Rörelsemängd och kollisioner

Kapitel: 8.1–8.4 · Kurs: F0004T Förkunskaper: Newtons lagar, Arbete och energi

---

1. Rörelsemängd

1.1 Definition

Definition: Rörelsemängd

Rörelsemängden är produkten av massa och hastighet — en vektor i rörelsens riktning:

$\boxed{\vec{p}=m\vec{v}}$

1.2 Newtons 2:a lag i rörelsemängdsform

Newton formulerade ursprungligen sin andra lag som:

$\sum \vec{F}=\frac{d\vec{p}}{dt}$

“Kraft är ändringshastigheten av rörelsemängd.” För konstant massa ger detta $\sum \vec{F}=m\vec{a}$.

---

2. Impuls

2.1 Definition

Definition: Impuls

Impulsen $\vec{J}$ är den totala “knuffen” ett objekt får från en kraft under en tidsperiod:

$\vec{J}={\int }_{t_1}^{t_2}\sum \vec{F}dt=\Delta \vec{p}={\vec{p}}_2-{\vec{p}}_1$

Vid konstant kraft:

$\vec{J}=\vec{F}\cdot \Delta t$

Intuition: Varför airbags fungerar

Vid en krock måste rörelsemängden ändras från $mv$ till $0$ — impulsen $\Delta p$ är bestämd. Med en airbag tar det längre tid ($\Delta t$ ökar), vilket innebär att kraften $F=\Delta p/\Delta t$ minskar. Minskad kraft = minskad skada.

Stötkrafter kan försumma andra krafter

Under en stöt är kontaktkrafterna enorma och verkar under kort tid. Det innebär att tyngdkraft och friktion ofta kan försummas under själva stöten — rörelsemängden bevaras ändå approximativt.

---

3. Rörelsemängdens bevarande

3.1 Bevarandelagen

Rörelsemängdens bevarandes

Om nettot av yttre krafter på ett system är noll, är systemets totala rörelsemängd konstant:

$\sum {\vec{F}}_{ext}=0⟹{\vec{p}}_{tot}=\text{konstant}$

Det vill säga:

$m_A{\vec{v}}_{A1}+m_B{\vec{v}}_{B1}=m_A{\vec{v}}_{A2}+m_B{\vec{v}}_{B2}$

Exempel: Gevär och kula

Ett gevär med massan $m_g=3,00\text{kg}$ avlossar en kula med massan $m_k=5,00\text{g}=0,005\text{kg}$ och farten $v_{k2}=300\text{m/s}$.

Systemet (gevär + kula) är i vila vid $t=0$, så ${\vec{p}}_1=0$.

Rörelsemängden bevaras ($\sum F_{ext}\approx 0$ under skottet):

$0=m_g{v}_{g2}+m_k{v}_{k2}$

$v_{g2}=-\frac{m_k}{m_g}{v}_{k2}=-\frac{0,005}{3,00}\times 300=-0,5\text{m/s}$

Geväret rekylerar bakåt med $0,5\text{m/s}$.

---

4. Stötar

4.1 Fullständigt inelastisk stöt

Definition: Fullständigt inelastisk stöt

Kropparna fastnar i varandra efter stöten och rör sig med gemensam slutfart:

$m_A{\vec{v}}_{A1}+m_B{\vec{v}}_{B1}=(m_A+m_B){\vec{v}}_2$

Rörelsemängden bevaras, men kinetisk energi bevaras EJ — en del omvandlas till värme, ljud och deformation.

4.2 Elastisk stöt

Definition: Elastisk stöt

Stöt utan energiförlust — båda rörelsemängd och kinetisk energi bevaras:

${\vec{p}}_{A1}+{\vec{p}}_{B1}={\vec{p}}_{A2}+{\vec{p}}_{B2}$ $K_{A1}+K_{B1}=K_{A2}+K_{B2}$

Viktigt resultat: Vid elastisk stöt i 1D byter den relativa hastigheten tecken:

$v_{B2}-v_{A2}=-(v_{B1}-v_{A1})$

Specialfall — B i vila före stöt:

$\boxed{v_{A2}=\frac{m_A-m_B}{m_A+m_B}{v}_{A1},v_{B2}=\frac{2m_A}{m_A+m_B}{v}_{A1}}$

Massförhållande	Konsekvens
$m_A=m_B$	A stannar helt, B får all rörelse (biljard!)
$m_A\gg m_B$	A nästan opåverkad, B flyger iväg snabbt
$m_A\ll m_B$	A studsar tillbaka, B knappt påverkad

4.3 Stöttal — Verkliga stötar

$\boxed{e=\frac{\text{relativ hastighet efter sto¨t}}{\text{relativ hastighet fo¨re sto¨t}}}$

Stöttal $e$	Typ av stöt
$e=0$	Fullständigt inelastisk
$e=1$	Elastisk
$0<e<1$	Delvis elastisk (de flesta verkliga stötar)

Exempel: Biljard

I biljard är stötarna nästan perfekt elastiska ($e\approx 1$) och massorna är lika ($m_A=m_B$). Resultatet är att bollen som träffar stannar (nästan helt) och den träffade bollen tar all rörelse. Klassiskt resultat av elastisk stöt med lika massor!

---

Läsning

• Chapter 8 Momentum, Impulse, and Collisions

Se även

• Newtons lagar — kraftlagarna bakom impuls och bevarandet
• Arbete och energi — energi vid stötar

---

Resurser

Videor

• Khan Academy — Momentum — rörelsemängd, impuls och stötar

Wikipedia

• Momentum
• Elastic collision
• Inelastic collision

Fördjupning

• University Physics with Modern Physics (Freedman & Young) kap 8
• Fysika upplaga 5, kap 8

---

Föreläsningsanteckningar

Från föreläsning: 2025-11-18, F0004T Föreläsare: Erik Elfgren

2025-11-18 – MEK7

8.1 Rörelsemängd och impuls

$\vec{p}=m\vec{v}⟹p_x=m\cdot v_x,p_y=m\cdot v_y$

Allmän form av NII: $\sum \vec{F}=\frac{d\vec{p}}{dt}$

Om $m=$konst: $⟹\frac{dm}{dt}=0⟹\sum \vec{F}=m\cdot \vec{a}$

Impuls: $\vec{J}={\int }_{t_1}^{t_2}\sum \vec{F}dt={\vec{p}}_2-{\vec{p}}_1=\Delta \vec{p}$

Vid konstant nettokraft: $\vec{J}=F\cdot \Delta t$

En kraft som verkar under en viss tid ändrar rörelsemängden ($m\cdot v$).

Stötkrafter är enorma → man kan oftast försumma andra krafter under stöten.

8.2 Rörelsemängdens bevarande

$\sum {\vec{F}}_{ext}=0⟹\frac{d\vec{p}}{dt}=0⟹\vec{p}=\text{konstant}$

Exempel – Gevär: $m_g=3,00\text{kg}$, $m_k=5,00\text{g}$, $v_{k2}=300\text{m/s}$

Gevär rekylerar fritt ($\sum {\vec{F}}_{ext}=0$): $m_g{v}_{g2}+m_k{v}_{k2}=0⟹v_{g2}=-0,5\text{m/s}$

8.3 Fullständig inelastisk stöt

Kropparna fastnar vid stöten: $(m_A+m_B){\vec{v}}_2=m_A{\vec{v}}_{A1}+m_B{\vec{v}}_{B1}$

Obs: Kinetisk energi bevaras ej.

8.4 Elastisk stöt

Ingen energiförlust:

• $K_{A1}+K_{B1}=K_{A2}+K_{B2}$ (rörelsemängd)
• ${\vec{p}}_{A1}+{\vec{p}}_{B1}={\vec{p}}_{A2}+{\vec{p}}_{B2}$ (rörelsemängden)

Specialfall 1D: Den relativa hastigheten byter tecken: $v_{B2}-v_{A2}=-(v_{B1}-v_{A1})$

Specialfall – B i vila: $v_{A2}=\frac{m_A-m_B}{m_A+m_B}\cdot v_{A1},v_{B2}=\frac{2m_A}{m_A+m_B}\cdot v_{A1}$

Stöttal (verkliga stötar): $e=\frac{\text{relativ hastighet efter sto¨t}}{\text{relativ hastighet fo¨re sto¨t}}$

• $e=0⟹$ fullständigt inelastisk stöt
• $e=1⟹$ elastisk stöt
• $0\le e\le 1$ för verkliga stötar