---
kurs:
  - F0004T
kapitel: "11.1–11.3"
tags:
  - fysik
  - mekanik
  - statik
  - rotation
förkunskaper:
  - "[[Newtons lagar]]"
  - "[[Friktion]]"
status: true
aliases:
  - Kraftmoment och statik
  - Vridmoment
  - Moment
  - Statik
  - Jämvikt för stelkroppar
---

> **Kapitel:** 11.1–11.3 · **Kurs:** F0004T
> **Förkunskaper:** [[Newtons lagar]], [[Friktion]]

---

## 1. Kraftmoment

### 1.1 Definition

> [!abstract] Definition: Kraftmoment
> Kraftmomentet $M_A$ av en kraft $F$ kring en rotationspunkt $A$ mäter kraftens förmåga att orsaka rotation:
>
> $$\boxed{M_A = F \times l_\perp}$$
>
> där $l_\perp$ är *momentarmen* — det vinkelräta avståndet från rotationspunkten till kraftens *verkningslinje*.

### 1.2 Två beräkningsmetoder

**Metod 1 — Tangentiell kraftkomponent:**

Dela upp kraften i en komponent längs radien och en vinkelrätt (tangentiell). Bara den tangentiella komponenten bidrar till rotation:

$$M = F_t \times r = F\cos\alpha \times r$$

**Metod 2 — Momentarm:**

Förläng kraftens verkningslinje. Mät det vinkelräta avståndet från rotationspunkten till denna linje:

$$M = F \times d_\perp$$

Metoderna är ekvivalenta — välj den som är enklast för det specifika problemet.

### 1.3 Tecken för kraftmoment

Välj en positiv rotationsriktning (konventionellt: moturs är positivt). Moment som ger rotation i den positiva riktningen är positiva, övriga negativa.

---

## 2. Jämviktsvillkor för stelkroppar

### 2.1 De tre villkoren

> [!theorem] Jämviktsvillkor
> För att en stelkropp ska vara i fullständig jämvikt (varken linjär- eller rotationsacceleration) måste tre villkor vara uppfyllda:
>
> $$\sum F_x = 0, \qquad \sum F_y = 0, \qquad \sum M_A = 0$$

Momentekvationen $\sum M_A = 0$ kan skrivas kring *valfri* punkt — smart val förenklar beräkningarna.

> [!tip] Val av momentpunkt
>
> Välj momentpunkten där det finns många *okända* krafter som angriper — de ger då inga bidrag till momentekvationen och faller bort ur ekvationen.

---

## 3. Speciella begrepp

### 3.1 Kraftpar

> [!abstract] Definition: Kraftpar
> Ett kraftpar är två lika stora, motriktade krafter med *olika* verkningslinjer. Nettokraften är noll, men kraftparet ger ett nettomoment oberoende av vald momentpunkt.

Betecknas $\curvearrowright$ (eller $M$ om momentets storlek anges).

Exempel: Vrida en ratt, skruva loss ett lock.

### 3.2 Tvåkraftsdel

> [!abstract] Definition: Tvåkraftsdel
> Om exakt två krafter verkar på en kropp i jämvikt, måste krafterna:
>
> - Vara lika stora och motriktade.
> - Ha en gemensam verkningslinje (annars uppstår ett nettomoment).

Tvåkraftsdelar är användbara för att snabbt bestämma krafters riktning i konstruktioner.

---

## 4. Problemlösningsmetodik för statik

1. **Gör en skiss** med mått och ange alla kända storheter.
2. **Identifiera** vad som söks.
3. **Bestäm** om hela systemet eller ett delsystem ska friläggas (om inre krafter söks, måste systemet delas).
4. **Frilägga:**
   - Rita *enbart* externa krafter på den valda delen.
   - Lägg in koordinatsystem.
5. **Välj momentpunkt** — välj en punkt där okända krafter angriper.
6. **Ställ upp jämviktsekvationer:** $\sum F_x = 0$, $\sum F_y = 0$, $\sum M_A = 0$.
7. **Lös** ekvationssystemet.
8. **Utvärdera:** Är enheterna korrekta? Är svaret rimligt i storlek och tecken?

> [!example]- Exempel: Balk på stöd
>
> En horisontell balk med längden $L = 4{,}0\ \text{m}$ och vikt $G = 200\ \text{N}$ är upplagd på stöd vid ena änden (A) och på ett stöd vid $x = 3{,}0\ \text{m}$ (B).
>
> Välj momentpunkt vid A ($\sum M_A = 0$):
>
> $$N_B \times 3{,}0 - G \times 2{,}0 = 0$$
>
> $$N_B = \frac{200 \times 2{,}0}{3{,}0} = 133\ \text{N}$$
>
> Från $\sum F_y = 0$:
>
> $$N_A + N_B = G \implies N_A = 200 - 133 = 67\ \text{N}$$

> [!warning] Vanligt misstag: Fel verkningslinje
>
> Det är kraftens *verkningslinje* som avgör momentarmen — inte var kraften angriper. Förläng alltid kraftpilen till en linje och mät det vinkelräta avståndet från rotationspunkten till den linjen.

---

## Läsning

- [[University Physics with Modern Physics in SI Units-1-550.pdf#page=332|10.1 Torque]]
- [[University Physics with Modern Physics in SI Units-1-550.pdf#page=367|Chapter 11 Equilibrium and Elasticity]]

## Se även

- [[Newtons lagar]] — friläggning och kraftekvationer
- [[Friktion]] — friktionens roll i statikproblem
- [[Rotation]] — rotationsdynamik när systemet inte är i jämvikt

---

## Resurser

### Wikipedia
- [Torque](https://en.wikipedia.org/wiki/Torque)
- [Static equilibrium](https://en.wikipedia.org/wiki/Mechanical_equilibrium)

### Fördjupning
- University Physics with Modern Physics (Freedman & Young) kap 11
- Fysika upplaga 5, kap 11
- Kompendium i Komplettering till Fysik 1: K3.1–K3.3 (kraftpar, tvåkraftsdel, delsystem)

---

## Föreläsningsanteckningar

> Från föreläsning: 2025-11-24 och 2025-11-25, F0004T
> Föreläsare: Erik Elfgren

### 2025-11-24 – MEK8: Kraftmoment och statik

#### Kraftmoment

$$M_A = F \times l$$

**Metod 1 – Tangentiell komponent:**
$$F_t = F\cos\alpha \implies M_A = F_t \times r = F\cos\alpha \times r$$

**Metod 2 – Det vinkelräta avståndet till kraftens verkningslinje:**
$$M_A = F \times d_\perp$$

#### 11.3 Problemlösning statik (statik = jämvikt)

1. Gör en skiss av problemet och sätt ut mått
2. Vad efterfrågas?
3. Kan man frilägga problemet i sin helhet? Eller måste man dela upp i separata friläggningar?
   - Om något inne i systemet söks: Frilägga delen
     - a) Rita bara externa krafter på delen; tänk på kontaktytor mot omgivning; sätt ut koordinatsystem
     - b) Beräkna komponenter (vid behov)
     - c) Bestäm momentpunkt (välj ofta en punkt med okända/ointressanta krafter)
     - d) Ställ upp och räkna jämvikt:
       $$\sum F_x=0, \quad \sum F_y=0, \quad \sum M_A=0$$
     - e) Utvärdera svaret: värdesiffror, enhet, rimlighet

---

### 2025-11-25 – MEK9: Kraftpar, tvåkraftsdel, delsystem (Kompendium K3)

#### K3.1 Kraftpar

Två lika stora och motriktade krafter som **ej** har samma verkningslinje. Den resulterande kraften är noll, men kraftparet ger ett resulterande moment oberoende av momentpunktens placering. Betecknas $\curvearrowright$.

**Exempel 3.1** – Hjul mot golv med statisk friktionskoefficient $\mu_s = 0{,}40$, massa $m = 25\ \text{kg}$:

Friläggning ger:
$$\sum\tau_B=0 \Rightarrow \tau - mgr + Nr - fr = 0 \quad (1)$$
$$f = \mu_s N \quad (2)$$

Med $N = \frac{mg}{1+\mu_s\tan\theta}$ och numeriska värden:
$$\tau \approx 19{,}81\ \text{N·m} \approx 20\ \text{N·m}$$

#### K3.2 Tvåkraftsdel

Om exakt två krafter verkar på en kropp i jämvikt:
- Krafterna är lika stora men motriktade
- Krafterna har en gemensam verkningslinje

#### K3.3 Uppdelning i delsystem

Tekniska konstruktioner består ofta av flera delar som måste friläggas separat.

**Exempel 3.3** – Ram med belastning $600\ \text{N}$, beräkning av krafter i leder:

Frilägg hela ramen ($\sum\tau_A=0$):
$$F_E \cdot 0{,}6 - 600 \cdot 0{,}4 = 0 \implies F_E = 900\ \text{N}$$

Frilägg del CD ($\sum\tau_D=0$):
$$C_x \cdot 0{,}2 - 600 \cdot 0{,}4 = 0 \implies C_x = 1200\ \text{N}$$

Frilägg del ABC och beräkna:
$$C_y = 1800\ \text{N}$$

Total kraft i led C:
$$F_C = \sqrt{1200^2 + 1800^2} = 2160\ \text{N} \approx 2{,}2\ \text{kN}$$