Kraftmoment och jämvikt

Kapitel: 11.1–11.3 · Kurs: F0004T Förkunskaper: Newtons lagar, Friktion

---

1. Kraftmoment

1.1 Definition

Definition: Kraftmoment

Kraftmomentet $M_A$ av en kraft $F$ kring en rotationspunkt $A$ mäter kraftens förmåga att orsaka rotation:

$\boxed{M_A=F\times l_{\perp }}$

där $l_{\perp }$ är momentarmen — det vinkelräta avståndet från rotationspunkten till kraftens verkningslinje.

1.2 Två beräkningsmetoder

Metod 1 — Tangentiell kraftkomponent:

Dela upp kraften i en komponent längs radien och en vinkelrätt (tangentiell). Bara den tangentiella komponenten bidrar till rotation:

$M=F_t\times r=F\cos \alpha \times r$

Metod 2 — Momentarm:

Förläng kraftens verkningslinje. Mät det vinkelräta avståndet från rotationspunkten till denna linje:

$M=F\times d_{\perp }$

Metoderna är ekvivalenta — välj den som är enklast för det specifika problemet.

1.3 Tecken för kraftmoment

Välj en positiv rotationsriktning (konventionellt: moturs är positivt). Moment som ger rotation i den positiva riktningen är positiva, övriga negativa.

---

2. Jämviktsvillkor för stelkroppar

2.1 De tre villkoren

Jämviktsvillkor

För att en stelkropp ska vara i fullständig jämvikt (varken linjär- eller rotationsacceleration) måste tre villkor vara uppfyllda:

$\sum F_x=0,\sum F_y=0,\sum M_A=0$

Momentekvationen $\sum M_A=0$ kan skrivas kring valfri punkt — smart val förenklar beräkningarna.

Val av momentpunkt

Välj momentpunkten där det finns många okända krafter som angriper — de ger då inga bidrag till momentekvationen och faller bort ur ekvationen.

---

3. Speciella begrepp

3.1 Kraftpar

Definition: Kraftpar

Ett kraftpar är två lika stora, motriktade krafter med olika verkningslinjer. Nettokraften är noll, men kraftparet ger ett nettomoment oberoende av vald momentpunkt.

Betecknas $\curvearrowright$ (eller $M$ om momentets storlek anges).

Exempel: Vrida en ratt, skruva loss ett lock.

3.2 Tvåkraftsdel

Definition: Tvåkraftsdel

Om exakt två krafter verkar på en kropp i jämvikt, måste krafterna:

• Vara lika stora och motriktade.
• Ha en gemensam verkningslinje (annars uppstår ett nettomoment).

Tvåkraftsdelar är användbara för att snabbt bestämma krafters riktning i konstruktioner.

---

4. Problemlösningsmetodik för statik

1. Gör en skiss med mått och ange alla kända storheter.
2. Identifiera vad som söks.
3. Bestäm om hela systemet eller ett delsystem ska friläggas (om inre krafter söks, måste systemet delas).
4. Frilägga:
   • Rita enbart externa krafter på den valda delen.
   • Lägg in koordinatsystem.
5. Välj momentpunkt — välj en punkt där okända krafter angriper.
6. Ställ upp jämviktsekvationer: $\sum F_x=0$, $\sum F_y=0$, $\sum M_A=0$.
7. Lös ekvationssystemet.
8. Utvärdera: Är enheterna korrekta? Är svaret rimligt i storlek och tecken?

Exempel: Balk på stöd

En horisontell balk med längden $L=4,0\text{m}$ och vikt $G=200\text{N}$ är upplagd på stöd vid ena änden (A) och på ett stöd vid $x=3,0\text{m}$ (B).

Välj momentpunkt vid A ($\sum M_A=0$):

$N_B\times 3,0-G\times 2,0=0$

$N_B=\frac{200\times 2,0}{3,0}=133\text{N}$

Från $\sum F_y=0$:

$N_A+N_B=G⟹N_A=200-133=67\text{N}$

Vanligt misstag: Fel verkningslinje

Det är kraftens verkningslinje som avgör momentarmen — inte var kraften angriper. Förläng alltid kraftpilen till en linje och mät det vinkelräta avståndet från rotationspunkten till den linjen.

---

Läsning

• 10.1 Torque
• Chapter 11 Equilibrium and Elasticity

Se även

• Newtons lagar — friläggning och kraftekvationer
• Friktion — friktionens roll i statikproblem
• Rotation — rotationsdynamik när systemet inte är i jämvikt

---

Resurser

Wikipedia

• Torque
• Static equilibrium

Fördjupning

• University Physics with Modern Physics (Freedman & Young) kap 11
• Fysika upplaga 5, kap 11
• Kompendium i Komplettering till Fysik 1: K3.1–K3.3 (kraftpar, tvåkraftsdel, delsystem)

---

Föreläsningsanteckningar

Från föreläsning: 2025-11-24 och 2025-11-25, F0004T Föreläsare: Erik Elfgren

2025-11-24 – MEK8: Kraftmoment och statik

Kraftmoment

$M_A=F\times l$

Metod 1 – Tangentiell komponent: $F_t=F\cos \alpha ⟹M_A=F_t\times r=F\cos \alpha \times r$

Metod 2 – Det vinkelräta avståndet till kraftens verkningslinje: $M_A=F\times d_{\perp }$

11.3 Problemlösning statik (statik = jämvikt)

1. Gör en skiss av problemet och sätt ut mått
2. Vad efterfrågas?
3. Kan man frilägga problemet i sin helhet? Eller måste man dela upp i separata friläggningar?
   • Om något inne i systemet söks: Frilägga delen
     • a) Rita bara externa krafter på delen; tänk på kontaktytor mot omgivning; sätt ut koordinatsystem
     • b) Beräkna komponenter (vid behov)
     • c) Bestäm momentpunkt (välj ofta en punkt med okända/ointressanta krafter)
     • d) Ställ upp och räkna jämvikt: $\sum F_x=0,\sum F_y=0,\sum M_A=0$
     • e) Utvärdera svaret: värdesiffror, enhet, rimlighet

---

2025-11-25 – MEK9: Kraftpar, tvåkraftsdel, delsystem (Kompendium K3)

K3.1 Kraftpar

Två lika stora och motriktade krafter som ej har samma verkningslinje. Den resulterande kraften är noll, men kraftparet ger ett resulterande moment oberoende av momentpunktens placering. Betecknas $\curvearrowright$.

Exempel 3.1 – Hjul mot golv med statisk friktionskoefficient ${\mu }_s=0,40$, massa $m=25\text{kg}$:

Friläggning ger: $\sum {\tau }_B=0\Rightarrow \tau -mgr+Nr-fr=0(1)$ $f={\mu }_{s}N(2)$

Med $N=\frac{mg}{1+{\mu }_s\tan \theta }$ och numeriska värden: $\tau \approx 19,81\text{Ncdotpm}\approx 20\text{Ncdotpm}$

K3.2 Tvåkraftsdel

Om exakt två krafter verkar på en kropp i jämvikt:

• Krafterna är lika stora men motriktade
• Krafterna har en gemensam verkningslinje

K3.3 Uppdelning i delsystem

Tekniska konstruktioner består ofta av flera delar som måste friläggas separat.

Exempel 3.3 – Ram med belastning $600\text{N}$, beräkning av krafter i leder:

Frilägg hela ramen ($\sum {\tau }_A=0$): $F_E\cdot 0,6-600\cdot 0,4=0⟹F_E=900\text{N}$

Frilägg del CD ($\sum {\tau }_D=0$): $C_x\cdot 0,2-600\cdot 0,4=0⟹C_x=1200\text{N}$

Frilägg del ABC och beräkna: $C_y=1800\text{N}$

Total kraft i led C: $F_C=\sqrt{1200^2+1800^2}=2160\text{N}\approx 2,2\text{kN}$