--- kurs: - F0004T kapitel: "20.1–20.7" tags: - fysik - termodynamik - entropi - värmemaskiner förkunskaper: - "[[Termodynamikens första lag]]" - "[[Termodynamiska processer]]" status: true aliases: - Termodynamikens andra lag - Andra huvudsatsen - Entropi - Carnot - Värmemaskiner - Kylmaskiner - Verkningsgrad --- > **Kapitel:** 20.1–20.7 · **Kurs:** F0004T > **Förkunskaper:** [[Termodynamikens första lag]], [[Termodynamiska processer]] --- ## 1. Andra huvudsatsen ### 1.1 Tre ekvivalenta formuleringar > [!theorem] Andra huvudsatsen (2:a HS) > > **Clausius formulering:** > Värme kan *inte* spontant flöda från ett kallare till ett varmare föremål. > > **Kelvin-Planck formulering:** > Det är omöjligt att bygga en maskin som enbart omvandlar värme till arbete utan att avge värme till en kall reservoar. > > **Entropiformulering:** > Entropin i ett isolerat system kan aldrig minska: > > $$\Delta S_{tot} \geq 0$$ Alla tre formuleringar är ekvivalenta — de säger samma sak med olika ord. ### 1.2 Reversibla och irreversibla processer - **Reversibel process:** Sker oändligt långsamt och nära jämvikt — kan återgå utan nettoförlust. Idealisering. - **Irreversibel process:** Alla verkliga processer. Entropin ökar alltid. **Exempel på irreversibla processer:** Friktion, blandning av vätskor, värmeöverföring över temperaturdifferens, fri expansion. --- ## 2. Värmemaskiner ### 2.1 Grundprincip En värmemaskin tar in värme $Q_H$ från en *varm källa* (temperatur $T_H$), omvandlar en del till arbete $W$, och avger resten $|Q_L|$ till en *kall sänka* (temperatur $T_L$). Cyklisk process ($\Delta U_{cykel} = 0$, maskinen återkommer till samma tillstånd): $$Q_{tot} = W_{tot} \implies Q_H + Q_L = W$$ (Notera: $Q_L < 0$ — värme lämnar systemet.) ### 2.2 Verkningsgrad > [!abstract] Definition: Verkningsgrad > Hur stor del av den tillförda värmen som omvandlas till nyttigt arbete: > > $$\boxed{e = \frac{W}{Q_H} = 1 - \left|\frac{Q_L}{Q_H}\right|}$$ > > Alltid: $e < 1$. En del värme måste alltid dumpas till den kalla sänkan. --- ## 3. Carnot-cykeln ### 3.1 Den idealt effektiva värmemaskinen > [!theorem] Carnot-cykeln > Carnot-cykeln är den maximalt effektiva cykeln för en värmemaskin som arbetar mellan två temperaturer $T_H$ och $T_L$. Den består av fyra steg: > > | Steg | Process | Vad händer | > |---|---|---| > | $a \to b$ | Isoterm expansion vid $T_H$ | Tar upp värme $Q_H$ | > | $b \to c$ | Adiabatisk expansion | Kyls från $T_H$ till $T_L$ | > | $c \to d$ | Isoterm kompression vid $T_L$ | Avger värme $|Q_L|$ | > | $d \to a$ | Adiabatisk kompression | Värms från $T_L$ till $T_H$ | > > **Carnotverkningsgrad:** > > $$\boxed{e_{Carnot} = 1 - \frac{T_L}{T_H}}$$ > > **Temperaturer i Kelvin!** > [!tip] Insikt: Maximera verkningsgraden > > $e_{Carnot}$ ökar med högre $T_H$ och lägre $T_L$. Det är därför kraftverk strävar efter höga ångtemperaturer och kalla kylvattentemperaturer. > [!example]- Exempel: Carnot-verkningsgrad > > En Carnot-maskin arbetar mellan $T_H = 500\ \text{K}$ och $T_L = 300\ \text{K}$. > > $$e_{Carnot} = 1 - \frac{300}{500} = 1 - 0{,}60 = 0{,}40 = 40\%$$ > > Ingen verklig maskin kan överstiga 40 % verkningsgrad mellan dessa temperaturer. --- ## 4. Förbränningsmotorer ### 4.1 Otto-cykeln (bensinmotor) | Steg | Process | Vad händer | |---|---|---| | $a \to b$ | Adiabatisk kompression | Kolven pressar ihop gasen | | $b \to c$ | Isokor värmetillförsel | "Förbränning" — snabb värmetillförsel | | $c \to d$ | Adiabatisk expansion | Gasen driver kolven — *arbete* | | $d \to a$ | Isokor värmebortförsel | "Avgaser" — snabb kylning | **Verkningsgrad:** $$e_{Otto} = 1 - r^{1-\gamma}$$ där $r = V_{max}/V_{min}$ är kompressionsförhållandet. Typiskt: $r = 8$, $\gamma = 1{,}4$ → $e_{teor} = 56\%$, $e_{verkl} \approx 35\%$. ### 4.2 Diesel-cykeln Liknande Otto, men förbränningen sker vid konstant tryck (isobar). Högt kompressionsförhållande ($r = 15$–$20$) ger $e_{teor} \approx 65\%$, $e_{verkl} \approx 40\%$. --- ## 5. Kylmaskiner ### 5.1 Grundprincip En kylmaskin (kylskåp, luftkonditionering, värmepump) använder arbete för att *flytta värme uppförsbacke* — från ett kallare till ett varmare ställe. ### 5.2 Köldfaktor (COP) > [!abstract] Definition: Köldfaktor > Hur mycket värme som bortförs från det kalla stället per enhet tillförd arbete: > > $$K = COP = \frac{|Q_L|}{W} = \frac{|Q_L|}{|Q_H| - |Q_L|}$$ > > $K$ kan vara *större* än 1! Typiska kylskåp: $K \approx 3$–$4$. > > **Carnotkylarens köldfaktor:** > > $$K_{Carnot} = \frac{T_L}{T_H - T_L}$$ --- ## 6. Entropi ### 6.1 Definition > [!abstract] Definition: Entropi > Entropi $S$ är ett mått på "oordning" eller "antal möjliga mikroskopiska tillstånd" i ett system. > > För reversibla processer: > > $$dS = \frac{dQ}{T} \implies \Delta S = \int \frac{dQ}{T}$$ > > Vid [[Kretsprocesser och värmemaskiner|isoterm process]]: > > $$\Delta S = \frac{Q}{T}$$ > > Vid uppvärmning från $T_1$ till $T_2$: > > $$\Delta S = mc\ln\frac{T_2}{T_1}$$ ### 6.2 Entropi som tillståndsfunktion Entropi $S$ beror bara på systemets aktuella tillstånd — inte på processen som ledde dit. Den är en *tillståndsfunktion*, precis som inre energi $U$. ### 6.3 Andra huvudsatsen i entropiform $$\boxed{\Delta S_{tot} \geq 0}$$ Likhetstecken gäller *enbart* för reversibla processer. Alla verkliga (irreversibla) processer ökar entropin. ### 6.4 Carnot-cykelns entropi Under en komplett Carnotcykel: $$\Delta S_{tot} = \frac{Q_H}{T_H} + \frac{Q_L}{T_L} = 0$$ Det bekräftar att Carnotprocessen är reversibel — entropin förändras inte totalt. > [!example]- Exempel: Entropiändring vid uppvärmning (Ex 20.6) > > $m = 1{,}00\ \text{kg}$ vatten värms från $T_1 = 273{,}15\ \text{K}$ till $T_2 = 373{,}15\ \text{K}$. > > $c_p = 4190\ \text{J/(kg·K)}$ > > $$\Delta S = \int_{T_1}^{T_2} \frac{mc\, dT}{T} = mc\ln\frac{T_2}{T_1} = 1{,}00 \times 4190 \times \ln\frac{373{,}15}{273{,}15} \approx 1{,}31\ \frac{\text{kJ}}{\text{K}}$$ > [!tip] Intuition: Varför händer inte allt baklänges? > > Entropi är ett mått på antalet möjliga mikrotillstånd. En gas utspridd i ett rum har astronomiskt fler möjliga tillstånd än samma gas komprimerad i ett hörn. Det är inte *omöjligt* att gasen spontant comprimeras — det är bara orimligt osannolikt. --- ## Läsning - [[University Physics with Modern Physics in SI Units-550-1100.pdf#page=123|Chapter 20 The Second Law of Thermodynamics]] ## Se även - [[Termodynamiska processer]] — pV-diagram och procesberäkningar - [[Termodynamikens första lag]] — energibevarandet - [[Ideala gaser]] — ideala gaslagen och $\gamma$ --- ## Resurser ### Wikipedia - [Second law of thermodynamics](https://en.wikipedia.org/wiki/Second_law_of_thermodynamics) - [Entropy](https://en.wikipedia.org/wiki/Entropy) - [Carnot cycle](https://en.wikipedia.org/wiki/Carnot_cycle) - [Otto cycle](https://en.wikipedia.org/wiki/Otto_cycle) ### Fördjupning - University Physics with Modern Physics (Freedman & Young) kap 20 - Fysika upplaga 5, kap 20 (Fa5: formelblad) --- ## Föreläsningsanteckningar > Från föreläsning: 2025-12-15, F0004T > Föreläsare: Erik Elfgren ### 2025-12-15 – TERMO8 #### 20.4 Kylmaskiner En kylmaskin pumpar värme från $T_L$ till $T_H$ med hjälp av arbete $W$. 1:a HS: $Q_{tot}=W_{tot}=Q_H+Q_L$ (med $Q_H<0$, $Q_L<0$) Köldfaktor (Coefficient of Performance): $$K=COP=\frac{|Q_L|}{W}=\frac{|Q_L|}{|Q_H|-|Q_L|}$$ **Carnots kylmaskin:** Från $\frac{Q_L}{Q_H}=-\frac{T_L}{T_H}$ (Carnotvillkor): $$K_{Carnot}=\frac{T_L}{T_H-T_L}$$ #### 20.5 Andra huvudsatsen Ren värmeöverföring från ett kallare till ett varmare system är omöjligt. $$\Leftrightarrow \text{Entropin ökar alltid för ett slutet system.} \implies \Delta S\geq 0$$ #### 20.7 Entropi Entropi $S \approx$ oordning. Tillförd värme ökar oordning (molekylernas slumpmässiga rörelser ökar). $$[S]=\frac{\text{J}}{\text{K}}$$ Reversibla processer: $$dS=\frac{dQ}{T}\implies\Delta S=\int\frac{dQ}{T}$$ Isoterm process: $$\Delta S=\frac{Q}{T}$$ Entropin beror bara på systemets tillstånd (som inre energi) – inte på processen. **Exempel 20.6** – Vatten värms från $273{,}15\ \text{K}$ till $373{,}15\ \text{K}$ ($m=1{,}00\ \text{kg}$, $c_p=4190\ \text{J/(kg·K)}$): $$\Delta S_{12}=\int^{T_2}_{T_1}\frac{mc\,dT}{T}=mc\ln\frac{T_2}{T_1}=1{,}31\ \frac{\text{kJ}}{\text{K}}$$ **Exempel 20.9** – Entropi i Carnot-cykeln ($Q_H=2{,}00\ \text{kJ}$, $T_H=500\ \text{K}$, $T_L=350\ \text{K}$): $$\Delta S_{tot}=\Delta S_{ab}+\Delta S_{bc}+\Delta S_{cd}+\Delta S_{da}$$ - Isoterma steg: $\Delta S_{ab}=\frac{Q_H}{T_H}$, $\Delta S_{cd}=\frac{Q_L}{T_L}$ - Adiabatiska steg: $\Delta S_{bc}=\Delta S_{da}=0$ Carnotvillkor $\frac{Q_H}{T_H}=-\frac{Q_L}{T_L}$ ger: $$\Delta S_{tot}=0\ \frac{\text{J}}{\text{K}}$$ Carnot-cykeln är reversibel – entropin förändras ej totalt.