--- kurs: - F0005T tags: - fysik - kvantfysik - fenomen förkunskaper: - "[[Partikel i potentialbrunn]]" status: utkast aliases: - Tunnling - Barriärgenomträngning - Tunnelsannolikhet --- > **Kurs:** F0005T > **Förkunskaper:** [[Partikel i potentialbrunn]] --- En partikel med energin $E$ lägre än barriärhöjden $U_0$ kan ändå ta sig igenom en tillräckligt tunn barriär, eftersom vågfunktionen avtar exponentiellt inuti barriären men inte hinner nå noll. Partikeln borrar sig inte igenom och förlorar ingen energi i processen — den lämnar inget hål. Sannolikheten är proportionell mot kvadraten på kvoten mellan amplituderna på barriärens två sidor och beror extremt känsligt på bredden $L$ och på massan: samma barriär som ger $T\approx10^{-3}$ för en elektron ger $10^{-143}$ för en proton. Tunnling förklarar $\alpha$-sönderfall ur instabila kärnor och vissa kemiska reaktioner med väte. $$ \boxed{\;T=Ge^{-2\kappa L},\qquad \kappa=\dfrac{\sqrt{2m\left(U_0-E\right)}}{\hbar},\qquad G=16\dfrac{E}{U_0}\left(1-\dfrac{E}{U_0}\right)\;} $$ *Fysika: Fd3 (tunneleffekt, med $E_p$ och $m_p$ för partikelns energi och massa)* --- ## Formeln, symbol för symbol $$ T=\underbrace{G}_{\substack{\text{förfaktor,}\\\text{mellan 0 och 4}}}\, \underbrace{e^{-2\kappa L}}_{\substack{\text{amplitudens}\\\text{avtagande i kvadrat}}} $$ $$ \kappa=\dfrac{\sqrt{2\,\underbrace{m}_{\text{massan}}\,\underbrace{\left(U_0-E\right)}_{\substack{\text{höjden}\\\text{över }E}}}}{\hbar} $$ Inne i barriären avtar vågfunktionen som $e^{-\kappa x}$, och sannolikheten som kvadraten på den. Allt som gör $\kappa L$ större — bredare barriär, tyngre partikel, längre upp till toppen — hamnar i exponenten, och därför är tunnling så känslig. --- ## 1. Klassiskt förbjudet område Ta en rektangulär barriär: $U=U_0$ för $0\le x\le L$ och $U=0$ utanför. En partikel med energin $EL$): bara en utgående våg. Där är $U=0$ igen och energin densamma, så vågtalet är samma $k$ som till vänster. Vid $x=0$ och $x=L$ måste både $\psi$ och $d\psi/dx$ vara kontinuerliga. De fyra villkoren bestämmer alla amplituder i förhållande till den infallande, och den utgående amplituden blir aldrig noll. Tunnelsannolikheten $T$ är kvadraten på kvoten mellan den utgående och den infallande amplituden. ![[f05-tunnling-psi.png|520]] *Exakt lösning för en elektron med $E=1{,}5$ eV mot en barriär med $U_0=4$ eV och $L=0{,}4$ nm. Till vänster interfererar den infallande och den reflekterade vågen, inuti barriären avtar $\psi$ exponentiellt, och till höger fortsätter en våg med samma våglängd men mycket mindre amplitud: $T\approx5{,}7\cdot10^{-3}$.* > [!note]- Varför exponenten är $-2\kappa L$ > **Inuti barriären.** När barriären är bred dominerar den avtagande termen: > $$ > \psi(x)\approx De^{-\kappa x} > $$ > > **Över barriären.** Från $x=0$ till $x=L$ minskar amplituden med faktorn > $$ > \dfrac{|\psi(L)|}{|\psi(0)|}\approx e^{-\kappa L} > $$ > > **Sannolikheten.** Sannolikheten går som amplituden i kvadrat: > $$ > T\propto\left(e^{-\kappa L}\right)^{2}=e^{-2\kappa L} > $$ > > **Förfaktorn.** När sinusvågen passas ihop med exponentialfunktionerna vid båda kanterna blir förfaktorn $G=16\dfrac{E}{U_0}\left(1-\dfrac{E}{U_0}\right)$, som ligger mellan $0$ och $4$. Den exakta lösningen innehåller också den växande termen $e^{\kappa x}$. Den är försumbar bara när $\kappa L\gg1$, och därför gäller formeln bara när $T\ll1$. --- ## 3. Känsligheten Logaritmera ingressens formel: $$ \ln T=\ln G-2\kappa L $$ Bredden och $\kappa$ står i exponenten, medan $G$ bara står framför. Därför är tunnling så känslig: - **Bredden.** Varje gång $L$ ökar med $\ln10/(2\kappa)$ blir $T$ tio gånger mindre. För en elektron med $U_0-E=2{,}50$ eV räcker det med $0{,}142$ nm. - **Massan.** $\kappa\propto\sqrt m$. En proton är $1836$ gånger tyngre än en elektron, så exponenten blir ungefär $43$ gånger större. - **Avståndet till toppen.** $\kappa\propto\sqrt{U_0-E}$, så ju närmare toppen partikeln ligger, desto lättare tunnlar den. **Tillämpningar.** Elektroner tunnlar genom tunna oxidskikt mellan två ledare. Det utnyttjas i tunneldioden och i Josephsonövergången mellan två supraledare. [[Sveptunnelmikroskopet]] mäter tunnelströmmen över ett vakuumgap. Vid $\alpha$-sönderfall tunnlar alfapartikeln ut genom kärnans Coulombbarriär. I solens kärna tunnlar protoner genom varandras Coulombbarriär, så fusionen går vid en lägre temperatur än klassisk fysik skulle kräva. ![[f05-alfa-tunnling.png|520]] *$\alpha$-sönderfall som tunnling. Inne i kärnan hålls alfapartikeln kvar av den starka kraften, och utanför knuffas den bort av Coulombrepulsionen. Med energin $E_\alpha$ under barriärens topp avtar $\psi$ exponentiellt genom det klassiskt förbjudna området och fortsätter ut med samma energi men mycket mindre amplitud.* > [!warning] Vanliga fel > - **$U_0$ i stället för $U_0-E$ i $\kappa$.** Det som räknas är barriärens höjd *över* partikelns energi. > - **eV direkt under roten.** $U_0-E$ måste i joule innan $\kappa$ räknas ut, och man delar med $\hbar$, inte $h$. > - **Faktorn 2 glöms.** Exponenten är $-2\kappa L$, eftersom sannolikheten går som amplituden i kvadrat. > - **Formeln används utanför sitt område.** $T=Ge^{-2\kappa L}$ förutsätter $EU_0$ finns ingen exponentiell dämpning, men en del reflekteras ändå. > - **Partikeln tros förlora energi.** Efter tunnlingen har den samma energi och samma våglängd som före. Det enda som är mindre är amplituden. --- ## 4. Lösta exempel > [!example]- Exempel — Elektron eller proton genom samma barriär > En partikel med energin $1{,}50$ eV träffar en rektangulär barriär som är $4{,}00$ eV hög och $0{,}800$ nm bred. > > a) Beräkna tunnelsannolikheten för en elektron. > b) Hur bred får barriären högst vara om elektronens tunnelsannolikhet ska vara minst $1{,}00\cdot10^{-6}$? > c) Beräkna tunnelsannolikheten för en proton med samma energi genom barriären i a). > > > [!note]- Lösning > > **a) Förfaktorn.** $E/U_0=0{,}375$: > > $$ > > G=16\cdot0{,}375\cdot\left(1-0{,}375\right)=3{,}75 > > $$ > > > > **Avtagandet.** $U_0-E=2{,}50$ eV $=4{,}005\cdot10^{-19}$ J: > > $$ > > \kappa=\dfrac{\sqrt{2\cdot9{,}109\cdot10^{-31}\cdot4{,}005\cdot10^{-19}}}{1{,}055\cdot10^{-34}}=8{,}10\cdot10^{9}\text{ m}^{-1} > > $$ > > *Fysika: Te ($\hbar$, $m_e$)* > > > > **Tunnelsannolikheten.** $2\kappa L=2\cdot8{,}10\cdot10^{9}\cdot0{,}800\cdot10^{-9}=12{,}96$: > > $$ > > T=3{,}75\,e^{-12{,}96}=3{,}75\cdot2{,}35\cdot10^{-6}\approx\boxed{8{,}82\cdot10^{-6}} > > $$ > > > > **b) Lös ut bredden.** Ur $\ln T=\ln G-2\kappa L$: > > $$ > > L=\dfrac{1}{2\kappa}\ln\dfrac{G}{T}=\dfrac{\ln\left(3{,}75\cdot10^{6}\right)}{2\cdot8{,}10\cdot10^{9}}=\dfrac{15{,}14}{1{,}620\cdot10^{10}}\approx\boxed{0{,}934\text{ nm}} > > $$ > > Barriären får bara bli $0{,}13$ nm bredare innan sannolikheten sjunker nästan nio gånger. > > > > **c) Protonen.** $G$ beror bara på $E/U_0$ och är oförändrat. Med $m_p=1{,}673\cdot10^{-27}$ kg: > > $$ > > \kappa_p=\dfrac{\sqrt{2\cdot1{,}673\cdot10^{-27}\cdot4{,}005\cdot10^{-19}}}{1{,}055\cdot10^{-34}}=3{,}47\cdot10^{11}\text{ m}^{-1} > > $$ > > $$ > > 2\kappa_pL=555{,}4\qquad T_p=3{,}75\,e^{-555{,}4}\approx\boxed{2{,}4\cdot10^{-241}} > > $$ > > Räknaren ger noll här, så räkna med tiologaritmen: $\lg T_p=\lg3{,}75-555{,}4/\ln10=-240{,}6$. > > > > *Ej kontrollerat mot facit — två oberoende lösningar stämmer överens.* ## Läsning - [[z.University Physics.pdf#page=1370|40.4 Potential Barriers and Tunneling]] --- ← [[Partikel i potentialbrunn]] · [[F0005T]] · [[Sveptunnelmikroskopet]] →