karakteristiskt polynom	$A$ och $P^{-1}AP$ har samma karakteristiska polynom
Egenvärden	$A$ och $P^{-1}AP$ har samma egenvärden
Egenrumsdimension	Om $\lambda$ är egenvärde har $A$ och $P^{-1}AP$ egenrum med samma dimension för $\lambda$

Varför bevaras determinanten?

$\det (P^{-1}AP)=\det (P^{-1})\det (A)\det (P)=\frac{1}{\det (P)}\det (A)\det (P)=\det (A)$

---

2. Likartade matriser och diagonaliserbarhet

Definition: Likartade matriser

Låt $A$ och $B$ vara kvadratiska matriser. Vi säger att $B$ är likartad med $A$ (“similar to $A$”) om det finns en inverterbar matris $P$ sådan att

$B=P^{-1}AP$

Vi säger då att $A$ och $B$ är likartade matriser.

Symmetri

Likartadhet är symmetrisk: om $B=P^{-1}AP$ så gäller $A=Q^{-1}BQ$ med $Q=P^{-1}$.

Definition: Diagonaliserbar matris

En kvadratisk matris $A$ kallas diagonaliserbar om den är likartad med någon diagonalmatris $D$, dvs. om det finns en inverterbar matris $P$ sådan att $P^{-1}AP$ är diagonal.

Man säger då att $P$ diagonaliserar $A$.

Varför vill vi diagonalisera? En diagonalmatris är enkel att arbeta med — egenvärden, determinant, potenser är alla triviala att beräkna. Om $A$ är diagonaliserbar ärver $A$ all denna enkelhet.

---

3. Sats 5.2.1 — Diagonaliserbarhetskriteriet

Sats 5.2.1: Ekvivalenta villkor

Om $A$ är en $n\times n$-matris, är följande ekvivalenta:

(a) $A$ är diagonaliserbar

(b) $A$ har $n$ linjärt oberoende egenvektorer

Bevisidé ($\Rightarrow$): Anta att $P^{-1}AP=D$, dvs. $AP=PD$. Låt ${\mathbf{p}}_1,\dots ,{\mathbf{p}}_n$ vara kolumnvektorerna i $P$ och ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n$ vara diagonalelementen i $D$. Då ger $AP=PD$:

$A{\mathbf{p}}_i={\lambda }_i{\mathbf{p}}_i\text{fo¨r alla }i$

Eftersom $P$ är inverterbar är kolumnerna linjärt oberoende och nollskilda — alltså är de $n$ linjärt oberoende egenvektorer.

Bevisidé ($\Leftarrow$): Anta att $A$ har $n$ linjärt oberoende egenvektorer ${\mathbf{p}}_1,\dots ,{\mathbf{p}}_n$ med egenvärden ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n$. Bilda $P=[{\mathbf{p}}_1{\mathbf{p}}_2\cdots {\mathbf{p}}_n]$. Då är $AP=PD$ och $P$ inverterbar, så $P^{-1}AP=D$.

Nyckelsamband

Om $P=[{\mathbf{p}}_1{\mathbf{p}}_2\cdots {\mathbf{p}}_n]$ diagonaliserar $A$, gäller:

$P^{-1}AP=\left[\begin{array}{ccc}{\lambda }_1& & \\ & \ddots & \\ & & {\lambda }_n\end{array}\right]$

Det $i$:te diagonalelementet i $P^{-1}AP$ är egenvärdet som svarar mot den $i$:te kolumnen i $P$.

---

4. Metod för diagonalisering

Procedur: Diagonalisera en $n\times n$-matris $A$

Steg 1. Hitta en bas för varje egenrum. Räkna ihop det totala antalet basvektorer.

• Om totalen $=n$ → $A$ är diagonaliserbar.
• Om totalen $<n$ → $A$ är inte diagonaliserbar. Stopp.

Steg 2. Bilda $P=[{\mathbf{p}}_1{\mathbf{p}}_2\cdots {\mathbf{p}}_n]$ med de $n$ basvektorerna som kolumner (i valfri ordning).

Steg 3. $P^{-1}AP$ är en diagonalmatris vars $i$:te diagonalelement är egenvärdet som svarar mot ${\mathbf{p}}_i$.

Ordningen spelar roll — men bara för $D$

Ordningen på kolumnerna i $P$ kan väljas fritt. Byter du ordning på egenvektorerna ändras bara ordningen på egenvärden i diagonalmatrisen.

---

5. Räkneexempel — diagonalisering

Exempel 1: Hitta $P$ som diagonaliserar $A$ (diagonaliserbar)

Diagonalisera $A=\left[\begin{array}{ccc}0& 0& -2\\ 1& 2& 1\\ 1& 0& 3\end{array}\right]$.

Steg 1: Egenvärden. Från föregående föreläsning (V5L2, Exempel 7): $(\lambda -1)(\lambda -2{)}^2=0⟹{\lambda }_1=1,{\lambda }_2=2\text{ (dubbel)}$

Steg 2: Baser för egenrummen.

$\lambda =2$: $E_2=\text{span}\left\{\left[\begin{array}{c}-1\\ 0\\ 1\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right]\right\}$ (dimension 2)

$\lambda =1$: $E_1=\text{span}\left\{\left[\begin{array}{c}-2\\ 1\\ 1\end{array}\right]\right\}$ (dimension 1)

Totalt: $2+1=3=n$ → $A$ är diagonaliserbar ✓

Steg 3: Bilda $P$.

$P=\left[\begin{array}{ccc}-1& 0& -2\\ 0& 1& 1\\ 1& 0& 1\end{array}\right]$

$P^{-1}AP=\left[\begin{array}{ccc}2& 0& 0\\ 0& 2& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$

Exempel 2: En matris som inte är diagonaliserbar

Visa att $A=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 1& 2& 0\\ -3& 5& 2\end{array}\right]$ inte är diagonaliserbar.

Egenvärden: Triangulär matris → egenvärden direkt: ${\lambda }_1=1$, ${\lambda }_2=2$ (dubbel).

Det karakteristiska polynomet är $(\lambda -1)(\lambda -2{)}^2=0$.

Egenrum för $\lambda =1$: Lös $(I-A)\vec{x}=\vec{0}$: $\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ -1& -1& 0\\ 3& -5& -1\end{array}\right]\stackrel{\text{radred.}}{\to }\text{rang}=2⟹\dim E_1=1$

Egenrum för $\lambda =2$: Lös $(2I-A)\vec{x}=\vec{0}$: $\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ -1& 0& 0\\ 3& -5& 0\end{array}\right]\stackrel{\text{radred.}}{\to }\text{rang}=2⟹\dim E_2=1$

Totalt antal basvektorer: $1+1=2<3=n$.

Slutsats: $A$ är inte diagonaliserbar.

Exempel 3: Triangulär matris (diagonaliserbar)

Matrisen $A=\left[\begin{array}{cccc}-1& 2& 4& 0\\ 0& 3& 1& 7\\ 0& 0& 5& 8\\ 0& 0& 0& -2\end{array}\right]$ är övertriangulär med distinkta diagonalelement.

Egenvärden: ${\lambda }_1=-1$, ${\lambda }_2=3$, ${\lambda }_3=5$, ${\lambda }_4=-2$ (alla distinkta).

Eftersom alla egenvärden är distinkta är $A$ diagonaliserbar (Sats 5.2.2(b)).

---

6. Sats 5.2.2 — Distinkta egenvärden

Sats 5.2.2: Distinkta egenvärden och linjärt oberoende

(a) Om ${\lambda }_1,{\lambda }_2,\dots ,{\lambda }_k$ är distinkta egenvärden till $A$, och ${\mathbf{v}}_1,{\mathbf{v}}_2,\dots ,{\mathbf{v}}_k$ är motsvarande egenvektorer, så är $\{{\mathbf{v}}_1,{\mathbf{v}}_2,\dots ,{\mathbf{v}}_k\}$ linjärt oberoende.

(b) En $n\times n$-matris med $n$ distinkta egenvärden är diagonaliserbar.

Konversen av (b) är falsk

En matris med färre än $n$ distinkta egenvärden kan ändå vara diagonaliserbar! Identitetsmatrisen $I_n$ har bara ett egenvärde ($\lambda =1$) men är redan diagonal. Satsen ger ett tillräckligt, ej nödvändigt, villkor.

---

7. Algebraisk och geometrisk multiplicitet

Definition: Multipliciteter

Låt ${\lambda }_0$ vara ett egenvärde till en $n\times n$-matris $A$.

• Den geometriska multipliciteten av ${\lambda }_0$ är $\dim (E_{{\lambda }_0})$ — dimensionen av egenrummet.

• Den algebraiska multipliciteten av ${\lambda }_0$ är antalet gånger $(\lambda -{\lambda }_0)$ uppträder som faktor i det karakteristiska polynomet $\det (\lambda I-A)$.

Intuition: Algebraisk multiplicitet = “hur stark” roten är i det karakteristiska polynomet. Geometrisk multiplicitet = “hur många oberoende riktningar” egenvärdet har.

Exempel: Multipliciteter

Karakteristiskt polynom: $p(\lambda )=(\lambda -1)(\lambda -2{)}^2$.

Egenvärde	Algebraisk mult.	Geometrisk mult. (Ex. 1)	Geometrisk mult. (Ex. 2)
$\lambda =1$	1	1	1
$\lambda =2$	2	2	1

Ex. 1: geo mult = alg mult → diagonaliserbar ✓ Ex. 2: geo mult < alg mult → inte diagonaliserbar ✗

Sats 5.2.4: Multiplicitetssatsen

Om $A$ är en kvadratisk matris gäller:

(a) För varje egenvärde är den geometriska multipliciteten $\le$ algebraiska multipliciteten.

(b) $A$ är diagonaliserbar om och bara om:

• Det karakteristiska polynomet kan skrivas som en produkt av linjära faktorer, och
• Den geometriska multipliciteten är lika med den algebraiska multipliciteten för varje egenvärde.

Praktisk konsekvens

Villkor (b) ger ett fullständigt kriterium för diagonaliserbarhet — det räcker att kontrollera multipliciteterna utan att leta efter $n$ oberoende egenvektorer direkt.

---

8. Potenser av en matris

8.1 Egenvärden för $A^k$

Sats 5.2.3: Egenvärden för matrispotenser

Om $k$ är ett positivt heltal, $\lambda$ är ett egenvärde till $A$, och $\mathbf{x}$ är en motsvarande egenvektor, så är ${\lambda }^k$ ett egenvärde till $A^k$ med samma egenvektor $\mathbf{x}$.

Bevis: $A^2\mathbf{x}=A(A\mathbf{x})=A(\lambda \mathbf{x})=\lambda (A\mathbf{x})={\lambda }^2\mathbf{x}$. Induktion ger $A^k\mathbf{x}={\lambda }^k\mathbf{x}$.

8.2 Beräkna $A^k$ via diagonalisering

Om $A$ är diagonaliserbar med $P^{-1}AP=D$, gäller:

$P^{-1}{A}^{k}P=D^k=\left[\begin{array}{ccc}{\lambda }_1^k& & \\ & \ddots & \\ & & {\lambda }_n^k\end{array}\right]$

vilket ger formeln:

$\boxed{A^k=P{D}^k{P}^{-1}}$

Varför är detta effektivt?

Att upphöja en diagonalmatris till $k$:te potensen är trivialt — bara upphöj varje diagonalelement. Arbetet ligger i att diagonalisera $A$ en gång, sedan kan $A^k$ beräknas för valfritt $k$.

Exempel 4: Beräkna $A^{13}$

Beräkna $A^{13}$ för $A=\left[\begin{array}{ccc}0& 0& -2\\ 1& 2& 1\\ 1& 0& 3\end{array}\right]$.

Från Exempel 1 vet vi att $P=\left[\begin{array}{ccc}-1& 0& -2\\ 0& 1& 1\\ 1& 0& 1\end{array}\right]$ diagonaliserar $A$ och $D=\left[\begin{array}{ccc}2& 0& 0\\ 0& 2& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$.

Alltså:

$A^{13}=P{D}^{13}{P}^{-1}=\left[\begin{array}{ccc}-1& 0& -2\\ 0& 1& 1\\ 1& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}{2}^{13}& 0& 0\\ 0& 2^{13}& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 2\\ 1& 1& 1\\ -1& 0& -1\end{array}\right]$

$=\left[\begin{array}{ccc}-8190& 0& -16382\\ 8191& 8192& 8191\\ 8191& 0& 16383\end{array}\right]$

(Notera: $2^{13}=8192$)

---

9. Tillvägagångssätt — sammanfattning

Metod: Avgöra om $A$ är diagonaliserbar

Steg 1. Hitta egenvärdena ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_m$ och deras algebraiska multipliciteter från $\det (\lambda I-A)=0$.

Steg 2. För varje egenvärde: beräkna $\dim (E_{\lambda })=\text{nullitet}(\lambda I-A)$ — den geometriska multipliciteten.

Steg 3. Kontroll:

• Om geo mult = alg mult för alla egenvärden → diagonaliserbar ✓
• Om geo mult < alg mult för något egenvärde → ej diagonaliserbar ✗

Steg 4. (Om diagonaliserbar) Bilda $P$ med basvektorerna för alla egenrum som kolumner.

---

10. Övningsuppgifter (V5L3)

Beräkningsuppgifter

Uppgift 1: Hitta $P$ som diagonaliserar ($2\times 2$)

Hitta en matris $P$ som diagonaliserar $A=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 6& -1\end{array}\right]$, och verifiera genom att beräkna $P^{-1}AP$.

Ledtråd $p(\lambda )={\lambda }^2-\text{tr}(A)\lambda +\det (A)$.

Börja med att hitta egenvärdena via det karakteristiska polynomet

Facit $P^{-1}AP=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right]$

Full lösning Egenvärden: $p(\lambda )={\lambda }^2-0\cdot \lambda +(-1)={\lambda }^2-1=(\lambda -1)(\lambda +1)=0$

${\lambda }_1=1$, ${\lambda }_2=-1$ (distinkta → diagonaliserbar ✓)

Egenrum för $\lambda =1$: $(I-A)\vec{x}=\vec{0}$: $\left[\begin{array}{cc}0& 0\\ -6& 2\end{array}\right]\to \left[\begin{array}{cc}1& -\frac{1}{3}\\ 0& 0\end{array}\right]$ Bas: $\left\{\left[\begin{array}{c}1\\ 3\end{array}\right]\right\}$

Egenrum för $\lambda =-1$: $(-I-A)\vec{x}=\vec{0}$: $\left[\begin{array}{cc}-2& 0\\ -6& 0\end{array}\right]\to \left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right]$ Bas: $\left\{\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]\right\}$

$P=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 3& 1\end{array}\right],P^{-1}AP=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right]$

Uppgift 2: Hitta $P$ som diagonaliserar ($3\times 3$)

Hitta en matris $P$ som diagonaliserar $A=\left[\begin{array}{ccc}2& 0& -2\\ 0& 3& 0\\ 0& 0& 3\end{array}\right]$.

Ledtråd $\lambda =3$ är ett dubbelt egenvärde.

Matrisen är övertriangulär — läs av egenvärdena direkt. Observera att

Facit $P^{-1}AP=\left[\begin{array}{ccc}2& 0& 0\\ 0& 3& 0\\ 0& 0& 3\end{array}\right]$

Full lösning Egenvärden: ${\lambda }_1=2$ (enkel), ${\lambda }_2=3$ (algebraisk mult. 2)

$\lambda =2$: Lös $(2I-A)\vec{x}=\vec{0}$: $\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 2\\ 0& -1& 0\\ 0& 0& -1\end{array}\right]\to \left[\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 0& 0& 1\\ 0& 0& 0\end{array}\right]$ $x_2=0$, $x_3=0$, $x_1$ fri. Bas: $\left\{\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right]\right\}$. Dim = 1 ✓

$\lambda =3$: Lös $(3I-A)\vec{x}=\vec{0}$: $\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 2\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right]$ $x_2$ och $x_3$ fria, $x_1=-2x_3$. Bas: $\left\{\left[\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}-2\\ 0\\ 1\end{array}\right]\right\}$. Dim = 2 ✓

Geo mult = alg mult för alla egenvärden → diagonaliserbar.

$P=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& -2\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$

Uppgift 3: Avgör diagonaliserbarhet

Avgör om $A=\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$ är diagonaliserbar. Motivera.

Facit $A$ är diagonaliserbar.

Ja,

Full lösning $A$ är triangulär, egenvärden: ${\lambda }_1=0$ (algebraisk mult. 2), ${\lambda }_2=1$ (algebraisk mult. 1).

$\lambda =0$: $(0\cdot I-A)\vec{x}=-A\vec{x}=\vec{0}$, dvs. $A\vec{x}=\vec{0}$: $\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\vec{x}=\vec{0}⟹x_3=0,x_1,x_2\text{ fria}$ Dim $E_0=2$ = algebraisk multiplicitet ✓

$\lambda =1$: Dim $E_1=1$ = algebraisk multiplicitet ✓

Geo mult = alg mult för alla → diagonaliserbar. ✓

Uppgift 4: Beräkna $A^{10}$ via diagonalisering

Beräkna $A^{10}$ där $A=\left[\begin{array}{cc}0& 3\\ 2& -1\end{array}\right]$.

Ledtråd $A^k=P{D}^k{P}^{-1}$.

Använd formeln

Facit $A^{10}=\left[\begin{array}{cc}\frac{3+2\cdot 6^{10}}{5}& \frac{3(6^{10}-1)}{5}\\ \frac{2(6^{10}-1)}{5}& \frac{2+3\cdot 6^{10}}{5}\end{array}\right]$

Full lösning Egenvärden: $p(\lambda )={\lambda }^2+\lambda -6=(\lambda -2)(\lambda +3)=0$

${\lambda }_1=2$, ${\lambda }_2=-3$.

Egenvektorer:

• $\lambda =2$: Bas $\left\{\left[\begin{array}{c}1\\ ?\end{array}\right]\right\}$ — lös $(2I-A)\vec{x}=\vec{0}$: $x_1=\frac{3}{2}{x}_2$. Välj ${\mathbf{p}}_1=\left[\begin{array}{c}3\\ 2\end{array}\right]$.
• $\lambda =-3$: Lös $(-3I-A)\vec{x}=\vec{0}$: $x_1=-x_2$. Välj ${\mathbf{p}}_2=\left[\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right]$.

$P=\left[\begin{array}{cc}3& 1\\ 2& -1\end{array}\right],P^{-1}=\frac{1}{-5}\left[\begin{array}{cc}-1& -1\\ -2& 3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\frac{1}{5}& \frac{1}{5}\\ \frac{2}{5}& -\frac{3}{5}\end{array}\right]$

$A^{10}=P\left[\begin{array}{cc}{2}^{10}& 0\\ 0& (-3{)}^{10}\end{array}\right]P^{-1}=P\left[\begin{array}{cc}1024& 0\\ 0& 6^{10}/\dots \end{array}\right]P^{-1}$

Notera: $(-3{)}^{10}=3^{10}=59049$, $2^{10}=1024$.

---

Konceptuella uppgifter

Uppgift 5: Sant eller falskt?

Avgör och motivera:

a) Om $A$ är diagonaliserbar med $P^{-1}AP=D$, så är $A^2$ diagonaliserbar. b) Om $A$ och $B$ är likartade, har de samma egenvektorer. c) En matris med ett egenvärde av algebraisk multiplicitet 3 kan aldrig vara diagonaliserbar. d) Om $A$ har $n$ distinkta egenvärden är $A$ diagonaliserbar. e) Diagonal- och triangulärmatriser är alltid diagonaliserbara.

Facit

a) Sant. $A^2=P{D}^2{P}^{-1}$ — se Sats 5.2.3. $D^2$ är diagonal, och $P$ är fortfarande inverterbar.

b) Falskt. Likartade matriser har samma egenvärden (likhetsbeständig), men inte nödvändigtvis samma egenvektorer. Om $B=P^{-1}AP$ och $A\mathbf{v}=\lambda \mathbf{v}$, så är $P^{-1}\mathbf{v}$ en egenvektor till $B$ — men det är i allmänhet en annan vektor.

c) Falskt. Om egenrummet för detta egenvärde har dimension 3 (geo mult = alg mult = 3), och övriga egenvärden också uppfyller multiplicitetskravet, kan matrisen vara diagonaliserbar.

d) Sant. Sats 5.2.2(b): $n$ distinkta egenvärden $\Rightarrow$ diagonaliserbar.

e) Falskt. En triangulärmatris är diagonaliserbar om och bara om diagonalelementen (egenvärdena) uppfyller multiplicitetskravet. En triangulärmatris med ett upprepat diagonalelement kan vara icke-diagonaliserbar (se Exempel 2).

---

11. Repetition: diagonaliserbarhetskriteriet

En $n\times n$-matris $A$ är diagonaliserbar om och bara om geometrisk multiplicitet = algebraisk multiplicitet för varje egenvärde.

Sammanfattning av metoden

Steg 1. Hitta egenvärdena och deras algebraiska multipliciteter från $\det (\lambda I-A)=0$.

Steg 2. För varje egenvärde $\lambda$: beräkna $\dim (E_{\lambda })=\text{nullitet}(\lambda I-A)$ — den geometriska multipliciteten.

Steg 3. Kontroll:

• geo mult = alg mult för alla egenvärden → diagonaliserbar ✓
• geo mult < alg mult för något egenvärde → ej diagonaliserbar ✗

Steg 4. (Om diagonaliserbar) Bilda $P$ med basvektorerna för alla egenrum som kolumner, och $P^{-1}AP=D$

11.1 Nyckelsamband: $AP=PD$

Relationen $P^{-1}AP=D$ är ekvivalent med:

$\boxed{AP=PD}$

Det är ofta enklare att verifiera $AP=PD$ direkt utan att beräkna $P^{-1}$.

Kontrollera med spår och determinant

Summan av egenvärdena (med multiplicitet) ska vara lika med $\text{tr}(A)$, och produkten ska vara lika med $\det (A)$:

${\sum }_i{\lambda }_i=\text{tr}(A),{\prod }_i{\lambda }_i=\det (A)$

Dessa är snabba kontroller — om de inte stämmer har du räknat fel.

---

12. Praktiska riktlinjer

Tre frågor att ställa sig

1. Triangulär matris? → Egenvärden avläses direkt från diagonalen. Gausselimination behövs inte för att hitta egenvärden.

2. $n$ distinkta egenvärden? → Direkt diagonaliserbar (Sats 5.2.2). Geometrisk multiplicitet måste vara 1 för varje enkel rot.

3. Upprepat egenvärde? → Beräkna $\dim (E_{\lambda })$ (antalet fria parametrar vid Gausselimination av $\lambda I-A$). Om dim $=$ algebraisk multiplicitet → ok.

Börja inte Gausselimination för tidigt

Vid ett $3\times 3$-system med ett dubbelt egenvärde: räkna antalet fria variabler i $(\lambda I-A)\vec{x}=\vec{0}$ — det ger direkt den geometriska multipliciteten. Behöver du bara veta om matrisen är diagonaliserbar räcker det att konstatera antalet fria parametrar.

Exempel: $3\times 3$ med ett dubbelt egenvärde

$A=\left[\begin{array}{ccc}2& 0& -2\\ 0& 3& 0\\ 0& 0& 3\end{array}\right]$

Egenvärden: ${\lambda }_1=2$ (alg. mult. 1), ${\lambda }_2=3$ (alg. mult. 2).

Egenrum för $\lambda =3$: Lös $(3I-A)\vec{x}=\vec{0}$: $\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 2\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right]$

Två fria variabler ($x_2$ och $x_3$) → geo. mult. $=2=$ alg. mult. → diagonaliserbar ✓

Vid ett $3\times 3$-system med ett dubbelt egenvärde: 2 fria variabler i egenrummet säger att $A$ är diagonaliserbar.

---

13. Symmetriska matriser

Definition: Symmetrisk matris

En matris $A$ kallas symmetrisk om $A=A^T$.

13.1 Spektralsatsen

Spektralsatsen (Sats 7.1.1)

Om $A$ är en symmetrisk $n\times n$-matris gäller:

(a) Alla egenvärden till $A$ är reella.

(b) Egenvektorer som hör till olika egenvärden är ortogonala.

(c) $A$ är alltid diagonaliserbar — det finns alltid $n$ linjärt oberoende egenvektorer.

(d) Det finns dessutom en ortogonal matris $P$ (dvs. $P^{-1}=P^T$) sådan att $P^{T}AP=D$

Man säger att $A$ är ortogonalt diagonaliserbar.

Konsekvens: För symmetriska matriser behöver man aldrig kontrollera multiplicitetskravet — diagonaliserbarhet är garanterad.

Ortogonal matris $P$

En matris $P$ är ortogonal om kolumnerna bildar en ortonormal bas. Eftersom egenvektorer till olika egenvärden automatiskt är ortogonala, räcker det att normalisera varje egenvektor:

${\hat{\mathbf{p}}}_i=\frac{{\mathbf{p}}_i}{|{\mathbf{p}}_i|}$

(Inom ett egenrum med dim $>1$ krävs dessutom Gram–Schmidt om egenvektorerna inte redan är ortogonala.)

Exempel: Symmetrisk matris

$A=\left[\begin{array}{cc}3& 1\\ 1& 3\end{array}\right]$ är symmetrisk ($A=A^T$).

Egenvärden: $p(\lambda )=(\lambda -3{)}^2-1={\lambda }^2-6\lambda +8=(\lambda -2)(\lambda -4)=0$

${\lambda }_1=2$, ${\lambda }_2=4$ (distinkta reella egenvärden ✓)

Egenvektorer:

• $\lambda =2$: $(2I-A)\vec{x}=\vec{0}$ ger ${\mathbf{p}}_1=\left[\begin{array}{c}-1\\ 1\end{array}\right]$
• $\lambda =4$: $(4I-A)\vec{x}=\vec{0}$ ger ${\mathbf{p}}_2=\left[\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right]$

Kontroll: ${\mathbf{p}}_1\cdot {\mathbf{p}}_2=-1+1=0$ — ortogonala ✓ (spektralsatsen)

Ortogonal diagonalisering: Normalisera: $P=\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\begin{array}{cc}-1& 1\\ 1& 1\end{array}\right],P^{T}AP=\left[\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 4\end{array}\right]$

---

14. Jämförelse: vanlig vs. ortogonal diagonalisering

Egenskap	Allmän matris	Symmetrisk matris
Alltid diagonaliserbar?	Nej	Ja
Egenvärden reella?	Inte nödvändigt	Alltid
Egenvektorer ortogonala?	Inte nödvändigt	Ja (olika egenvärden)
$P$ kan väljas ortogonal?	Nej	Ja ($P^{-1}=P^T$)
Formel	$P^{-1}AP=D$	$P^{T}AP=D$

---

15. Övningsuppgifter (V5L4)

Uppgift 1: Kontrollera diagonaliserbarhet utan att räkna egenvektorer

Avgör om $A=\left[\begin{array}{ccc}5& 0& 0\\ 1& 5& 0\\ 0& 1& 3\end{array}\right]$ är diagonaliserbar.

Ledtråd

Matrisen är undertriangulär — egenvärden avläses direkt. Undersök sedan antalet fria variabler för det upprepade egenvärdet.

Facit $A$ är inte diagonaliserbar.

Nej,

Full lösning Egenvärden: ${\lambda }_1=5$ (alg. mult. 2), ${\lambda }_2=3$ (alg. mult. 1).

Egenrum för $\lambda =5$: Lös $(5I-A)\vec{x}=\vec{0}$: $\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ -1& 0& 0\\ 0& -1& 2\end{array}\right]\stackrel{\text{radred.}}{\to }\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& -2\\ 0& 0& 0\end{array}\right]$ En fri variabel → geo. mult. $=1<2=$ alg. mult. → ej diagonaliserbar ✗

Uppgift 2: Ortogonal diagonalisering av symmetrisk matris

Diagonalisera ortogonalt $A=\left[\begin{array}{cc}2& -2\\ -2& 5\end{array}\right]$.

Ledtråd $A$ är symmetrisk. Spektralsatsen garanterar att egenvektorer till olika egenvärden är ortogonala — normalisera dem för att få den ortogonala matrisen $P$.

Kontrollera att

Facit $P^{T}AP=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 6\end{array}\right]$

Full lösning $A=A^T$ ✓ — symmetrisk.

Egenvärden: $\text{tr}(A)=7$, $\det (A)=10-4=6$. $p(\lambda )={\lambda }^2-7\lambda +6=(\lambda -1)(\lambda -6)=0$

${\lambda }_1=1$, ${\lambda }_2=6$.

$\lambda =1$: $(I-A)\vec{x}=\vec{0}$: $\left[\begin{array}{cc}-1& 2\\ 2& -4\end{array}\right]\to \left[\begin{array}{cc}1& -2\\ 0& 0\end{array}\right]$ $x_1=2t$, $x_2=t$. Välj ${\mathbf{p}}_1=\left[\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right]$. Normalisera: ${\hat{\mathbf{p}}}_1=\frac{1}{\sqrt{5}}\left[\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right]$.

$\lambda =6$: $(6I-A)\vec{x}=\vec{0}$: $\left[\begin{array}{cc}4& 2\\ 2& 1\end{array}\right]\to \left[\begin{array}{cc}2& 1\\ 0& 0\end{array}\right]$ $x_1=-t$, $x_2=2t$. Välj ${\mathbf{p}}_2=\left[\begin{array}{c}-1\\ 2\end{array}\right]$. Normalisera: ${\hat{\mathbf{p}}}_2=\frac{1}{\sqrt{5}}\left[\begin{array}{c}-1\\ 2\end{array}\right]$.

Kontroll ortogonalitet: ${\hat{\mathbf{p}}}_1\cdot {\hat{\mathbf{p}}}_2=\frac{1}{5}(2\cdot (-1)+1\cdot 2)=0$ ✓

$P=\frac{1}{\sqrt{5}}\left[\begin{array}{cc}2& -1\\ 1& 2\end{array}\right],P^{T}AP=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 6\end{array}\right]$

Uppgift 3: Verifiera $AP=PD$

Låt $A=\left[\begin{array}{ccc}0& 0& -2\\ 1& 2& 1\\ 1& 0& 3\end{array}\right]$ och $P=\left[\begin{array}{ccc}-1& 0& -2\\ 0& 1& 1\\ 1& 0& 1\end{array}\right]$, $D=\left[\begin{array}{ccc}2& 0& 0\\ 0& 2& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$.

Verifiera att $AP=PD$ utan att beräkna $P^{-1}$.

Facit $AP$ och $PD$ och kontrollera att de är lika.

Beräkna

Full lösning $AP=\left[\begin{array}{ccc}0& 0& -2\\ 1& 2& 1\\ 1& 0& 3\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}-1& 0& -2\\ 0& 1& 1\\ 1& 0& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}-2& 0& -2\\ 0& 2& 1\\ 2& 0& 1\end{array}\right]$

$PD=\left[\begin{array}{ccc}-1& 0& -2\\ 0& 1& 1\\ 1& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}2& 0& 0\\ 0& 2& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}-2& 0& -2\\ 0& 2& 1\\ 2& 0& 1\end{array}\right]$

$AP=PD$ ✓

---

Resurser

Videor

• 3Blue1Brown: Eigenvectors and eigenvalues (kap 14) — visuell grund
• MIT 18.06SC: Diagonalization (Gilbert Strang) — fullständig genomgång av diagonalisering
• MIT 18.06SC: Symmetric Matrices and Positive Definiteness (Gilbert Strang) — symmetriska matriser och spektralsatsen

Interaktiva verktyg

• matrixcalc.org — beräkna egenvärden, egenvektorer, $P^{-1}AP$ online

Wikipedia

• Diagonalizable matrix
• Matrix similarity
• Eigendecomposition of a matrix
• Symmetric matrix
• Spectral theorem

Fördjupning

• Georgia Tech — Interactive Linear Algebra: Diagonalization
• Georgia Tech — Interactive Linear Algebra: Orthogonal Diagonalization
• Immersive Linear Algebra — Chapter 6