Termodynamikens andra huvudsats

Kapitel: 20.1–20.7 · Kurs: F0004T Förkunskaper: Termodynamikens första lag, Termodynamiska processer

---

1. Andra huvudsatsen

1.1 Tre ekvivalenta formuleringar

Andra huvudsatsen (2:a HS)

Clausius formulering: Värme kan inte spontant flöda från ett kallare till ett varmare föremål.

Kelvin-Planck formulering: Det är omöjligt att bygga en maskin som enbart omvandlar värme till arbete utan att avge värme till en kall reservoar.

Entropiformulering: Entropin i ett isolerat system kan aldrig minska:

$\Delta S_{tot}\ge 0$

Alla tre formuleringar är ekvivalenta — de säger samma sak med olika ord.

1.2 Reversibla och irreversibla processer

• Reversibel process: Sker oändligt långsamt och nära jämvikt — kan återgå utan nettoförlust. Idealisering.
• Irreversibel process: Alla verkliga processer. Entropin ökar alltid.

Exempel på irreversibla processer: Friktion, blandning av vätskor, värmeöverföring över temperaturdifferens, fri expansion.

---

2. Värmemaskiner

2.1 Grundprincip

En värmemaskin tar in värme $Q_H$ från en varm källa (temperatur $T_H$), omvandlar en del till arbete $W$, och avger resten $|Q_L|$ till en kall sänka (temperatur $T_L$).

Cyklisk process ($\Delta U_{cykel}=0$, maskinen återkommer till samma tillstånd):

$Q_{tot}=W_{tot}⟹Q_H+Q_L=W$

(Notera: $Q_L<0$ — värme lämnar systemet.)

2.2 Verkningsgrad

Definition: Verkningsgrad

Hur stor del av den tillförda värmen som omvandlas till nyttigt arbete:

$\boxed{e=\frac{W}{Q_H}=1-\left|\frac{Q_L}{Q_H}\right|}$

Alltid: $e<1$. En del värme måste alltid dumpas till den kalla sänkan.

---

3. Carnot-cykeln

3.1 Den idealt effektiva värmemaskinen

Carnot-cykeln

Carnot-cykeln är den maximalt effektiva cykeln för en värmemaskin som arbetar mellan två temperaturer $T_H$ och $T_L$. Den består av fyra steg:

Steg	Process	Vad händer
$a\to b$	Isoterm expansion vid $T_H$	Tar upp värme $Q_H$
$b\to c$	Adiabatisk expansion	Kyls från $T_H$ till $T_L$
$c\to d$	Isoterm kompression vid $T_L$	Avger värme $
$d\to a$	Adiabatisk kompression	Värms från $T_L$ till $T_H$

Carnotverkningsgrad:

$\boxed{e_{Carnot}=1-\frac{T_L}{T_H}}$

Temperaturer i Kelvin!

Insikt: Maximera verkningsgraden

$e_{Carnot}$ ökar med högre $T_H$ och lägre $T_L$. Det är därför kraftverk strävar efter höga ångtemperaturer och kalla kylvattentemperaturer.

Exempel: Carnot-verkningsgrad

En Carnot-maskin arbetar mellan $T_H=500\text{K}$ och $T_L=300\text{K}$.

$e_{Carnot}=1-\frac{300}{500}=1-0,60=0,40=40\%$

Ingen verklig maskin kan överstiga 40 % verkningsgrad mellan dessa temperaturer.

---

4. Förbränningsmotorer

4.1 Otto-cykeln (bensinmotor)

Steg	Process	Vad händer
$a\to b$	Adiabatisk kompression	Kolven pressar ihop gasen
$b\to c$	Isokor värmetillförsel	”Förbränning” — snabb värmetillförsel
$c\to d$	Adiabatisk expansion	Gasen driver kolven — arbete
$d\to a$	Isokor värmebortförsel	”Avgaser” — snabb kylning

Verkningsgrad:

$e_{Otto}=1-r^{1-\gamma }$

där $r=V_{max}/V_{min}$ är kompressionsförhållandet.

Typiskt: $r=8$, $\gamma =1,4$ → $e_{teor}=56\%$, $e_{verkl}\approx 35\%$.

4.2 Diesel-cykeln

Liknande Otto, men förbränningen sker vid konstant tryck (isobar). Högt kompressionsförhållande ($r=15$–$20$) ger $e_{teor}\approx 65\%$, $e_{verkl}\approx 40\%$.

---

5. Kylmaskiner

5.1 Grundprincip

En kylmaskin (kylskåp, luftkonditionering, värmepump) använder arbete för att flytta värme uppförsbacke — från ett kallare till ett varmare ställe.

5.2 Köldfaktor (COP)

Definition: Köldfaktor

Hur mycket värme som bortförs från det kalla stället per enhet tillförd arbete:

$K=COP=\frac{|Q_L|}{W}=\frac{|Q_L|}{|Q_H|-|Q_L|}$

$K$ kan vara större än 1! Typiska kylskåp: $K\approx 3$–$4$.

Carnotkylarens köldfaktor:

$K_{Carnot}=\frac{T_L}{T_H-T_L}$

---

6. Entropi

6.1 Definition

Definition: Entropi

Entropi $S$ är ett mått på “oordning” eller “antal möjliga mikroskopiska tillstånd” i ett system.

För reversibla processer:

$dS=\frac{dQ}{T}⟹\Delta S=\int \frac{dQ}{T}$

Vid isoterm process:

$\Delta S=\frac{Q}{T}$

Vid uppvärmning från $T_1$ till $T_2$:

$\Delta S=mc\ln \frac{T_2}{T_1}$

6.2 Entropi som tillståndsfunktion

Entropi $S$ beror bara på systemets aktuella tillstånd — inte på processen som ledde dit. Den är en tillståndsfunktion, precis som inre energi $U$.

6.3 Andra huvudsatsen i entropiform

$\boxed{\Delta S_{tot}\ge 0}$

Likhetstecken gäller enbart för reversibla processer. Alla verkliga (irreversibla) processer ökar entropin.

6.4 Carnot-cykelns entropi

Under en komplett Carnotcykel:

$\Delta S_{tot}=\frac{Q_H}{T_H}+\frac{Q_L}{T_L}=0$

Det bekräftar att Carnotprocessen är reversibel — entropin förändras inte totalt.

Exempel: Entropiändring vid uppvärmning (Ex 20.6)

$m=1,00\text{kg}$ vatten värms från $T_1=273,15\text{K}$ till $T_2=373,15\text{K}$.

$c_p=4190\text{J/(kgcdotpK)}$

$\Delta S={\int }_{T_1}^{T_2}\frac{mcdT}{T}=mc\ln \frac{T_2}{T_1}=1,00\times 4190\times \ln \frac{373,15}{273,15}\approx 1,31\frac{\text{kJ}}{\text{K}}$

Intuition: Varför händer inte allt baklänges?

Entropi är ett mått på antalet möjliga mikrotillstånd. En gas utspridd i ett rum har astronomiskt fler möjliga tillstånd än samma gas komprimerad i ett hörn. Det är inte omöjligt att gasen spontant comprimeras — det är bara orimligt osannolikt.

---

Läsning

• Chapter 20 The Second Law of Thermodynamics

Se även

• Termodynamiska processer — pV-diagram och procesberäkningar
• Termodynamikens första lag — energibevarandet
• Ideala gaser — ideala gaslagen och $\gamma$

---

Resurser

Wikipedia

• Second law of thermodynamics
• Entropy
• Carnot cycle
• Otto cycle

Fördjupning

• University Physics with Modern Physics (Freedman & Young) kap 20
• Fysika upplaga 5, kap 20 (Fa5: formelblad)

---

Föreläsningsanteckningar

Från föreläsning: 2025-12-15, F0004T Föreläsare: Erik Elfgren

2025-12-15 – TERMO8

20.4 Kylmaskiner

En kylmaskin pumpar värme från $T_L$ till $T_H$ med hjälp av arbete $W$.

1:a HS: $Q_{tot}=W_{tot}=Q_H+Q_L$ (med $Q_H<0$, $Q_L<0$)

Köldfaktor (Coefficient of Performance): $K=COP=\frac{|Q_L|}{W}=\frac{|Q_L|}{|Q_H|-|Q_L|}$

Carnots kylmaskin: Från $\frac{Q_L}{Q_H}=-\frac{T_L}{T_H}$ (Carnotvillkor): $K_{Carnot}=\frac{T_L}{T_H-T_L}$

20.5 Andra huvudsatsen

Ren värmeöverföring från ett kallare till ett varmare system är omöjligt. $\iff \text{Entropin o¨kar alltid fo¨r ett slutet system.}⟹\Delta S\ge 0$

20.7 Entropi

Entropi $S\approx$ oordning. Tillförd värme ökar oordning (molekylernas slumpmässiga rörelser ökar).

$[S]=\frac{\text{J}}{\text{K}}$

Reversibla processer: $dS=\frac{dQ}{T}⟹\Delta S=\int \frac{dQ}{T}$

Isoterm process: $\Delta S=\frac{Q}{T}$

Entropin beror bara på systemets tillstånd (som inre energi) – inte på processen.

Exempel 20.6 – Vatten värms från $273,15\text{K}$ till $373,15\text{K}$ ($m=1,00\text{kg}$, $c_p=4190\text{J/(kgcdotpK)}$): $\Delta S_{12}={\int }_{T_1}^{T_2}\frac{mcdT}{T}=mc\ln \frac{T_2}{T_1}=1,31\frac{\text{kJ}}{\text{K}}$

Exempel 20.9 – Entropi i Carnot-cykeln ($Q_H=2,00\text{kJ}$, $T_H=500\text{K}$, $T_L=350\text{K}$):

$\Delta S_{tot}=\Delta S_{ab}+\Delta S_{bc}+\Delta S_{cd}+\Delta S_{da}$

• Isoterma steg: $\Delta S_{ab}=\frac{Q_H}{T_H}$, $\Delta S_{cd}=\frac{Q_L}{T_L}$
• Adiabatiska steg: $\Delta S_{bc}=\Delta S_{da}=0$

Carnotvillkor $\frac{Q_H}{T_H}=-\frac{Q_L}{T_L}$ ger: $\Delta S_{tot}=0\frac{\text{J}}{\text{K}}$

Carnot-cykeln är reversibel – entropin förändras ej totalt.