Kretsprocesser och värmemaskiner

Kapitel: 19.5–19.8 · Kurs: F0004T Förkunskaper: Termodynamikens första lag, Ideala gaser, Integraler

---

1. Översikt av de fyra processerna

Process	Villkor	Karakteristik i pV-diagram	Minnes­knep
Isoterm	$T$ = konst	Hyperbel ($pV$ = konst)	Iso-therm = samma temperatur
Isobar	$p$ = konst	Horisontell linje	Iso-bar = samma bar (tryck)
Isokor	$V$ = konst	Vertikal linje	Iso-kor = samma volym
Adiabatisk	$Q=0$	Brant hyperbel ($p{V}^{\gamma }$ = konst)	Inga värmeutbyten

---

2. Isoterm process ($T$ = konstant)

2.1 Analys

Gasen expanderar (eller komprimeras) i termisk jämvikt med omgivningen — temperaturen hålls konstant.

• $\Delta U=n{C}_V\Delta T=0$ (inga temperaturändringar)
• Från 1:a HS: $Q=W$
• Arbete: $W=nRT\ln \frac{V_2}{V_1}$

Intuition: Isoterm

All tillförd värme omvandlas till arbete — ingen energi “stannar kvar” i gasen. $pV=nRT=\text{konst}$ ger en hyperbelkurva i pV-diagrammet.

Exempel: Isoterm expansion

0,100 mol av en ideal monoatomär gas vid $T=300\text{K}$ expanderar från $V_1=2,50\times 10^{-3}{\text{m}}^3$ till $V_2=5,00\times 10^{-3}{\text{m}}^3$.

$W=nRT\ln \frac{V_2}{V_1}=0,100\times 8,314\times 300\times \ln (2)\approx 173\text{J}$

$\Delta U=0,Q=W=173\text{J}$

---

3. Isobar process ($p$ = konstant)

3.1 Analys

Gasen expanderar eller komprimeras vid konstant tryck, t.ex. kolv med konstant vikt ovanpå.

• $W=p\Delta V=p(V_2-V_1)=nR\Delta T$ (rektangelarea i pV-diagram)
• $Q=n{C}_p\Delta T$
• $\Delta U=n{C}_V\Delta T$

Intuition: Isobar

En del av den tillförda värmen går till att expandera gasen (arbete), resten till att höja temperaturen. Därför behövs $C_p$ och inte $C_V$ — det är mer energikrävande att värma vid konstant tryck.

---

4. Isokor process ($V$ = konstant)

4.1 Analys

Gasen värms eller kyls i en sluten, stel behållare.

• $W=0$ (ingen volymändring, inget arbete)
• $Q=\Delta U=n{C}_V\Delta T$
• Trycket ändras: $p/T=\text{konst}$

Intuition: Isokor

Eftersom ingen expansion sker behöver all tillförd värme bara höja molekylernas rörelseenergi — därav $C_V$.

---

5. Adiabatisk process ($Q=0$)

5.1 Grundprincip

Definition: Adiabatisk process

En adiabatisk process utbyter inget värme med omgivningen — antingen pga perfekt isolering eller pga att processen sker för snabbt.

$Q=0⟹\Delta U=-W$

Konsekvenser:

Händelse	Orsak	Effekt
Expansion ($W>0$)	Gasen gör arbete	$\Delta U<0$ → temperaturen sjunker
Kompression ($W<0$)	Arbete utförs på gasen	$\Delta U>0$ → temperaturen stiger

Intuition: Diesel-antändning

En dieselmotor komprimerar luften adiabatiskt tills temperaturen är hög nog att antända bränslet — utan tändstift. Kompressionen värmer luften dramatiskt.

5.2 Poissons lagar

Poissons lagar för adiabatisk process

För en ideal gas vid adiabatisk process gäller:

$\boxed{p{V}^{\gamma }=\text{konstant}}$

$T{V}^{\gamma -1}=\text{konstant}$

T^\gamma p^{1-\gamma} = \text{konstant}}

där $\gamma =C_p/C_V$ är adiabatindex (beror på gastyp).

Jämförelseform (tillstånd 1 → tillstånd 2):

$p_1{V}_1^{\gamma }=p_2{V}_2^{\gamma },T_1{V}_1^{\gamma -1}=T_2{V}_2^{\gamma -1}$

5.3 Arbete vid adiabatisk process

$\boxed{W=\frac{p_1{V}_1-p_2{V}_2}{\gamma -1}=n{C}_V(T_1-T_2)}$

5.4 Adiabaten är brantare än isotermen

I ett pV-diagram:

• Isoterm: $p\propto V^{-1}$
• Adiabat: $p\propto V^{-\gamma }$ (brantare, eftersom $\gamma >1$)

Intuition: Varför brantare?

Vid adiabatisk expansion kyls gasen (ingen värme tillförs). Lägre temperatur → lägre tryck vid samma volym. Kurvan faller därför snabbare än en isoterm.

---

6. Sammanfattning: formler för alla processer

Process	$W$	$Q$	$\Delta U$
Isoterm	$nRT\ln \frac{V_2}{V_1}$	$=W$	$0$
Isobar	$p\Delta V=nR\Delta T$	$n{C}_p\Delta T$	$n{C}_V\Delta T$
Isokor	$0$	$n{C}_V\Delta T$	$=Q$
Adiabatisk	$\frac{p_1{V}_1-p_2{V}_2}{\gamma -1}$	$0$	$n{C}_V\Delta T$

Checklista: Lösa termodynamikproblem

1. Identifiera vilken process: $T$, $p$, $V$ konstant, eller $Q=0$?
2. Skriv upp rätt samband för processen.
3. Använd ideala gaslagen $pV=nRT$ vid behov.
4. Använd 1:a HS: $Q=\Delta U+W$.
5. Kom ihåg: $\Delta U=n{C}_V\Delta T$ alltid för ideal gas.
6. Kontrollera enheter och rimlighet!

---

Läsning

• 20.2 Heat Engines
• 20.6 The Carnot Cycle

Se även

• Termodynamikens första lag — $Q=\Delta U+W$ och inre energi
• Ideala gaser — ideala gaslagen, $C_V$, $\gamma$
• Termodynamikens andra huvudsats — värmemaskiner och Carnot-cykeln

---

Resurser

Interaktiva verktyg

• PhET — Gas Properties — visualisering av gasprocesser

Wikipedia

• Thermodynamic process
• Adiabatic process
• Isothermal process

Fördjupning

• University Physics with Modern Physics (Freedman & Young) kap 19
• Fysika upplaga 5, kap 19 (Fa5: formelblad)

---

Föreläsningsanteckningar

Från föreläsning: 2025-12-10 och 2025-12-12, F0004T Föreläsare: Erik Elfgren

2025-12-10 – TERMO6: Termodynamik för ideala gaser (kap 19)

19.6 Inre energi för en ideal gas

Temperaturen är ett mått på molekylernas genomsnittliga kinetiska energi: $K_{tr}=\frac{3}{2}{k}_{B}T,k_B=R/N_A$

Den inre energin för en ideal gas beror enbart på temperaturen: $U=U(T),\Delta U=n{C}_V\Delta T$

Konsekvens: Vid isoterm expansion ($T=$konst): $\Delta U=0⟹Q=W$.

19.7 Värmekapacitet för ideal gas

$Q=nC\Delta T$

Vid konstant volym ($C_V$): Gasen kan ej expandera → all tillförd värme → inre energi: $Q_V=\Delta U$

Vid konstant tryck ($C_p$): Gasen expanderar → värme måste räcka till BÅDE inre energi OCH arbete → $C_p>C_V$

Sambandet $C_p=C_V+R$ (härledning via 1:a HS + ideala gaslagen): $d{Q}_p=dU+dW=n{C}_{V}dT+nRdT=n(C_V+R)dT$

Adiabatindex: $\gamma =\frac{C_p}{C_V}>1$

Gastyp	Frihetsgrader	$C_V$	$C_p$	$\gamma$
Monoatomär (He, Ne, Ar)	3	$\frac{3}{2}R$	$\frac{5}{2}R$	$\frac{5}{3}\approx 1.67$
Diatomär (N₂, O₂, H₂)	5	$\frac{5}{2}R$	$\frac{7}{2}R$	$\frac{7}{5}=1.40$
Fleratomär (CO₂, H₂O)	6	$3R$	$4R$	$\frac{4}{3}\approx 1.33$

19.8 Adiabatiska processer

Poissons lagar: $p{V}^{\gamma }=\text{konst},T{V}^{\gamma -1}=\text{konst}$

Arbete: $W=\frac{p_1{V}_1-p_2{V}_2}{\gamma -1}=n{C}_V(T_1-T_2)$

Adiabaten är brantare än isotermen ($p\propto V^{-\gamma }$ vs $p\propto V^{-1}$, och $\gamma >1$).

Övning 19.32 – 0.100 mol monoatomär gas, $p_1=10^5$ Pa, $V_1=2.50\times 10^{-3}$ m³:

Process	$T_2$ (K)	$p_2$ (kPa)
Isoterm	300.7	50.0
Isobar	601.4	100
Adiabatisk	189.5	31.5

---

2025-12-12 – TERMO7: Andra huvudsatsen och värmemaskiner (kap 20)

20.0 Andra huvudsatsen

Entropi (oordning) ökar alltid.

20.1 Processers riktning

I verkligheten är alla processer irreversibla. I ideala situationer kan vi ha reversibla processer (nära jämvikt). I en reversibel process kan en liten systemändring byta riktning.

Irreversibla processer: Friktion, blandning av vätskor, värmeöverföring med icke-försumbar temp-skillnad.

20.2 Värmemaskiner

$\text{Va¨rme}⟹\text{Arbete}$

Värmemaskiner är ofta cykliska: $\Delta U_{tot}=0$

1:a HS: $Q_{tot}=W_{tot}$ ($Q_H>0$, $Q_C=Q_L<0$)

En del värme går alltid till spillo ($Q_L\ne 0$). Verkningsgrad: $e=\frac{W}{Q_H}=1+\frac{Q_L}{Q_H}=1-\left|\frac{Q_L}{Q_H}\right|<1$

20.3 OTTO-cykeln (bensinmotorer)

Tolkning av stegen:

• $6\to 3$: Kompression (adiabatisk)
• $3\to 4$: Värmetillförsel (isokor): $Q_H=n{C}_v(T_c-T_b)>0$
• $4\to 5$: Expansion (adiabatisk)
• $5\to 6$: Värmebortförsel (isokor): $Q_L=n{C}_v(T_a-T_d)<0$

Verkningsgrad: $e=1+\frac{Q_L}{Q_H}=1-r^{\gamma -1}$ $r$ = kompressionsförhållande

Exempel: $r=8$, $\gamma =1.4⟹e_{teor}=56\%$, verkligt $\approx 35\%$ (friktion, värmeförlust, turbulens, ej ideal gas)

Diesel-cykeln

• $a\to b$: Kompression (adiabatisk)
• $b\to c$: Expansion (isobar)
• $c\to d$: Expansion (adiabatisk)
• $d\to a$: Kylning (isokor)

$r=15-20$, $e_{teor}=65\%$, $e_{verkl}=50\%$, $e_{motor}=40\%$

Carnot-cykeln (den perfekta värmemaskinen)

Inga irreversibla processer → upptag/avgivning av värme isotermt. I övrigt inga värmeförluster → adiabater.

Steg: isoterm ($a\to b$) → adiabat ($b\to c$) → isoterm ($c\to d$) → adiabat ($d\to a$)

Verkningsgrad: $e_{Carnot}=1-\frac{T_L}{T_H}$

(Härleds via att $\frac{V_b}{V_a}=\frac{V_c}{V_d}$ via Poissons lag för de adiabatiska stegen.)