Basbyte

---

1. Problemställningen

3B1B: Change of basis

I V4L3 M0067M såg vi att samma vektor $\vec{x}$ får olika koordinatvektorer beroende på vilken bas vi väljer. Det leder till en naturlig fråga:

Om vi känner koordinaterna för $\vec{x}$ relativt en bas — hur beräknar vi koordinaterna relativt en annan bas?

Konkret: Givet två baser $B$ och $B^{\prime }$ för ett vektorrum $V$, och koordinatvektorn $[\vec{x}{]}_B$. Hur hittar vi $[\vec{x}{]}_{B^{\prime }}$?

Varför behövs detta?

Ibland är ett problem svårt att lösa i en viss bas men enkelt i en annan. Basbyte låter oss “byta perspektiv” — lösa problemet i den bekväma basen och sedan översätta tillbaka.

Analogi: Tänk på att byta från kartesiska koordinater till polära koordinater. Samma punkt i planet, men olika siffror som beskriver den. Ibland är polära koordinater smidigare (t.ex. för cirklar).

---

2. Övergångsmatris — definition

Definition: Övergångsmatris

Låt $B=\{{\vec{b}}_1,\dots ,{\vec{b}}_n\}$ och $B^{\prime }=\{{\vec{b}}_1^{\prime },\dots ,{\vec{b}}_n^{\prime }\}$ vara två baser för ett vektorrum $V$.

Övergångsmatrisen (transition matrix) från $B$ till $B^{\prime }$ är den unika $n\times n$-matris $P_{B\to B^{\prime }}$ som uppfyller:

$[\vec{x}{]}_{B^{\prime }}=P_{B\to B^{\prime }}[\vec{x}{]}_B$

för alla $\vec{x}\in V$.

Med andra ord: övergångsmatrisen “översätter” koordinater i bas $B$ till koordinater i bas $B^{\prime }$ genom en enkel matrismultiplikation.

Notationen $P_{B\to B^{\prime }}$

Pilen visar riktningen på översättningen: från $B$-koordinater till $B^{\prime }$-koordinater. Läs det som “övergångsmatrisen från $B$ till $B^{\prime }$“.

Var noga med ordningen — $P_{B\to B^{\prime }}$ och $P_{B^{\prime }\to B}$ är inte samma matris!

---

3. Hur beräknar man övergångsmatrisen?

3.1 Metod: via kolumner

Övergångsmatrisen $P_{B\to B^{\prime }}$ fås genom att uttrycka de gamla basvektorerna ($B$:s vektorer) i den nya basens ($B^{\prime }$:s) koordinater:

$P_{B\to B^{\prime }}=[[{\vec{b}}_1{]}_{B^{\prime }}[{\vec{b}}_2{]}_{B^{\prime }}\cdots [{\vec{b}}_n{]}_{B^{\prime }}]$

Varför? Om vi sätter $\vec{x}={\vec{b}}_j$ (den $j$:te basvektorn i $B$), så ger $[{\vec{b}}_j{]}_B={\vec{e}}_j$ (enhetsvektorn). Då:

$[{\vec{b}}_j{]}_{B^{\prime }}=P_{B\to B^{\prime }}[{\vec{b}}_j{]}_B=P_{B\to B^{\prime }}{\vec{e}}_j=\text{kolumn }j\text{ i }{P}_{B\to B^{\prime }}$

Minnesregel

Kolumn $j$ i $P_{B\to B^{\prime }}$ = koordinaterna för den $j$:te gamla ($B$) basvektorn uttryckt i den nya ($B^{\prime }$) basen.

---

3.2 Metod i ${\mathbb{R}}^n$: radreducering

I ${\mathbb{R}}^n$ finns en smidig beräkningsmetod. Bilda den utökade matrisen med $B^{\prime }$:s vektorer till vänster och $B$:s vektorer till höger, och radreducera:

$\left[B^{\prime }\right|B\left]\stackrel{\text{radreducera}}{\to }\right[I\left|P_{B\to B^{\prime }}\right]$

Varför fungerar detta? Vi löser $n$ ekvationssystem samtidigt: för varje basvektor ${\vec{b}}_j$ i $B$ söker vi koefficienter $c_1,\dots ,c_n$ sådana att $c_1{\vec{b}}_1^{\prime }+\cdots +c_n{\vec{b}}_n^{\prime }={\vec{b}}_j$. Dessa koefficienter är precis $[{\vec{b}}_j{]}_{B^{\prime }}$, dvs. kolumn $j$ i $P_{B\to B^{\prime }}$.

Räkneexempel: Övergångsmatris i ${\mathbb{R}}^2$

Givet baserna:

• $B=\left\{\left[\begin{array}{c}1\\ 3\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right]\right\}$
• $B^{\prime }=\left\{\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]\right\}$ (standardbasen)

Bestäm $P_{B\to B^{\prime }}$.

Metod: Radreducera $[B^{\prime }\mid B]$:

$\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 1& 2\\ 0& 1& 3& 1\end{array}\right]$

Matrisen är redan på reducerad trappstegsform!

$P_{B\to B^{\prime }}=\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 1\end{array}\right]$

Kontroll: Låt $\vec{x}$ ha koordinaterna $[\vec{x}{]}_B=\left[\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right]$.

Då: $\vec{x}=2\left[\begin{array}{c}1\\ 3\end{array}\right]+1\left[\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}4\\ 7\end{array}\right]$.

Med formeln: $[\vec{x}{]}_{B^{\prime }}=P_{B\to B^{\prime }}[\vec{x}{]}_B=\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}4\\ 7\end{array}\right]$.

Och i standardbasen: $[\vec{x}{]}_{B^{\prime }}=\vec{x}=\left[\begin{array}{c}4\\ 7\end{array}\right]$. ✓

Notera: När $B^{\prime }$ är standardbasen blir övergångsmatrisen helt enkelt $P_{B\to \text{std}}=[B]$ (basvektorerna i $B$ som kolumner). Det beror på att koordinaterna i standardbasen är de vanliga komponenterna.

Räkneexempel: Övergångsmatris i ${\mathbb{R}}^3$ (möjlig tentauppgift)

Givet baserna:

• $B=\left\{\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 1\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}0\\ 1\\ 1\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}1\\ 1\\ 0\end{array}\right]\right\}$
• $B^{\prime }=\left\{\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right]\right\}$ (standardbasen)

Bestäm $P_{B\to B^{\prime }}$.

Radreducera $[B^{\prime }\mid B]$: $\left[\begin{array}{cccccc}1& 0& 0& 1& 0& 1\\ 0& 1& 0& 0& 1& 1\\ 0& 0& 1& 1& 1& 0\end{array}\right]$

Redan reducerad!

$P_{B\to B^{\prime }}=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 0& 1& 1\\ 1& 1& 0\end{array}\right]$

Kontroll: Verifiera med ${\vec{b}}_1$: $[{\vec{b}}_1{]}_B=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right]$, så:

$P_{B\to B^{\prime }}\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 1\end{array}\right]={\vec{b}}_1$ i standardkoordinater. ✓

Räkneexempel: Mellan två icke-standardbaser

Givet baserna i ${\mathbb{R}}^2$:

• $B=\left\{\left[\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}3\\ 1\end{array}\right]\right\}$
• $B^{\prime }=\left\{\left[\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right]\right\}$

Bestäm $P_{B\to B^{\prime }}$.

Radreducera $[B^{\prime }\mid B]$: $\left[\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 3\\ 1& -1& 2& 1\end{array}\right]\stackrel{R_2-R_1}{\to }\left[\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 3\\ 0& -2& 1& -2\end{array}\right]$

$\stackrel{R_2/(-2)}{\to }\left[\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 3\\ 0& 1& -\frac{1}{2}& 1\end{array}\right]\stackrel{R_1-R_2}{\to }\left[\begin{array}{cccc}1& 0& \frac{3}{2}& 2\\ 0& 1& -\frac{1}{2}& 1\end{array}\right]$

$P_{B\to B^{\prime }}=\left[\begin{array}{cc}\frac{3}{2}& 2\\ -\frac{1}{2}& 1\end{array}\right]$

Kontroll: Låt $[\vec{x}{]}_B=\left[\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right]$. Då $\vec{x}=1\left[\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right]+1\left[\begin{array}{c}3\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}4\\ 3\end{array}\right]$.

Formeln ger: $[\vec{x}{]}_{B^{\prime }}=\left[\begin{array}{cc}\frac{3}{2}& 2\\ -\frac{1}{2}& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\frac{7}{2}\\ \frac{1}{2}\end{array}\right]$.

Verifiera: $\frac{7}{2}\left[\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right]+\frac{1}{2}\left[\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\frac{7}{2}+\frac{1}{2}\\ \frac{7}{2}-\frac{1}{2}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}4\\ 3\end{array}\right]$ ✓

---

4. Egenskaper hos övergångsmatrisen

Sats: Övergångsmatrisen är inverterbar

Övergångsmatrisen $P_{B\to B^{\prime }}$ är alltid inverterbar, och dess invers är övergångsmatrisen i motsatt riktning:

${\left(P_{B\to B^{\prime }}\right)}^{-1}=P_{B^{\prime }\to B}$

Varför? Vi har: $[\vec{x}{]}_{B^{\prime }}=P_{B\to B^{\prime }}[\vec{x}{]}_B$

Multiplicera båda sidor med $(P_{B\to B^{\prime }}{)}^{-1}$: $[\vec{x}{]}_B={\left(P_{B\to B^{\prime }}\right)}^{-1}[\vec{x}{]}_{B^{\prime }}$

Men per definition gäller $[\vec{x}{]}_B=P_{B^{\prime }\to B}[\vec{x}{]}_{B^{\prime }}$. Alltså $P_{B^{\prime }\to B}=(P_{B\to B^{\prime }}{)}^{-1}$. ∎

Praktisk konsekvens

Om du har beräknat $P_{B\to B^{\prime }}$ behöver du inte göra om hela beräkningen för att gå åt andra hållet — invertera matrisen! Och om matrisen är $2\times 2$ kan du använda formeln $A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\left[\begin{array}{cc}d& -b\\ -c& a\end{array}\right]$.

Sats: Kedja av basbyten

Om $B$, $B^{\prime }$ och $B^{\prime \prime }$ är tre baser för samma vektorrum, så gäller:

$P_{B\to B^{\prime \prime }}=P_{B^{\prime }\to B^{\prime \prime }}\cdot P_{B\to B^{\prime }}$

Man kan “kedja” övergångsmatriser genom matrismultiplikation.

Intuition: Först översätt från $B$ till $B^{\prime }$, sedan från $B^{\prime }$ till $B^{\prime \prime }$. Sammansättningen ger direkt från $B$ till $B^{\prime \prime }$.

---

5. Specialfall: basbyte via standardbasen

Om en av baserna är standardbasen $E=\{{\vec{e}}_1,\dots ,{\vec{e}}_n\}$ i ${\mathbb{R}}^n$ förenklas beräkningarna avsevärt.

5.1 Från bas $B$ till standardbasen

$P_{B\to E}=[{\vec{b}}_1{\vec{b}}_2\cdots {\vec{b}}_n]$

Det vill säga: övergångsmatrisen är helt enkelt matrisen med $B$:s basvektorer som kolumner!

Varför? I standardbasen är $[{\vec{b}}_j{]}_E={\vec{b}}_j$ (koordinaterna är komponenterna).

5.2 Från standardbasen till bas $B$

$P_{E\to B}={\left(P_{B\to E}\right)}^{-1}=[{\vec{b}}_1\cdots {\vec{b}}_n{]}^{-1}$

5.3 Mellan två baser via standardbasen

Vill du beräkna $P_{B\to B^{\prime }}$ kan du gå via standardbasen:

$P_{B\to B^{\prime }}=P_{E\to B^{\prime }}\cdot P_{B\to E}={\left(P_{B^{\prime }\to E}\right)}^{-1}\cdot P_{B\to E}$

Räkneexempel: Via standardbasen

Givet i ${\mathbb{R}}^2$:

• $B=\left\{\left[\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}3\\ 1\end{array}\right]\right\}$
• $B^{\prime }=\left\{\left[\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right]\right\}$

Steg 1: $P_{B\to E}=\left[\begin{array}{cc}1& 3\\ 2& 1\end{array}\right]$ (basvektorerna i $B$ som kolumner).

Steg 2: $P_{B^{\prime }\to E}=\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\right]$.

Steg 3: $P_{E\to B^{\prime }}=(P_{B^{\prime }\to E}{)}^{-1}=\frac{1}{-2}\left[\begin{array}{cc}-1& -1\\ -1& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\frac{1}{2}& \frac{1}{2}\\ \frac{1}{2}& -\frac{1}{2}\end{array}\right]$.

Steg 4: $P_{B\to B^{\prime }}=P_{E\to B^{\prime }}\cdot P_{B\to E}=\left[\begin{array}{cc}\frac{1}{2}& \frac{1}{2}\\ \frac{1}{2}& -\frac{1}{2}\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}1& 3\\ 2& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\frac{3}{2}& 2\\ -\frac{1}{2}& 1\end{array}\right]$

Samma svar som med radreduceringsmetoden! ✓

---

6. Basbyte i andra vektorrum

Metoden fungerar inte bara i ${\mathbb{R}}^n$ — den gäller i alla ändligtdimensionella vektorrum. Nyckeln är att översätta till ${\mathbb{R}}^n$ via koordinater.

Basbyte i ${\mathcal{P}}_2$

Givet baserna i ${\mathcal{P}}_2$:

• $B=\{1,x,x^2\}$ (standardbasen)
• $B^{\prime }=\{1+x,1-x,x^2\}$

Bestäm $P_{B\to B^{\prime }}$.

Steg 1: Uttryck $B$:s vektorer i $B^{\prime }$:s koordinater.

Översätt till ${\mathbb{R}}^3$:

• $B$: $(1)\leftrightarrow \left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right]$, $(x)\leftrightarrow \left[\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right]$, $(x^2)\leftrightarrow \left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right]$
• $B^{\prime }$: $(1+x)\leftrightarrow \left[\begin{array}{c}1\\ 1\\ 0\end{array}\right]$, $(1-x)\leftrightarrow \left[\begin{array}{c}1\\ -1\\ 0\end{array}\right]$, $(x^2)\leftrightarrow \left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right]$

Steg 2: Radreducera $[B^{\prime }\mid B]$ (i ${\mathbb{R}}^3$):

$\left[\begin{array}{cccccc}1& 1& 0& 1& 0& 0\\ 1& -1& 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 1& 0& 0& 1\end{array}\right]\stackrel{R_2-R_1}{\to }\left[\begin{array}{cccccc}1& 1& 0& 1& 0& 0\\ 0& -2& 0& -1& 1& 0\\ 0& 0& 1& 0& 0& 1\end{array}\right]$

$\stackrel{R_2/(-2)}{\to }\left[\begin{array}{cccccc}1& 1& 0& 1& 0& 0\\ 0& 1& 0& \frac{1}{2}& -\frac{1}{2}& 0\\ 0& 0& 1& 0& 0& 1\end{array}\right]\stackrel{R_1-R_2}{\to }\left[\begin{array}{cccccc}1& 0& 0& \frac{1}{2}& \frac{1}{2}& 0\\ 0& 1& 0& \frac{1}{2}& -\frac{1}{2}& 0\\ 0& 0& 1& 0& 0& 1\end{array}\right]$

$P_{B\to B^{\prime }}=\left[\begin{array}{ccc}\frac{1}{2}& \frac{1}{2}& 0\\ \frac{1}{2}& -\frac{1}{2}& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$

Kontroll: Polynomet $p(x)=3+2x$ har $[p{]}_B=\left[\begin{array}{c}3\\ 2\\ 0\end{array}\right]$.

$[p{]}_{B^{\prime }}=P_{B\to B^{\prime }}\left[\begin{array}{c}3\\ 2\\ 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\frac{5}{2}\\ \frac{1}{2}\\ 0\end{array}\right]$

Verifiera: $\frac{5}{2}(1+x)+\frac{1}{2}(1-x)+0\cdot x^2=\frac{5}{2}+\frac{5}{2}x+\frac{1}{2}-\frac{1}{2}x=3+2x$ ✓

---

7. Beslutsträd

Beräkna övergångsmatrisen $P_{B\to B^{\prime }}$

flowchart TD
    A["Givet: baser B och B' för V"] --> B{"Arbetar vi i Rⁿ?"}
    B -- Ja --> C["Bilda [B' | B]\noch radreducera\ntill [I | P]"]
    B -- Nej --> D["Översätt B och B'\ntill koordinater i Rⁿ\n(via standardbasen)"]
    D --> C
    C --> E["P = P_{B→B'}"]
    E --> F{"Behöver du P_{B'→B}?"}
    F -- Ja --> G["P_{B'→B} = P⁻¹"]
    F -- Nej --> H["Klar!"]

Beräkna $[\vec{x}{]}_{B^{\prime }}$ givet $[\vec{x}{]}_B$

flowchart TD
    A["Givet: [x]_B och baserna B, B'"] --> B["Beräkna P_{B→B'}\n(se ovan)"]
    B --> C["Matrismultiplicera:\n[x]_{B'} = P_{B→B'} · [x]_B"]
    C --> D["Svar: [x]_{B'}"]

---

8. Övningsuppgifter

Övergångsmatris-uppgifter

Uppgift 1: Övergångsmatris i ${\mathbb{R}}^2$

Givet:

• $B=\left\{\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]\right\}$ (standardbasen)
• $B^{\prime }=\left\{\left[\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}1\\ 3\end{array}\right]\right\}$

Bestäm $P_{B\to B^{\prime }}$.

Ledtråd 1 $[B^{\prime }\mid B]$, dvs. $\left[\begin{array}{cccc}2& 1& 1& 0\\ 1& 3& 0& 1\end{array}\right]$.

Radreducera

Ledtråd 2 $B$ är standardbasen, så $P_{B\to B^{\prime }}=(P_{B^{\prime }\to E}{)}^{-1}={\left[\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 3\end{array}\right]}^{-1}$.

Alternativt:

Facit $P_{B\to B^{\prime }}=\frac{1}{5}\left[\begin{array}{cc}3& -1\\ -1& 2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\frac{3}{5}& -\frac{1}{5}\\ -\frac{1}{5}& \frac{2}{5}\end{array}\right]$

Full lösning Metod 1 (radreducering): $\left[\begin{array}{cccc}2& 1& 1& 0\\ 1& 3& 0& 1\end{array}\right]\stackrel{R_1\leftrightarrow R_2}{\to }\left[\begin{array}{cccc}1& 3& 0& 1\\ 2& 1& 1& 0\end{array}\right]$

$\stackrel{R_2-2R_1}{\to }\left[\begin{array}{cccc}1& 3& 0& 1\\ 0& -5& 1& -2\end{array}\right]\stackrel{R_2/(-5)}{\to }\left[\begin{array}{cccc}1& 3& 0& 1\\ 0& 1& -\frac{1}{5}& \frac{2}{5}\end{array}\right]$

$\stackrel{R_1-3R_2}{\to }\left[\begin{array}{cccc}1& 0& \frac{3}{5}& -\frac{1}{5}\\ 0& 1& -\frac{1}{5}& \frac{2}{5}\end{array}\right]$

$P_{B\to B^{\prime }}=\left[\begin{array}{cc}\frac{3}{5}& -\frac{1}{5}\\ -\frac{1}{5}& \frac{2}{5}\end{array}\right]$

Metod 2 (invers): Eftersom $B$ är standardbasen: $P_{B\to B^{\prime }}=P_{E\to B^{\prime }}=(P_{B^{\prime }\to E}{)}^{-1}={\left[\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 3\end{array}\right]}^{-1}=\frac{1}{5}\left[\begin{array}{cc}3& -1\\ -1& 2\end{array}\right]$

Kontroll: ${\vec{e}}_1=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]$, $[{\vec{e}}_1{]}_{B^{\prime }}=P_{B\to B^{\prime }}\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\frac{3}{5}\\ -\frac{1}{5}\end{array}\right]$.

Verifiera: $\frac{3}{5}\left[\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right]+\left(-\frac{1}{5}\right)\left[\begin{array}{c}1\\ 3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\frac{6}{5}-\frac{1}{5}\\ \frac{3}{5}-\frac{3}{5}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]={\vec{e}}_1$ ✓

Uppgift 2: Mellan två icke-standardbaser

Givet i ${\mathbb{R}}^2$:

• $B=\left\{\left[\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}2\\ -1\end{array}\right]\right\}$
• $B^{\prime }=\left\{\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right]\right\}$

a) Bestäm $P_{B\to B^{\prime }}$. b) Om $[\vec{x}{]}_B=\left[\begin{array}{c}3\\ -1\end{array}\right]$, bestäm $[\vec{x}{]}_{B^{\prime }}$.

Ledtråd $[B^{\prime }\mid B]=\left[\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 2\\ 0& 2& 1& -1\end{array}\right]$.

Radreducera

Facit $P_{B\to B^{\prime }}=\left[\begin{array}{cc}\frac{1}{2}& \frac{5}{2}\\ \frac{1}{2}& -\frac{1}{2}\end{array}\right]$

a)

b) $[\vec{x}{]}_{B^{\prime }}=\left[\begin{array}{c}-1\\ 2\end{array}\right]$

Full lösning a) $\left[\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 2\\ 0& 2& 1& -1\end{array}\right]\stackrel{R_2/2}{\to }\left[\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 2\\ 0& 1& \frac{1}{2}& -\frac{1}{2}\end{array}\right]$

$\stackrel{R_1-R_2}{\to }\left[\begin{array}{cccc}1& 0& \frac{1}{2}& \frac{5}{2}\\ 0& 1& \frac{1}{2}& -\frac{1}{2}\end{array}\right]$

$P_{B\to B^{\prime }}=\left[\begin{array}{cc}\frac{1}{2}& \frac{5}{2}\\ \frac{1}{2}& -\frac{1}{2}\end{array}\right]$

b) $[\vec{x}{]}_{B^{\prime }}=P_{B\to B^{\prime }}\left[\begin{array}{c}3\\ -1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\frac{1}{2}& \frac{5}{2}\\ \frac{1}{2}& -\frac{1}{2}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}3\\ -1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\frac{3}{2}-\frac{5}{2}\\ \frac{3}{2}+\frac{1}{2}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}-1\\ 2\end{array}\right]$

Kontroll: $\vec{x}=3\left[\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right]-1\left[\begin{array}{c}2\\ -1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}1\\ 4\end{array}\right]$.

I $B^{\prime }$: $-1\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]+2\left[\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}-1+2\\ 0+4\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}1\\ 4\end{array}\right]$ ✓

Uppgift 3: Basbyte i ${\mathcal{P}}_1$

Givet baserna i ${\mathcal{P}}_1$:

• $B=\{1,x\}$ (standardbasen)
• $B^{\prime }=\{1+x,1-x\}$

a) Bestäm $P_{B\to B^{\prime }}$. b) Bestäm koordinaterna för $p(x)=5+3x$ i basen $B^{\prime }$.

Ledtråd ${\mathbb{R}}^2$: $1\leftrightarrow \left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]$, $x\leftrightarrow \left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]$, $(1+x)\leftrightarrow \left[\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right]$, $(1-x)\leftrightarrow \left[\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right]$.

Översätt till

Facit $P_{B\to B^{\prime }}=\left[\begin{array}{cc}\frac{1}{2}& \frac{1}{2}\\ \frac{1}{2}& -\frac{1}{2}\end{array}\right]$

a)

b) $[5+3x{]}_{B^{\prime }}=\left[\begin{array}{c}4\\ 1\end{array}\right]$, alltså $5+3x=4(1+x)+1(1-x)$.

Full lösning a) Radreducera $[B^{\prime }\mid B]$ i ${\mathbb{R}}^2$:

$\left[\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 0\\ 1& -1& 0& 1\end{array}\right]\stackrel{R_2-R_1}{\to }\left[\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 0\\ 0& -2& -1& 1\end{array}\right]$

$\stackrel{R_2/(-2)}{\to }\left[\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 0\\ 0& 1& \frac{1}{2}& -\frac{1}{2}\end{array}\right]\stackrel{R_1-R_2}{\to }\left[\begin{array}{cccc}1& 0& \frac{1}{2}& \frac{1}{2}\\ 0& 1& \frac{1}{2}& -\frac{1}{2}\end{array}\right]$

$P_{B\to B^{\prime }}=\left[\begin{array}{cc}\frac{1}{2}& \frac{1}{2}\\ \frac{1}{2}& -\frac{1}{2}\end{array}\right]$

b) $[5+3x{]}_B=\left[\begin{array}{c}5\\ 3\end{array}\right]$ (i standardbasen).

$[5+3x{]}_{B^{\prime }}=P_{B\to B^{\prime }}\left[\begin{array}{c}5\\ 3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\frac{1}{2}& \frac{1}{2}\\ \frac{1}{2}& -\frac{1}{2}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}5\\ 3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}4\\ 1\end{array}\right]$

Kontroll: $4(1+x)+1(1-x)=4+4x+1-x=5+3x$ ✓

---

Inversuppgifter

Uppgift 4: Omvänd riktning

Från uppgift 2 vet vi att $P_{B\to B^{\prime }}=\left[\begin{array}{cc}\frac{1}{2}& \frac{5}{2}\\ \frac{1}{2}& -\frac{1}{2}\end{array}\right]$.

Bestäm $P_{B^{\prime }\to B}$ och använd den för att beräkna $[\vec{x}{]}_B$ givet $[\vec{x}{]}_{B^{\prime }}=\left[\begin{array}{c}2\\ 3\end{array}\right]$.

Ledtråd $P_{B^{\prime }\to B}=(P_{B\to B^{\prime }}{)}^{-1}$. Använd $2\times 2$-inversformeln.

Facit $P_{B^{\prime }\to B}=\left[\begin{array}{cc}\frac{1}{3}& \frac{5}{3}\\ \frac{1}{3}& -\frac{1}{3}\end{array}\right]$, $[\vec{x}{]}_B=\left[\begin{array}{c}\frac{17}{3}\\ -\frac{1}{3}\end{array}\right]$.

Full lösning $\det (P_{B\to B^{\prime }})=\frac{1}{2}\cdot (-\frac{1}{2})-\frac{5}{2}\cdot \frac{1}{2}=-\frac{1}{4}-\frac{5}{4}=-\frac{6}{4}=-\frac{3}{2}$.

$P_{B^{\prime }\to B}=\frac{1}{-\frac{3}{2}}\left[\begin{array}{cc}-\frac{1}{2}& -\frac{5}{2}\\ -\frac{1}{2}& \frac{1}{2}\end{array}\right]=-\frac{2}{3}\left[\begin{array}{cc}-\frac{1}{2}& -\frac{5}{2}\\ -\frac{1}{2}& \frac{1}{2}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\frac{1}{3}& \frac{5}{3}\\ \frac{1}{3}& -\frac{1}{3}\end{array}\right]$

$[\vec{x}{]}_B=P_{B^{\prime }\to B}\left[\begin{array}{c}2\\ 3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\frac{1}{3}& \frac{5}{3}\\ \frac{1}{3}& -\frac{1}{3}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}2\\ 3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\frac{2}{3}+5\\ \frac{2}{3}-1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\frac{17}{3}\\ -\frac{1}{3}\end{array}\right]$

Kontroll: $\vec{x}=2\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]+3\left[\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}5\\ 6\end{array}\right]$.

Andra vägen: $\frac{17}{3}\left[\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right]-\frac{1}{3}\left[\begin{array}{c}2\\ -1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\frac{17}{3}-\frac{2}{3}\\ \frac{17}{3}+\frac{1}{3}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}5\\ 6\end{array}\right]$ ✓

---

Konceptuella uppgifter

Uppgift 5: Sant eller falskt?

Avgör om påståendena är sanna eller falska. Motivera kort.

a) Övergångsmatrisen $P_{B\to B^{\prime }}$ är alltid kvadratisk. b) $P_{B\to B^{\prime }}=P_{B^{\prime }\to B}$. c) $(P_{B\to B^{\prime }}{)}^{-1}$ existerar alltid. d) Om $P_{B\to B^{\prime }}=I$ (identitetsmatrisen), så är $B=B^{\prime }$. e) Kolumnerna i $P_{B\to B^{\prime }}$ är koordinaterna för $B^{\prime }$:s basvektorer i bas $B$.

Ledtråd $P_{B\to B^{\prime }}=P_{B^{\prime }\to B}$: det ger $(P_{B\to B^{\prime }}{)}^2=I$, dvs. $P$ är sin egen invers. Gäller det generellt?

b) Tänk på vad som händer om du sätter

Facit

a) Sant. Både $B$ och $B^{\prime }$ har $n$ vektorer (dimensionen av rummet), så $P_{B\to B^{\prime }}$ är $n\times n$.

b) Falskt. $P_{B^{\prime }\to B}=(P_{B\to B^{\prime }}{)}^{-1}$, och en matris är i allmänhet inte lika med sin invers. T.ex. i uppgift 2 ovan.

c) Sant. Övergångsmatrisen är alltid inverterbar (satsen i avsnitt 4).

d) Sant. Om $P_{B\to B^{\prime }}=I$ så gäller $[\vec{x}{]}_{B^{\prime }}=I\cdot [\vec{x}{]}_B=[\vec{x}{]}_B$ för alla $\vec{x}$. Samma koordinater i båda baserna innebär att baserna är identiska.

e) Falskt. Kolumnerna i $P_{B\to B^{\prime }}$ är koordinaterna för $B$:s basvektorer i bas $B^{\prime }$ — inte tvärtom! (Se avsnitt 3.1.)

---

Resurser

Videor

• 3Blue1Brown: Change of basis (kap 13) — basbyte visuellt förklarat
• 3Blue1Brown: Linear combinations, span, and basis vectors (kap 2) — grunden för baser och koordinater
• 3Blue1Brown: Eigenvectors and eigenvalues (kap 14) — egenvärden och basbyte hänger ihop

Wikipedia

• Change of basis
• Transition matrix
• Coordinate vector

Fördjupning

• Georgia Tech — Interactive Linear Algebra: Change of Basis