Populationsinversion

Kurs: F0005T Förkunskaper: Stimulerad emission

---

I termisk jämvikt är nästan alla atomer i grundtillståndet. Maxwell-Boltzmannfördelningen ger kvoten mellan exciterade och icke-exciterade atomer till $0,00044$ för en övergång på $2$ eV vid $3000$ K — en försvinnande liten andel, så absorption är långt mer sannolik än stimulerad emission även vid hög temperatur. För att förstärka ljus måste jämvikten brytas så att den övre nivån är mer befolkad än den undre. Det kräver ett metastabilt tillstånd med livstid kring $10^{-3}$ s i stället för normala $10^{-8}$ s.

$$\boxed{\frac{n_{ex}}{n_g}=e^{-(E_{ex}-E_g)/kT}}$$

---

Formeln, symbol för symbol

$$\underset{\begin{array}{c}\text{atomer uppe per}\\ \text{atom nere}\end{array}}{\underbrace{\frac{n_{ex}}{n_g}}}=\exp \left(-\frac{\stackrel{\text{energisteget}}{\overbrace{E_{ex}-E_g}}}{\underset{\begin{array}{c}\text{termisk}\\ \text{energi}\end{array}}{\underbrace{kT}}}\right)$$

Kvoten avgörs av hur stort energisteget är jämfört med den termiska energin $kT$. Exponenten är negativ vid varje temperatur, så i jämvikt är det övre tillståndet alltid glesare befolkat — en inversion kräver att jämvikten bryts.

---

1. Nivåer och tillstånd

En energinivå kan ofta nås på flera sätt, och varje sätt är ett eget tillstånd. Väteatomens grundnivå $-13,6$ eV har två tillstånd och första exciterade nivån $-3,40$ eV har åtta. Maxwell–Boltzmannfördelningen gäller per tillstånd: i jämvikt vid temperaturen $T$ är antalet atomer i ett tillstånd med energin $E_i$

$$n_i=A{e}^{-E_i/k_{B}T}$$

där $A$ bestäms av det totala antalet atomer. Kvoten mellan två tillstånd ger formeln i rutan överst — konstanten $A$ tar ut sig. Jämför vi i stället två nivåer med $g_{ex}$ och $g_g$ tillstånd var, räknas varje tillstånd för sig:

$$\boxed{\frac{N_{ex}}{N_g}=\frac{g_{ex}}{g_g}{e}^{-(E_{ex}-E_g)/k_{B}T}}$$

---

2. Termisk jämvikt ger aldrig inversion

Exponenten är negativ för varje $T>0$, så ett högre tillstånd är alltid glesare befolkat än ett lägre. För en övergång på $2,0$ eV:

$T$	$k_{B}T$	$n_{ex}/n_g$
$300$ K	$0,026$ eV	$2,5\cdot 10^{-34}$
$3000$ K	$0,26$ eV	$4,4\cdot 10^{-4}$
$10000$ K	$0,86$ eV	$0,098$

Först när $T\to \infty$ närmar sig kvoten $1$ — den blir aldrig större. Eftersom stimulerad emission och absorption är lika sannolika per atom, se Stimulerad emission, absorberar en gas i jämvikt alltid mer än den förstärker.

Att lysa in ljus med just övergångens frekvens hjälper inte heller. Så länge $n_g\gg n_{ex}$ går nästan all energi åt till absorption, och även med enormt intensivt ljus når man i bästa fall $n_{ex}=n_g$: där tar absorption och stimulerad emission ut varandra och gasen blir genomskinlig för strålningen.

Populationsinversion är det icke-jämviktsläge där ett högre tillstånd har fler atomer än ett lägre. Sätter vi in $n_{ex}/n_g>1$ i Boltzmannfaktorn och löser ut $T$ blir temperaturen negativ — ett formellt sätt att säga att inget termiskt jämviktsläge kan ge inversion.

Varje prick är en atom. I jämvikt ligger de flesta i grundtillståndet, så fotonerna i en stråle absorberas oftare än de stimulerar emission och strålen dämpas. Vid inversion är det tvärtom: de flesta atomerna väntar i det övre tillståndet, och strålen förstärks.

---

3. Metastabilt tillstånd och pumpning

Inversionen byggs i stället upp med atomer som har ett metastabilt tillstånd. Vanliga exciterade tillstånd töms genom spontan emission på omkring $10^{-8}$ s, medan ett metastabilt tillstånd lever omkring $10^{-3}$ s, ungefär $10^5$ gånger längre. Det kan inträffa när bevarandet av rörelsemängdsmoment försvårar övergången nedåt.

Atomerna pumpas upp ur grundtillståndet, i en gas till exempel med en elektrisk urladdning där elektroner och joner exciterar atomerna genom kollisioner. De kortlivade tillstånden töms på $10^{-8}$ s, men atomerna samlas i det metastabila tillståndet. Det har fortfarande färre atomer än grundtillståndet, men många fler än ett nästan tomt tillstånd strax ovanför grundtillståndet. Inversionen gäller mellan de två — det är så lasern arbetar.

Tre- och fyrnivåsystem jämförda: i båda pumpas atomerna till $E_3$ och faller snabbt till den metastabila $E_2$, men i trenivåsystemet måste $E_2$ inverteras mot grundtillståndet, medan fyrnivåsystemets undre lasernivå $E_1$ töms snabbt och nästan är tom (staplarna visar antal atomer).

Vanliga fel

• Hög temperatur ger inversion. Den gör det aldrig: $e^{-\Delta E/k_{B}T}<1$ för alla positiva $T$.
• Inversionen måste gälla mot grundtillståndet. Det räcker att den övre lasernivån har fler atomer än den undre lasernivån, som gärna ligger strax ovanför grundtillståndet och töms snabbt.
• Nivåer och tillstånd blandas. Boltzmannfaktorn gäller per tillstånd. Jämförs två nivåer måste antalet tillstånd $g$ i varje nivå tas med.
• $k_{B}T$ i fel enhet. Räkna antingen i eV med $k_B=8,617\cdot 10^{-5}$ eV/K eller i J med $k_B=1,381\cdot 10^{-23}$ J/K — exponenten måste bli dimensionslös.
• Metastabil betyder stabil. Tillståndet har en ändlig livstid kring $10^{-3}$ s; det är bara ovanligt långlivat.

---

4. Lösta exempel

Exempel — Exciterat väte på solytan

Solens yta har temperaturen $5800$ K. Väteatomens grundnivå har $2$ tillstånd och första exciterade nivån $8$ tillstånd, och energiskillnaden mellan nivåerna är $10,2$ eV. Hur många väteatomer finns i den första exciterade nivån per atom i grundnivån?

Lösning

Termisk energi.

$$k_{B}T=8,617\cdot 10^{-5}\text{ eV/K}\cdot 5800\text{ K}=0,500\text{ eV}$$

Fysika: Te ($k$)

Exponenten.

$$\frac{E_{ex}-E_g}{k_{B}T}=\frac{10,2}{0,500}=20,4e^{-20,4}=1,37\cdot 10^{-9}$$

Med tillståndsfaktorn. $g_{ex}/g_g=8/2=4$, så

$$\frac{N_{ex}}{N_g}=4\cdot 1,37\cdot 10^{-9}=\boxed{5,48\cdot 10^{-9}}$$

Ungefär fem atomer på en miljard är exciterade — ändå är de många nog att ge solspektrumets väteabsorption i Balmerserien, eftersom solen innehåller så enormt mycket väte.

Ej kontrollerat mot facit — två oberoende lösningar stämmer överens.

Exempel — Termisk pumpning räcker inte

Två enkla tillstånd skiljer sig med $1,17$ eV.

1. Vid vilken temperatur är $n_{ex}/n_g=0,100$?

2. Vilken temperatur skulle formellt krävas för att $n_{ex}/n_g=2,00$?

Lösning

Lös ut temperaturen. Logaritmera Boltzmannfaktorn:

$$\ln \frac{n_{ex}}{n_g}=-\frac{\Delta E}{k_{B}T}$$

$$T=-\frac{\Delta E}{k_B\ln (n_{ex}/n_g)}$$

1. Med $\ln 0,100=-2,303$:

$$T=\frac{1,17\text{ eV}}{8,617\cdot 10^{-5}\text{ eV/K}\cdot 2,303}=\boxed{5,90\cdot 10^3\text{ K}}$$

2. Med $\ln 2,00=0,693$:

$$T=-\frac{1,17}{8,617\cdot 10^{-5}\cdot 0,693}\text{ K}=\boxed{-1,96\cdot 10^4\text{ K}}$$

Temperaturen blir negativ: ingen jämvikt, hur varm som helst, ger inversion. Den måste skapas genom pumpning.

Ej kontrollerat mot facit — två oberoende lösningar stämmer överens.

Läsning

• 39.4 The Laser

---

← Stimulerad emission · F0005T · Laser →