Kvantmekanisk tunnling

Kurs: F0005T Förkunskaper: Partikel i potentialbrunn

---

En partikel med energin $E$ lägre än barriärhöjden $U_0$ kan ändå ta sig igenom en tillräckligt tunn barriär, eftersom vågfunktionen avtar exponentiellt inuti barriären men inte hinner nå noll. Partikeln borrar sig inte igenom och förlorar ingen energi i processen — den lämnar inget hål. Sannolikheten är proportionell mot kvadraten på kvoten mellan amplituderna på barriärens två sidor och beror extremt känsligt på bredden $L$ och på massan: samma barriär som ger $T\approx 10^{-3}$ för en elektron ger $10^{-143}$ för en proton. Tunnling förklarar $\alpha$-sönderfall ur instabila kärnor och vissa kemiska reaktioner med väte.

$$\boxed{T=G{e}^{-2\kappa L},\kappa =\frac{\sqrt{2m\left(U_0-E\right)}}{\hslash },G=16\frac{E}{U_0}\left(1-\frac{E}{U_0}\right)}$$

Fysika: Fd3 (tunneleffekt, med $E_p$ och $m_p$ för partikelns energi och massa)

---

Formeln, symbol för symbol

$$T=\underset{\begin{array}{c}\text{fo¨rfaktor,}\\ \text{mellan 0 och 4}\end{array}}{\underbrace{G}}\underset{\begin{array}{c}\text{amplitudens}\\ \text{avtagande i kvadrat}\end{array}}{\underbrace{e^{-2\kappa L}}}$$

$$\kappa =\frac{\sqrt{2\underset{\text{massan}}{\underbrace{m}}\underset{\begin{array}{c}\text{ho¨jden}\\ \text{o¨ver }E\end{array}}{\underbrace{\left(U_0-E\right)}}}}{\hslash }$$

Inne i barriären avtar vågfunktionen som $e^{-\kappa x}$, och sannolikheten som kvadraten på den. Allt som gör $\kappa L$ större — bredare barriär, tyngre partikel, längre upp till toppen — hamnar i exponenten, och därför är tunnling så känslig.

---

1. Klassiskt förbjudet område

Ta en rektangulär barriär: $U=U_0$ för $0\le x\le L$ och $U=0$ utanför. En partikel med energin $E<U_0$ kommer in från vänster. Inuti barriären skulle den kinetiska energin bli

$$K=E-U_0<0$$

och det går inte klassiskt, så partikeln studsar alltid tillbaka. Kvantmekaniskt finns ingen sådan spärr. Schrödingerekvationen har lösningar också där $E<U$, men de oscillerar inte.

---

2. Vågfunktionen i tre områden

• Vänster om barriären ($x<0$): en infallande och en reflekterad våg med vågtalet $k=\sqrt{2mE}/\hslash$.
• Inuti barriären ($0\le x\le L$): samma ekvation som i väggen på en ändlig brunn, alltså en kombination av $e^{\kappa x}$ och $e^{-\kappa x}$.
• Höger om barriären ($x>L$): bara en utgående våg. Där är $U=0$ igen och energin densamma, så vågtalet är samma $k$ som till vänster.

Vid $x=0$ och $x=L$ måste både $\psi$ och $d\psi /dx$ vara kontinuerliga. De fyra villkoren bestämmer alla amplituder i förhållande till den infallande, och den utgående amplituden blir aldrig noll. Tunnelsannolikheten $T$ är kvadraten på kvoten mellan den utgående och den infallande amplituden.

Exakt lösning för en elektron med $E=1,5$ eV mot en barriär med $U_0=4$ eV och $L=0,4$ nm. Till vänster interfererar den infallande och den reflekterade vågen, inuti barriären avtar $\psi$ exponentiellt, och till höger fortsätter en våg med samma våglängd men mycket mindre amplitud: $T\approx 5,7\cdot 10^{-3}$.

Varför exponenten är $-2\kappa L$

Inuti barriären. När barriären är bred dominerar den avtagande termen:

$$\psi (x)\approx D{e}^{-\kappa x}$$

Över barriären. Från $x=0$ till $x=L$ minskar amplituden med faktorn

$$\frac{|\psi (L)|}{|\psi (0)|}\approx e^{-\kappa L}$$

Sannolikheten. Sannolikheten går som amplituden i kvadrat:

$$T\propto {\left(e^{-\kappa L}\right)}^2=e^{-2\kappa L}$$

Förfaktorn. När sinusvågen passas ihop med exponentialfunktionerna vid båda kanterna blir förfaktorn $G=16\frac{E}{U_0}\left(1-\frac{E}{U_0}\right)$, som ligger mellan $0$ och $4$. Den exakta lösningen innehåller också den växande termen $e^{\kappa x}$. Den är försumbar bara när $\kappa L\gg 1$, och därför gäller formeln bara när $T\ll 1$.

---

3. Känsligheten

Logaritmera ingressens formel:

$$\ln T=\ln G-2\kappa L$$

Bredden och $\kappa$ står i exponenten, medan $G$ bara står framför. Därför är tunnling så känslig:

• Bredden. Varje gång $L$ ökar med $\ln 10/(2\kappa )$ blir $T$ tio gånger mindre. För en elektron med $U_0-E=2,50$ eV räcker det med $0,142$ nm.
• Massan. $\kappa \propto \sqrt{m}$. En proton är $1836$ gånger tyngre än en elektron, så exponenten blir ungefär $43$ gånger större.
• Avståndet till toppen. $\kappa \propto \sqrt{U_0-E}$, så ju närmare toppen partikeln ligger, desto lättare tunnlar den.

Tillämpningar. Elektroner tunnlar genom tunna oxidskikt mellan två ledare. Det utnyttjas i tunneldioden och i Josephsonövergången mellan två supraledare. Sveptunnelmikroskopet mäter tunnelströmmen över ett vakuumgap. Vid $\alpha$-sönderfall tunnlar alfapartikeln ut genom kärnans Coulombbarriär. I solens kärna tunnlar protoner genom varandras Coulombbarriär, så fusionen går vid en lägre temperatur än klassisk fysik skulle kräva.

$\alpha$-sönderfall som tunnling. Inne i kärnan hålls alfapartikeln kvar av den starka kraften, och utanför knuffas den bort av Coulombrepulsionen. Med energin $E_{\alpha }$ under barriärens topp avtar $\psi$ exponentiellt genom det klassiskt förbjudna området och fortsätter ut med samma energi men mycket mindre amplitud.

Vanliga fel

• $U_0$ i stället för $U_0-E$ i $\kappa$. Det som räknas är barriärens höjd över partikelns energi.
• eV direkt under roten. $U_0-E$ måste i joule innan $\kappa$ räknas ut, och man delar med $\hslash$, inte $h$.
• Faktorn 2 glöms. Exponenten är $-2\kappa L$, eftersom sannolikheten går som amplituden i kvadrat.
• Formeln används utanför sitt område. $T=G{e}^{-2\kappa L}$ förutsätter $E<U_0$ och $T\ll 1$. När $E>U_0$ finns ingen exponentiell dämpning, men en del reflekteras ändå.
• Partikeln tros förlora energi. Efter tunnlingen har den samma energi och samma våglängd som före. Det enda som är mindre är amplituden.

---

4. Lösta exempel

Exempel — Elektron eller proton genom samma barriär

En partikel med energin $1,50$ eV träffar en rektangulär barriär som är $4,00$ eV hög och $0,800$ nm bred.

a) Beräkna tunnelsannolikheten för en elektron. b) Hur bred får barriären högst vara om elektronens tunnelsannolikhet ska vara minst $1,00\cdot 10^{-6}$? c) Beräkna tunnelsannolikheten för en proton med samma energi genom barriären i a).

Lösning

a) Förfaktorn. $E/U_0=0,375$:

$$G=16\cdot 0,375\cdot \left(1-0,375\right)=3,75$$

Avtagandet. $U_0-E=2,50$ eV $=4,005\cdot 10^{-19}$ J:

$$\kappa =\frac{\sqrt{2\cdot 9,109\cdot 10^{-31}\cdot 4,005\cdot 10^{-19}}}{1,055\cdot 10^{-34}}=8,10\cdot 10^9{\text{ m}}^{-1}$$

Fysika: Te ($\hslash$, $m_e$)

Tunnelsannolikheten. $2\kappa L=2\cdot 8,10\cdot 10^9\cdot 0,800\cdot 10^{-9}=12,96$:

$$T=3,75e^{-12,96}=3,75\cdot 2,35\cdot 10^{-6}\approx \boxed{8,82\cdot 10^{-6}}$$

b) Lös ut bredden. Ur $\ln T=\ln G-2\kappa L$:

$$L=\frac{1}{2\kappa }\ln \frac{G}{T}=\frac{\ln \left(3,75\cdot 10^6\right)}{2\cdot 8,10\cdot 10^9}=\frac{15,14}{1,620\cdot 10^{10}}\approx \boxed{0,934\text{ nm}}$$

Barriären får bara bli $0,13$ nm bredare innan sannolikheten sjunker nästan nio gånger.

c) Protonen. $G$ beror bara på $E/U_0$ och är oförändrat. Med $m_p=1,673\cdot 10^{-27}$ kg:

$${\kappa }_p=\frac{\sqrt{2\cdot 1,673\cdot 10^{-27}\cdot 4,005\cdot 10^{-19}}}{1,055\cdot 10^{-34}}=3,47\cdot 10^{11}{\text{ m}}^{-1}$$

$$2{\kappa }_{p}L=555,4T_p=3,75e^{-555,4}\approx \boxed{2,4\cdot 10^{-241}}$$

Räknaren ger noll här, så räkna med tiologaritmen: $\lg T_p=\lg 3,75-555,4/\ln 10=-240,6$.

Ej kontrollerat mot facit — två oberoende lösningar stämmer överens.

Läsning

• 40.4 Potential Barriers and Tunneling

---

← Partikel i potentialbrunn · F0005T · Sveptunnelmikroskopet →