--- kurs: - F0004T kapitel: "8.1–8.4" tags: - fysik - mekanik - dynamik - kollisioner förkunskaper: - "[[Newtons lagar]]" - "[[Arbete och energi]]" status: true aliases: - Rörelsemängd och impuls - Momentum - Stötar - Kollisioner - Impuls --- > **Kapitel:** 8.1–8.4 · **Kurs:** F0004T > **Förkunskaper:** [[Newtons lagar]], [[Arbete och energi]] --- ## 1. Rörelsemängd ### 1.1 Definition > [!abstract] Definition: Rörelsemängd > Rörelsemängden är produkten av massa och hastighet — en vektor i rörelsens riktning: > > $$\boxed{\vec{p} = m\vec{v}}$$ ### 1.2 Newtons 2:a lag i rörelsemängdsform Newton formulerade ursprungligen sin andra lag som: $$\sum \vec{F} = \frac{d\vec{p}}{dt}$$ "Kraft är ändringshastigheten av rörelsemängd." För konstant massa ger detta $\sum \vec{F} = m\vec{a}$. --- ## 2. Impuls ### 2.1 Definition > [!abstract] Definition: Impuls > Impulsen $\vec{J}$ är den totala "knuffen" ett objekt får från en kraft under en tidsperiod: > > $$\vec{J} = \int_{t_1}^{t_2} \sum\vec{F}\, dt = \Delta\vec{p} = \vec{p}_2 - \vec{p}_1$$ > > Vid konstant kraft: > > $$\vec{J} = \vec{F} \cdot \Delta t$$ > [!tip] Intuition: Varför airbags fungerar > > Vid en krock måste rörelsemängden ändras från $mv$ till $0$ — impulsen $\Delta p$ är bestämd. Med en airbag tar det *längre tid* ($\Delta t$ ökar), vilket innebär att kraften $F = \Delta p / \Delta t$ minskar. Minskad kraft = minskad skada. > [!warning] Stötkrafter kan försumma andra krafter > > Under en stöt är kontaktkrafterna enorma och verkar under kort tid. Det innebär att tyngdkraft och friktion ofta kan försummas under själva stöten — rörelsemängden bevaras ändå approximativt. --- ## 3. Rörelsemängdens bevarande ### 3.1 Bevarandelagen > [!theorem] Rörelsemängdens bevarandes > Om nettot av yttre krafter på ett system är noll, är systemets totala rörelsemängd konstant: > > $$\sum \vec{F}_{ext} = 0 \implies \vec{p}_{tot} = \text{konstant}$$ > > Det vill säga: > > $$m_A\vec{v}_{A1} + m_B\vec{v}_{B1} = m_A\vec{v}_{A2} + m_B\vec{v}_{B2}$$ > [!example]- Exempel: Gevär och kula > > Ett gevär med massan $m_g = 3{,}00\ \text{kg}$ avlossar en kula med massan $m_k = 5{,}00\ \text{g} = 0{,}005\ \text{kg}$ och farten $v_{k2} = 300\ \text{m/s}$. > > Systemet (gevär + kula) är i vila vid $t = 0$, så $\vec{p}_1 = 0$. > > Rörelsemängden bevaras ($\sum F_{ext} \approx 0$ under skottet): > > $$0 = m_g v_{g2} + m_k v_{k2}$$ > > $$v_{g2} = -\frac{m_k}{m_g} v_{k2} = -\frac{0{,}005}{3{,}00} \times 300 = -0{,}5\ \text{m/s}$$ > > Geväret rekylerar bakåt med $0{,}5\ \text{m/s}$. --- ## 4. Stötar ### 4.1 Fullständigt inelastisk stöt > [!abstract] Definition: Fullständigt inelastisk stöt > Kropparna *fastnar* i varandra efter stöten och rör sig med gemensam slutfart: > > $$m_A\vec{v}_{A1} + m_B\vec{v}_{B1} = (m_A + m_B)\vec{v}_2$$ > > **Rörelsemängden bevaras, men kinetisk energi bevaras EJ** — en del omvandlas till värme, ljud och deformation. ### 4.2 Elastisk stöt > [!abstract] Definition: Elastisk stöt > Stöt utan energiförlust — *båda* rörelsemängd och kinetisk energi bevaras: > > $$\vec{p}_{A1} + \vec{p}_{B1} = \vec{p}_{A2} + \vec{p}_{B2}$$ > $$K_{A1} + K_{B1} = K_{A2} + K_{B2}$$ **Viktigt resultat:** Vid elastisk stöt i 1D byter den relativa hastigheten tecken: $$v_{B2} - v_{A2} = -(v_{B1} - v_{A1})$$ **Specialfall — B i vila före stöt:** $$\boxed{v_{A2} = \frac{m_A - m_B}{m_A + m_B} v_{A1}, \qquad v_{B2} = \frac{2m_A}{m_A + m_B} v_{A1}}$$ | Massförhållande | Konsekvens | |---|---| | $m_A = m_B$ | A stannar helt, B får all rörelse (biljard!) | | $m_A \gg m_B$ | A nästan opåverkad, B flyger iväg snabbt | | $m_A \ll m_B$ | A studsar tillbaka, B knappt påverkad | ### 4.3 Stöttal — Verkliga stötar $$\boxed{e = \frac{\text{relativ hastighet efter stöt}}{\text{relativ hastighet före stöt}}}$$ | Stöttal $e$ | Typ av stöt | |---|---| | $e = 0$ | Fullständigt inelastisk | | $e = 1$ | Elastisk | | $0 < e < 1$ | Delvis elastisk (de flesta verkliga stötar) | > [!example]- Exempel: Biljard > > I biljard är stötarna nästan perfekt elastiska ($e \approx 1$) och massorna är lika ($m_A = m_B$). Resultatet är att bollen som träffar stannar (nästan helt) och den träffade bollen tar all rörelse. Klassiskt resultat av elastisk stöt med lika massor! --- ## Läsning - [[University Physics with Modern Physics in SI Units-1-550.pdf#page=265|Chapter 8 Momentum, Impulse, and Collisions]] ## Se även - [[Newtons lagar]] — kraftlagarna bakom impuls och bevarandet - [[Arbete och energi]] — energi vid stötar --- ## Resurser ### Videor - [Khan Academy — Momentum](https://www.khanacademy.org/science/physics/linear-momentum) — rörelsemängd, impuls och stötar ### Wikipedia - [Momentum](https://en.wikipedia.org/wiki/Momentum) - [Elastic collision](https://en.wikipedia.org/wiki/Elastic_collision) - [Inelastic collision](https://en.wikipedia.org/wiki/Inelastic_collision) ### Fördjupning - University Physics with Modern Physics (Freedman & Young) kap 8 - Fysika upplaga 5, kap 8 --- ## Föreläsningsanteckningar > Från föreläsning: 2025-11-18, F0004T > Föreläsare: Erik Elfgren ### 2025-11-18 – MEK7 #### 8.1 Rörelsemängd och impuls $$\vec{p}=m\vec{v} \implies p_x=m\cdot v_x, \quad p_y=m\cdot v_y$$ Allmän form av NII: $$\sum\vec{F}=\frac{d\vec{p}}{dt}$$ Om $m=$konst: $\implies \frac{dm}{dt}=0 \implies \sum\vec{F}=m\cdot\vec{a}$ **Impuls:** $$\vec{J}=\int_{t_1}^{t_2}\sum\vec{F}\, dt = \vec{p}_2-\vec{p}_1 = \Delta\vec{p}$$ Vid konstant nettokraft: $\vec{J}=F\cdot\Delta t$ *En kraft som verkar under en viss tid ändrar rörelsemängden ($m\cdot v$).* Stötkrafter är enorma → man kan oftast försumma andra krafter under stöten. #### 8.2 Rörelsemängdens bevarande $$\sum\vec{F}_{ext}=0 \implies \frac{d\vec{p}}{dt}=0 \implies \vec{p}=\text{konstant}$$ **Exempel – Gevär:** $m_g=3{,}00\ \text{kg}$, $m_k=5{,}00\ \text{g}$, $v_{k2}=300\ \text{m/s}$ Gevär rekylerar fritt ($\sum\vec{F}_{ext}=0$): $$m_g v_{g2}+m_k v_{k2}=0 \implies v_{g2}=-0{,}5\ \text{m/s}$$ #### 8.3 Fullständig inelastisk stöt Kropparna fastnar vid stöten: $$(m_A+m_B)\vec{v}_2 = m_A\vec{v}_{A1}+m_B\vec{v}_{B1}$$ *Obs: Kinetisk energi bevaras ej.* #### 8.4 Elastisk stöt Ingen energiförlust: - $K_{A1}+K_{B1}=K_{A2}+K_{B2}$ (rörelsemängd) - $\vec{p}_{A1}+\vec{p}_{B1}=\vec{p}_{A2}+\vec{p}_{B2}$ (rörelsemängden) Specialfall 1D: Den relativa hastigheten byter tecken: $$v_{B2}-v_{A2}=-(v_{B1}-v_{A1})$$ Specialfall – B i vila: $$v_{A2}=\frac{m_A-m_B}{m_A+m_B}\cdot v_{A1}, \quad v_{B2}=\frac{2m_A}{m_A+m_B}\cdot v_{A1}$$ **Stöttal (verkliga stötar):** $$e=\frac{\text{relativ hastighet efter stöt}}{\text{relativ hastighet före stöt}}$$ - $e=0 \implies$ fullständigt inelastisk stöt - $e=1 \implies$ elastisk stöt - $0 \leq e \leq 1$ för verkliga stötar