---
kurs:
  - S0008M
tags:
  - tenta
  - sannolikhetslära
  - statistik
status: utkast
datum: 2026-06-03
typ: tenta
aliases:
  - Tenta S0008M 2026-06-03
  - Statistiktenta juni 2026
---
> **Kurs:** [[S0008M]] — Sannolikhetslära och statistik
> **Datum:** 2026-06-03
> **Källa:** [[S0008M-3-juni-2026.pdf|originaltentamen]] · [[losnS0008M-3-juni-2026.pdf|lärarens lösningar]]

> [!abstract] Översikt
> Del 1 (uppgift 1–12, bara svar):
> - betingad sannolikhet (1) och binomial med exponentialfördelade livslängder (2)
> - rektangel-, Poisson- och normalfördelning (3–5)
> - CGS för ett medelvärde (6) och variansen av en linjärkombination (7)
> - kritisk gräns i ett $t$-test (8), konfidensintervall för stickprov i par (9) och $n$ ur intervallbredd (10)
> - tvådimensionell normalfördelning (11) och betingat väntevärde ur en simultan sannolikhetsfunktion (12)
>
> Del 2 (uppgift 13–15):
> - ett bättre test med differenser (13)
> - parvis oberoende kontra oberoende (14)
> - korrelation och en bakomliggande variabel (15)

> [!tip] Så använder du sidan
> Försök själv först. Ledtråd 1 säger vilken sorts uppgift det är, ledtråd 2 (inuti ledtråd 1) ger modellen och ledtråd 3 (inuti ledtråd 2) nyckelsteget. **Lösning** är hela uträkningen, kontrollerad mot lärarens facit.

---

## 1. Betingad sannolikhet: smartphone och villa

En invånare i en kommun väljs ut slumpmässigt. Sannolikheten att personen äger en smartphone är $0{,}76$, sannolikheten att personen bor i villa är $0{,}24$ och sannolikheten att personen äger både smartphone och bor i villa är $0{,}19$.

Givet att en person bor i villa, vad är sannolikheten att personen äger en smartphone? Svara i procent med två decimaler.

*Totalpoäng: 2*

> [!tip]- Ledtråd 1
> "Givet att" betyder [[Betingad sannolikhet|betingad sannolikhet]].
>
> > [!tip]- Ledtråd 2
> > Med $S$ = smartphone och $V$ = villa söks $P(S\mid V)$.
> >
> > > [!tip]- Ledtråd 3
> > > $P(S\mid V) = P(S\cap V)/P(V)$. Uppgiften ger snittet direkt.

> [!note]- Lösning
> $$
> P(S\mid V) = \dfrac{P(S\cap V)}{P(V)} = \dfrac{0{,}19}{0{,}24} = \boxed{79{,}17\ \%}
> $$
>
> *Kontrollerat mot facit.*

---

## 2. Lysrör: exponentialfördelning inuti en binomialfördelning

Livslängden för en viss typ av lysrör (enhet: timmar) är $\text{Exp}(\lambda)$-fördelad med $\lambda = 1/200$. Ett företag har $10$ sådana lysrör i ett lager. Beräkna sannolikheten att **exakt 2** av de 10 rören håller i minst $250$ timmar. Svara i procent med två decimaler.

*Totalpoäng: 2*

> [!tip]- Ledtråd 1
> Två steg: först sannolikheten för *ett* rör, sedan antalet rör av tio.
>
> > [!tip]- Ledtråd 2
> > $p = P(\xi\ge 250)$ för ett [[Exponentialfördelning|exponentialfördelat]] rör. Antalet som håller är $\text{Bin}(10, p)$.
> >
> > > [!tip]- Ledtråd 3
> > > $P(\xi\ge 250) = e^{-250/200}$.

> [!note]- Lösning
> Ett rör håller minst 250 timmar med sannolikheten
> $$
> p = e^{-250/200} = e^{-1{,}25} = 0{,}2865
> $$
> Rören antas oberoende, så $\eta$ = antal av de 10 som håller är $\text{Bin}(10;\ 0{,}2865)$:
> $$
> P(\eta = 2) = \binom{10}{2}0{,}2865^2\cdot 0{,}7135^8 \approx \boxed{24{,}81\ \%}
> $$
>
> **På räknaren.** `binomPdf(10,e^(-1.25),2)`.
>
> *Kontrollerat mot facit.*

---

## 3. Rektangelfördelning: intervall som sticker utanför

Slumpvariabeln $\xi$ har en rektangelfördelning på intervallet $[3;\ 8{,}5]$. Skissa först frekvensfunktionen för $\xi$. Beräkna sedan sannolikheten $P(2\le\xi\le 5{,}3)$. Svara i procent med två decimaler.

*Totalpoäng: 2*

> [!tip]- Ledtråd 1
> [[Likformig fördelning|Rektangelfördelning]]: längden av intervallet delat med hela längden.
>
> > [!tip]- Ledtråd 2
> > Höjden är $1/5{,}5$. Rita in $[2;\ 5{,}3]$ i din skiss.
> >
> > > [!tip]- Ledtråd 3
> > > Under $3$ är $f_\xi = 0$, så bara $[3;\ 5{,}3]$ bidrar.

> [!note]- Lösning
> ![[tenta260603-uppgift3-rektangel.png|480]]
>
> $$
> P(2\le\xi\le 5{,}3) = P(3\le\xi\le 5{,}3) = \dfrac{5{,}3 - 3}{5{,}5} = \dfrac{2{,}3}{5{,}5} = \boxed{41{,}82\ \%}
> $$
> Räknar man med hela längden $3{,}3$ blir svaret för stort. Det är därför uppgiften ber om en skiss.
>
> *Kontrollerat mot facit.*

---

## 4. Poissonfördelade svetsfel

I ett moment av en tillverkningsprocess ska två plåtar svetsas. I svetsarna uppstår dock fel som minskar hållfastheten. Om det visat sig rimligt att beskriva antalet fel per svets med en Poissonfördelning med väntevärde $6{,}2$, hur stor är då sannolikheten att det uppstår **högst 3** fel i en svets? Ange ditt svar i procent med en decimal.

*Totalpoäng: 2*

> [!tip]- Ledtråd 1
> [[Poissonfördelning]] med $\lambda = 6{,}2$.
>
> > [!tip]- Ledtråd 2
> > "Högst 3" är $P(\xi\le 3)$, fördelningsfunktionen i $3$.
> >
> > > [!tip]- Ledtråd 3
> > > Summera $e^{-6{,}2}6{,}2^k/k!$ för $k = 0,\dots,3$, eller använd `poissCdf`.

> [!note]- Lösning
> $$
> P(\xi\le 3) = \sum_{k=0}^{3} e^{-6{,}2}\dfrac{6{,}2^k}{k!} \approx \boxed{13{,}4\ \%}
> $$
>
> **På räknaren.** `poissCdf(6.2,0,3)`.
>
> *Kontrollerat mot facit.*

---

## 5. Normalfördelning: gränsen för de 2 % tyngsta

Kopieringspapper som används vid Luleå tekniska universitets institutioner har en förväntad vikt på $4{,}2$ gram per ark, med standardavvikelsen $0{,}02$ gram per ark. Vikterna antas kunna beskrivas med en normalfördelning. Bestäm vikten för det **lättaste av de 2 % tyngsta** arken. Ange ditt svar med två decimaler.

*Totalpoäng: 1*

> [!tip]- Ledtråd 1
> Det söks en kvantil i en [[Normalfördelning|normalfördelning]], inte en sannolikhet.
>
> > [!tip]- Ledtråd 2
> > Gränsen $x$ uppfyller $P(\xi > x) = 0{,}02$.
> >
> > > [!tip]- Ledtråd 3
> > > [[Standardiserad normalfördelning|Standardisera]]: $x = \mu + \lambda_{0{,}02}\,\sigma$ med $\lambda_{0{,}02}\approx 2{,}054$.

> [!note]- Lösning
> $$
> x = 4{,}2 + \lambda_{0{,}02}\cdot 0{,}02 = 4{,}2 + 2{,}054\cdot 0{,}02 \approx \boxed{4{,}24 \text{ g}}
> $$
>
> **På räknaren.** `invNorm(0.98,4.2,0.02)`.
>
> *Kontrollerat mot facit.*

---

## 6. Medelhalt i 40 prov

I ett bostadsområde vill man se om halten av ett kemiskt ämne är för hög. Förväntad halt under normala förhållanden är $0{,}18$ procent. Om prov tas ut på $40$ platser i området, hur stor är sannolikheten att genomsnittet i stickprovet då är **högst** $0{,}17$ procent? Utgå ifrån att standardavvikelsen i ett prov av detta slag är $0{,}07$ procent. Svara i procent med en decimal.

*Kommentar: Som vanligt får approximationer användas om sådana skulle kunna motiveras.*

*Totalpoäng: 2*

> [!tip]- Ledtråd 1
> Ett medelvärde av 40 oberoende prov: [[Centrala gränsvärdessatsen]].
>
> > [!tip]- Ledtråd 2
> > $\bar\xi\approx N(0{,}18;\ 0{,}07/\sqrt{40})$ ([[Medelvärdets fördelning]]).
> >
> > > [!tip]- Ledtråd 3
> > > Standardisera $0{,}17$ med medelfelet $0{,}0111$.

> [!note]- Lösning
> $$
> P(\bar\xi\le 0{,}17)\approx\Phi\!\left(\dfrac{0{,}17 - 0{,}18}{0{,}07/\sqrt{40}}\right) = \Phi(-0{,}904)\approx \boxed{18{,}3\ \%}
> $$
>
> *Kontrollerat mot facit. Lärarens facit anger $18{,}4\ \%$, som man får med tabellvärdet $\Phi(0{,}90)$.*

---

## 7. Standardavvikelse för en linjärkombination

Slumpvariablerna $\xi_1$ och $\xi_2$ är oberoende och har båda sannolikhetsfunktionen
$$
P(\xi_i = 0) = 0{,}2, \quad P(\xi_i = 1) = 0{,}6, \quad P(\xi_i = 2) = 0{,}2, \qquad i = 1, 2
$$
Låt $\eta = 2\xi_1 + 5\xi_2$. Bestäm **standardavvikelsen** för $\eta$. Svara med en decimal.

*Totalpoäng: 2*

> [!tip]- Ledtråd 1
> Räkna först $V(\xi_i)$ ur sannolikhetsfunktionen, sedan [[Linjära funktioner av stokastiska variabler|variansen för en linjärkombination]].
>
> > [!tip]- Ledtråd 2
> > $E(\xi_i) = 1$ av symmetri, och $V(\xi_i) = \sum (x-1)^2 P(\xi_i = x)$.
> >
> > > [!tip]- Ledtråd 3
> > > Oberoende: $V(2\xi_1 + 5\xi_2) = 4V(\xi_1) + 25V(\xi_2)$.

> [!note]- Lösning
> $E(\xi_i) = 1$ och
> $$
> V(\xi_i) = 1\cdot 0{,}2 + 0\cdot 0{,}6 + 1\cdot 0{,}2 = 0{,}4
> $$
> $$
> V(\eta) = 2^2\cdot 0{,}4 + 5^2\cdot 0{,}4 = 11{,}6, \qquad D(\eta) = \sqrt{11{,}6}\approx\boxed{3{,}4}
> $$
>
> *Kontrollerat mot facit.*

---

## 8. Kritisk gräns i ett $t$-test

En viss kapitalförvaltare påstår sig generera en avkastning som är $9\ \%$ i snitt. I tabellen ges förvaltarens avkastning under de senaste 10 åren:

| År | $-1$ | $-2$ | $-3$ | $-4$ | $-5$ | $-6$ | $-7$ | $-8$ | $-9$ | $-10$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Avkastning (%) | $18$ | $4$ | $-11$ | $8$ | $7$ | $6$ | $22$ | $7$ | $8$ | $3$ |

Man vill testa förvaltarens påstående om $9\ \%$ avkastning mot nollhypotesen att avkastningen i snitt är $7\ \%$, under antagandet att avkastningen är normalfördelad. Ett sätt är att utgå från testvariabeln
$$
t = \dfrac{\bar x - 7}{s/\sqrt{10}}
$$
där $\bar x = 7{,}2$ och $s = 8{,}8$ är medelvärde och standardavvikelse för avkastningen de 10 senaste åren. Nollhypotesen avfärdas om $t > k$, där $k$ är en konstant. Vilket värde ska $k$ ha för att testet ska få $1\ \%$ signifikansnivå? Svara med tre decimaler.

*Totalpoäng: 2*

> [!tip]- Ledtråd 1
> Under $H_0$ är testvariabeln [[t-fördelningen|$t$-fördelad]].
>
> > [!tip]- Ledtråd 2
> > $n = 10$ ger $9$ frihetsgrader. Testet är ensidigt.
> >
> > > [!tip]- Ledtråd 3
> > > $k = t_{0{,}01}(9)$, kvantilen med $1\ \%$ till höger.

> [!note]- Lösning
> Om $H_0:\ \mu = 7$ är sann är $t\in t(9)$. Med $P(t > k) = 0{,}01$ blir
> $$
> k = t_{0{,}01}(9) = \boxed{2{,}821}
> $$
>
> **På räknaren.** `invt(0.99,9)`.
>
> *Kontrollerat mot facit.*

---

## 9. Förvaltare mot index: stickprov i par

Den som sparar för framtiden gör klokt i att välja en global indexfond. Historiskt har den gett en avkastning på $7\ \%$ per år. Ett alternativ är att låta en kapitalförvaltare välja aktier. En viss förvaltare (samma som i uppgift 8) påstår sig generera högre avkastning än index. Tabellen jämför förvaltarens avkastning med index under de senaste 10 åren:

| År | $-1$ | $-2$ | $-3$ | $-4$ | $-5$ | $-6$ | $-7$ | $-8$ | $-9$ | $-10$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Indexfond (%) | $14$ | $2$ | $-5$ | $11$ | $4$ | $7$ | $18$ | $6$ | $10$ | $2$ |
| Förvaltare (%) | $18$ | $4$ | $-11$ | $8$ | $7$ | $6$ | $22$ | $7$ | $8$ | $3$ |
| Förvaltare − index (%) | $4$ | $2$ | $-6$ | $-3$ | $3$ | $-1$ | $4$ | $1$ | $-2$ | $1$ |

Skiljer sig förvaltarens avkastning från index i det långa loppet? Beräkna först ett lämpligt $90\ \%$ konfidensintervall för skillnaden i avkastning (förvaltare − index). Antag att avkastningen kan beskrivas med en normalfördelning. Om intervallet indikerar att förvaltarens avkastning skiljer sig från index ska du ange intervallets **nedre** gräns. Om intervallet **inte indikerar** någon skillnad anger du intervallets **övre** gräns.

*Totalpoäng: 3*

> [!tip]- Ledtråd 1
> Samma år för båda: [[Stickprov i par]].
>
> > [!tip]- Ledtråd 2
> > Använd differensraden som ett stickprov ur $N(\Delta,\sigma)$ och gör ett $t$-intervall.
> >
> > > [!tip]- Ledtråd 3
> > > Tvåsidigt $90\ \%$ med $n = 10$: $t_{0{,}05}(9) = 1{,}833$. Innehåller intervallet $0$?

> [!note]- Lösning
> Differenserna ger $\bar z = 0{,}3$ och $s_z = 3{,}268$.
> $$
> \bar z\pm t_{0{,}05}(9)\dfrac{s_z}{\sqrt{10}} = 0{,}3\pm 1{,}833\cdot 1{,}033 = [-1{,}59;\ 2{,}19]
> $$
> Intervallet innehåller $0$, så det indikerar ingen skillnad. Svaret är den övre gränsen, $\boxed{2{,}19}$.
>
> **På räknaren.** t Interval på differenslistan med C Level $0{,}9$.
>
> *Kontrollerat mot facit.*

---

## 10. Antal mätningar ur intervallets bredd

En viss mätmetod ger observationer som kan antas vara ett stickprov på en stokastisk variabel som är $N(\mu;\ 0{,}5)$-fördelad, där $\mu$ är konstanten man vill mäta. I en rapport presenterades ett konfidensintervall för $\mu$ med konfidensgraden $95\ \%$. Hur många mätningar hade gjorts om intervallet var $[7{,}804;\ 8{,}196]$? Svara med ett heltal.

*Totalpoäng: 2*

> [!tip]- Ledtråd 1
> Känd $\sigma$: intervallet är $\bar x\pm\lambda_{0{,}025}\,\sigma/\sqrt n$ ([[Konfidensintervall]]).
>
> > [!tip]- Ledtråd 2
> > Bredden är $2\lambda_{0{,}025}\,\sigma/\sqrt n$. Läs av bredden ur intervallet.
> >
> > > [!tip]- Ledtråd 3
> > > $8{,}196 - 7{,}804 = 0{,}392 = 2\cdot 1{,}96\cdot 0{,}5/\sqrt n$. Lös ut $n$.

> [!note]- Lösning
> $$
> 0{,}392 = \dfrac{2\cdot 1{,}96\cdot 0{,}5}{\sqrt n} \quad\Rightarrow\quad \sqrt n = \dfrac{1{,}96}{0{,}392} = 5 \quad\Rightarrow\quad n = \boxed{25}
> $$
>
> *Kontrollerat mot facit.*

---

## 11. Majas och Joels utgifter: skillnad i tvådimensionell normalfördelning

Majas och Joels utgifter för kursmaterial (enhet: kr) kan betraktas som slumpmässiga. Majas utgifter per månad har väntevärdet $490$ kr och standardavvikelsen $28$ kr, Joels har väntevärdet $450$ kr och standardavvikelsen $26$ kr. Utgifterna är beroende med korrelation $0{,}45$ och kan beskrivas med en tvådimensionell normalfördelning.

Vad är sannolikheten att Majas utgifter under en månad **överstiger** Joels? Ange ditt svar i procent med två decimaler.

*Totalpoäng: 2*

> [!tip]- Ledtråd 1
> Skriv händelsen som $\xi_1 - \xi_2 > 0$. En linjärkombination i en [[Tvådimensionell normalfördelning|tvådimensionell normalfördelning]] är normalfördelad.
>
> > [!tip]- Ledtråd 2
> > $E(\xi_1 - \xi_2) = 40$. Variansen har en [[Kovarians|kovariansterm]].
> >
> > > [!tip]- Ledtråd 3
> > > $V(\xi_1 - \xi_2) = \sigma_1^2 + \sigma_2^2 - 2\rho\,\sigma_1\sigma_2$.

> [!note]- Lösning
> $$
> V(\xi_1 - \xi_2) = 28^2 + 26^2 - 2\cdot 0{,}45\cdot 28\cdot 26 = 804{,}8, \qquad D = 28{,}37
> $$
> $$
> P(\xi_1 - \xi_2 > 0) = 1 - \Phi\!\left(\dfrac{0 - 40}{28{,}37}\right) = \Phi(1{,}410)\approx\boxed{92{,}07\ \%}
> $$
>
> *Kontrollerat mot facit.*

---

## 12. Betingat väntevärde ur en simultan sannolikhetsfunktion

En student ska skriva två tentor. Låt $\xi_1$ och $\xi_2$ stå för resultatet på tenta 1 respektive tenta 2. Det gäller att $\xi_1 = 0$ eller $1$ (där $\xi_1 = 1$ motsvarar godkänd) och att $\xi_2 = 3$, $4$ eller $5$. Den simultana sannolikhetsfunktionen är
$$
p(x_1, x_2) = \dfrac{C}{1 + x_1 + x_2}
$$
där $C$ är en konstant vars värde du kan börja med att bestämma. Beräkna det betingade väntevärdet $E(\xi_2\mid\xi_1 = 1)$. Svara med två decimaler.

*Totalpoäng: 3*

> [!tip]- Ledtråd 1
> [[Betingad fördelning och betingat väntevärde|Betingad fördelning]]: ta raden $\xi_1 = 1$ och normera den.
>
> > [!tip]- Ledtråd 2
> > $C$ bestäms av att alla sex sannolikheter summerar till $1$.
> >
> > > [!tip]- Ledtråd 3
> > > $C$ tar ut sig i den betingade fördelningen: vikterna blir $\tfrac15, \tfrac16, \tfrac17$ normerade.

> [!note]- Lösning
> **Konstanten.**
> $$
> C\left(\dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{5} + \dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{5} + \dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{7}\right) = 1 \quad\Rightarrow\quad C\approx 0{,}8879
> $$
> **Den betingade fördelningen.** $P(\xi_1 = 1) = C\left(\tfrac15 + \tfrac16 + \tfrac17\right) = 0{,}4524$, och
> $$
> P(\xi_2 = x\mid\xi_1 = 1) = \dfrac{C/(2 + x)}{0{,}4524}, \qquad x = 3, 4, 5
> $$
> **Väntevärdet.**
> $$
> E(\xi_2\mid\xi_1 = 1) = \dfrac{3\cdot\dfrac{1}{5} + 4\cdot\dfrac{1}{6} + 5\cdot\dfrac{1}{7}}{\dfrac{1}{5} + \dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{7}} = \dfrac{1{,}9810}{0{,}5095}\approx\boxed{3{,}89}
> $$
>
> *Kontrollerat mot facit. Lärarens lösning skriver nämnaren som $0{,}54757$, vilket är $P(\xi_1 = 0)$, men svaret $3{,}89$ stämmer.*

---

## 13. Del 2: ett bättre test med differenser

*Uppgift 13 fortsätter med situationen från uppgift 8–9.* I uppgift 8 bestämde du ett test av påståendet att förvaltaren gör $9\ \%$ i avkastning. Testet kan förbättras med informationen i uppgift 9. Beskriv ett sådant bättre test av hypoteserna i uppgift 8, där nollhypotesen är att avkastningen i snitt är $7\ \%$ och mothypotesen att den i snitt är $9\ \%$. Kan nollhypotesen avfärdas på $1\ \%$ signifikansnivå?

*Totalpoäng: 10*

> [!tip]- Ledtråd 1
> Varför är differenserna mot index bättre än förvaltarens avkastning ensam? Vad tar de bort?
>
> > [!tip]- Ledtråd 2
> > [[Stickprov i par]]: $z_i$ = förvaltare − index är ett stickprov ur $N(\Delta,\sigma)$. Index gör i snitt $7\ \%$, så $H_0:\ \Delta = 0$ mot $H_1:\ \Delta = 2$.
> >
> > > [!tip]- Ledtråd 3
> > > Testvariabeln $t = \bar z/(s_z/\sqrt{10})$ är $t(9)$ under $H_0$. Förkasta om $t > t_{0{,}01}(9) = 2{,}821$.

> [!note]- Lösning
> **Varför bättre.** Förvaltarens avkastning svänger kraftigt med börsen. Differensen mot index tar bort den gemensamma variationen, så spridningen blir mycket mindre ($s_z = 3{,}27$ mot $s = 8{,}80$). Ett test med mindre spridning har större styrka.
>
> **Modell.** $z_i$ = förvaltarens avkastning − index år $i$, $z_i\in N(\Delta,\sigma)$ oberoende, $i = 1,\dots,10$, med $\sigma$ okänd.
>
> **Hypoteser.** $H_0:\ \Delta = 0$ (förvaltaren gör som index, $7\ \%$) mot $H_1:\ \Delta = 2$ (förvaltaren gör $9\ \%$).
>
> **Test.** $t = \dfrac{\bar z}{s_z/\sqrt{10}}$ är $t(9)$-fördelad under $H_0$. Förkasta $H_0$ om $t > t_{0{,}01}(9) = 2{,}821$.
>
> **Räkning.** $\bar z = 0{,}3$ och $s_z = 3{,}268$, så
> $$
> t = \dfrac{0{,}3}{3{,}268/\sqrt{10}}\approx 0{,}29 < 2{,}821
> $$
>
> **Slutsats.** $H_0$ kan **inte** förkastas på $1\ \%$-nivån. Det finns inget stöd för att förvaltaren slår index.
>
> Man kan också använda ett **ensidigt** konfidensintervall för $\Delta$ och se om det innehåller $0$.
>
> *Kontrollerat mot facit. Lärarens lösning anger $t = 0{,}1935$; med differenserna i tabellen blir $t = 0{,}29$. Slutsatsen är densamma.*

---

## 14. Del 2: parvis oberoende men inte oberoende

På ena sidan av ett tiokronorsmynt visas "10" och på den andra kung Carl XVI Gustaf. Tänk dig att du kastar två tiokronorsmynt. Låt $A_1$ vara händelsen att det första visar kungen, $A_2$ händelsen att det andra visar kungen, och $A_3$ händelsen att **exakt ett** av de två mynten visar kungen. Då gäller att $A_1$ och $A_2$ är oberoende och $P(A_i) = 0{,}5$, $i = 1, 2, 3$.

**a)** Visa att $A_1$ och $A_3$ är oberoende och att även $A_2$ och $A_3$ är oberoende.

**b)** Visa att händelserna $A_1, A_2, A_3$ inte är oberoende, det vill säga att $P(A_1\cap A_2\cap A_3)\ne P(A_1)P(A_2)P(A_3)$.

*Kommentar: Uppgiften visar att oberoende inte är samma sak som parvis oberoende.*

*Totalpoäng: 10*

> [!tip]- Ledtråd 1
> [[Oberoende händelser|Oberoende]] betyder att sannolikheten för snittet är produkten.
>
> > [!tip]- Ledtråd 2
> > Visa $P(A_1\cap A_3) = \tfrac14$. Vad betyder "första visar kungen och exakt en visar kungen"?
> >
> > > [!tip]- Ledtråd 3
> > > $A_1\cap A_3 = A_1\cap A_2^c$. För b): kan båda visa kungen *och* exakt ett visa kungen?

> [!note]- Lösning
> **a)** $A_1\cap A_3$ betyder att första myntet visar kungen och exakt ett gör det, alltså att andra visar $10$: $A_1\cap A_3 = A_1\cap A_2^c$. Eftersom $A_1$ och $A_2$ är oberoende är också $A_1$ och $A_2^c$ det, så
> $$
> P(A_1\cap A_3) = P(A_1)P(A_2^c) = \dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{4} = P(A_1)P(A_3)
> $$
> $A_1$ och $A_3$ är alltså oberoende. På samma sätt är $A_2\cap A_3 = A_1^c\cap A_2$ med sannolikheten $\tfrac14 = P(A_2)P(A_3)$.
>
> **b)** $A_1\cap A_2\cap A_3$ kräver att båda mynten visar kungen och att exakt ett gör det, vilket är omöjligt:
> $$
> P(A_1\cap A_2\cap A_3) = 0 \ne \dfrac{1}{8} = P(A_1)P(A_2)P(A_3)
> $$
> Händelserna är parvis oberoende men inte oberoende.
>
> *Kontrollerat mot facit.*

---

## 15. Del 2: lön, kroppsvikt och kön

Om vi betraktar variablerna $y$ = månadslön och $x$ = kön, där $x = 0$ för kvinnor och $x = 1$ för män, så finner man vanligtvis en positiv korrelation. Detsamma gäller om vi betraktar $y$ = månadslön och $x$ = kroppsvikt: vanligtvis finner man även då en positiv korrelation.

Kan det faktum att det finns en positiv korrelation mellan lön och kroppsvikt tolkas som att smala personer diskrimineras? Förklara. (Endast svar i form av ja/nej ger 0 poäng.)

*Totalpoäng: 10*

> [!tip]- Ledtråd 1
> [[Korrelation]] är inte orsak. Uppgiften ger själv en tredje variabel.
>
> > [!tip]- Ledtråd 2
> > Hur hänger kön ihop med både vikt och lön?
> >
> > > [!tip]- Ledtråd 3
> > > Finns det fler variabler som ökar både lön och vikt, till exempel med åldern?

> [!note]- Lösning
> Nej, korrelationen visar inte att smala personer diskrimineras.
>
> - **Kön som bakomliggande variabel.** Män väger i genomsnitt mer än kvinnor och har i genomsnitt högre lön. Om man bortser från kön ser det därför ut som att högre vikt hänger ihop med högre lön, även om vikten i sig inte påverkar lönen.
> - **Ålder och erfarenhet.** Både lön och vikt tenderar att öka med åldern, vilket också ger en positiv korrelation utan orsakssamband.
>
> För att säga något om diskriminering måste man jämföra personer som är lika i kön, ålder, yrke och erfarenhet men olika i vikt.
>
> *Kontrollerat mot facit.*

---

## Se även

- [[S0008M]]
- [[Betingad sannolikhet]]
- [[Exponentialfördelning]]
- [[Poissonfördelning]]
- [[Centrala gränsvärdessatsen]]
- [[Linjära funktioner av stokastiska variabler]]
- [[Stickprov i par]]
- [[Tvådimensionell normalfördelning]]
- [[Betingad fördelning och betingat väntevärde]]
- [[Oberoende händelser]]
- [[Korrelation]]