---
kurs:
  - M0065M
tags:
  - tenta
  - matematik
  - envariabelanalys
status: utkast
datum: 2024-10-30
typ: tenta
aliases:
  - Tenta M0047M 2024-10-30
---
> **Kurs:** [[M0065M]] — Envariabelanalys 1
> **Datum:** 2024-10-30
> **Källa:** originaltentamen och lärarens lösningar (m0047m_241030.pdf, m0047m_241030sols.pdf)
> *M0047M är föregångaren till M0065M med samma innehåll.*

> [!abstract] Översikt
> - Uppgift 1: induktionsbevis för en formel för $n$:te derivatan av $(x^2 + x)e^x$
> - Uppgift 2: tre gränsvärden: $\sqrt[n]{n}$, faktorisering och dubbla vinkeln
> - Uppgift 3: tangenter till $y = x + \dfrac1x$ genom en punkt utanför kurvan
> - Uppgift 4: invers till $\sqrt{x + 1}$, en sammansatt ekvation och skärning mellan $f$ och $f^{-1}$
> - Uppgift 5: extremvärden, inflexionspunkter, asymptoter och värdemängd för $(x^2 + 2)(x + 1)e^{-x}$
> - Uppgift 6: rektangeln med största omkrets inskriven i en ellips

> [!tip] Så använder du sidan
> Försök själv först. Ledtråd 1 säger vilken sorts uppgift det är, ledtråd 2 (inuti ledtråd 1) ger modellen och ledtråd 3 (inuti ledtråd 2) nyckelsteget. **Lösning** är hela uträkningen, kontrollerad mot lärarens facit.

---

## 1. Induktionsbevis för en högre derivata

Bevisa med induktion att det för alla heltal $n = 1, 2, 3, \ldots$ gäller att
$$
\dfrac{d^n}{dx^n}\left(\left(x^2 + x\right)e^x\right) = \left(x^2 + (2n + 1)x + n^2\right)e^x.
$$

*Totalpoäng: 5*

> [!tip]- Ledtråd 1
> Ett bevis med [[Matematisk induktion|matematisk induktion]] där induktionssteget är en derivering med [[Deriveringsregler|produktregeln]].
>
> > [!tip]- Ledtråd 2
> > Visa basfallet $n = 1$. Anta sedan att formeln gäller för $n = p$ och derivera båda led en gång till: $\dfrac{d^{p+1}}{dx^{p+1}} = \dfrac{d}{dx}\dfrac{d^p}{dx^p}$.
> >
> > > [!tip]- Ledtråd 3
> > > $\dfrac{d}{dx}\left(\left(x^2 + (2p + 1)x + p^2\right)e^x\right) = \left(x^2 + (2p + 3)x + p^2 + 2p + 1\right)e^x$. Känn igen $2(p + 1) + 1$ och $(p + 1)^2$.

> [!note]- Lösning
> **Basfall $n = 1$.** Produktregeln ger
> $$
> \dfrac{d}{dx}\left(\left(x^2 + x\right)e^x\right) = (2x + 1)e^x + \left(x^2 + x\right)e^x = \left(x^2 + 3x + 1\right)e^x = \left(x^2 + (2\cdot 1 + 1)x + 1^2\right)e^x
> $$
> så formeln gäller för $n = 1$.
>
> **Induktionssteg.** Anta att formeln gäller för $n = p$ (induktionsantagandet):
> $$
> \dfrac{d^p}{dx^p}\left(\left(x^2 + x\right)e^x\right) = \left(x^2 + (2p + 1)x + p^2\right)e^x
> $$
> Då är
> $$
> \begin{aligned}
> \dfrac{d^{p+1}}{dx^{p+1}}\left(\left(x^2 + x\right)e^x\right) &= \dfrac{d}{dx}\left(\left(x^2 + (2p + 1)x + p^2\right)e^x\right)\\
> &= (2x + 2p + 1)e^x + \left(x^2 + (2p + 1)x + p^2\right)e^x\\
> &= \left(x^2 + (2p + 3)x + p^2 + 2p + 1\right)e^x\\
> &= \left(x^2 + (2(p + 1) + 1)x + (p + 1)^2\right)e^x
> \end{aligned}
> $$
> vilket är formeln för $n = p + 1$.
>
> **Slutsats.** Formeln gäller för $n = 1$, och om den gäller för $n = p$ gäller den för $n = p + 1$. Enligt induktionsprincipen gäller den för alla heltal $n\ge 1$:
> $$
> \boxed{\dfrac{d^n}{dx^n}\left(\left(x^2 + x\right)e^x\right) = \left(x^2 + (2n + 1)x + n^2\right)e^x, \quad n = 1, 2, 3, \ldots}
> $$
>
> *Kontrollerat mot facit.*

---

## 2. Tre gränsvärden

Avgör huruvida följande (även oegentliga) gränsvärden existerar och om så, bestäm dem (utan hjälp av l'Hôpitals regler):

(a)
$$
\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{n}.
$$
*(1p)*

(b)
$$
\lim_{x\to 2}\dfrac{x^4 - 16}{x - 2}.
$$
*(2p)*

(c)
$$
\lim_{x\to 0}\dfrac{1 - \cos 2x}{1 - \cos x}.
$$
*(2p)*

*Totalpoäng: 5*

> [!tip]- Ledtråd 1
> (a) är ett [[Oegentliga gränsvärden|gränsvärde mot oändligheten]] som skrivs om med [[Exponentialfunktioner och logaritmer|logaritmer]]; (b) och (c) är [[Gränsvärden|gränsvärden]] av typen $\tfrac00$ som ska förenklas.
>
> > [!tip]- Ledtråd 2
> > (a) Skriv $\sqrt[n]{n} = n^{1/n} = e^{\ln n/n}$. (b) Faktorisera täljaren som konjugat två gånger. (c) Skriv $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$ ([[Trigonometri]]).
> >
> > > [!tip]- Ledtråd 3
> > > (a) Standardgränsvärdet $\dfrac{\ln n}{n}\to 0$. (b) $x^4 - 16 = (x - 2)(x + 2)(x^2 + 4)$. (c) Täljaren blir $2(1 - \cos x)(1 + \cos x)$.

> [!note]- Lösning
> **(a)** $\sqrt[n]{n} = n^{1/n} = e^{\ln n/n}$. Eftersom exponentialfunktionen är kontinuerlig och $\dfrac{\ln n}{n}\to 0$ (standardgränsvärde) är
> $$
> \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{n} = e^{\lim_{n\to\infty}\ln n/n} = e^0 = \boxed{1}
> $$
>
> **(b)** Faktorisering:
> $$
> \dfrac{x^4 - 16}{x - 2} = \dfrac{\left(x^2 - 4\right)\left(x^2 + 4\right)}{x - 2} = \dfrac{(x - 2)(x + 2)\left(x^2 + 4\right)}{x - 2} = (x + 2)\left(x^2 + 4\right)
> $$
> för $x\ne 2$, så
> $$
> \lim_{x\to 2}\dfrac{x^4 - 16}{x - 2} = 4\cdot 8 = \boxed{32}
> $$
> (Gränsvärdet är också derivatan av $x^4$ i $x = 2$, alltså $4\cdot 2^3 = 32$.)
>
> **(c)** Med $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$:
> $$
> \dfrac{1 - \cos 2x}{1 - \cos x} = \dfrac{2 - 2\cos^2 x}{1 - \cos x} = \dfrac{2(1 - \cos x)(1 + \cos x)}{1 - \cos x} = 2(1 + \cos x)
> $$
> för $x$ nära men skilt från $0$, så
> $$
> \lim_{x\to 0}\dfrac{1 - \cos 2x}{1 - \cos x} = 2(1 + 1) = \boxed{4}
> $$
>
> *Kontrollerat mot facit.*

---

## 3. Tangenter till $x + 1/x$ genom en punkt utanför kurvan

Finn alla tangenter till kurvan
$$
y = f(x) = x + \dfrac1x
$$
som går genom punkten $P = \left(-\dfrac43, 0\right)$. **Ledning:** *ligger $P$ på kurvan?*

*Totalpoäng: 5*

> [!tip]- Ledtråd 1
> Tangentens ekvation med [[Derivata|derivatan]] som lutning, men tangeringspunkten är okänd.
>
> > [!tip]- Ledtråd 2
> > $f\left(-\dfrac43\right) = -\dfrac{25}{12}\ne 0$, så $P$ ligger inte på kurvan. Låt tangeringspunkten vara $(a, f(a))$; tangenten är $y = f(a) + f'(a)(x - a)$.
> >
> > > [!tip]- Ledtråd 3
> > > Tangenten blir $y = \left(1 - \dfrac{1}{a^2}\right)x + \dfrac2a$. Kravet att $P$ ligger på den ger $2a^2 - 3a - 2 = 0$.

> [!note]- Lösning
> $f\left(-\dfrac43\right) = -\dfrac43 - \dfrac34 = -\dfrac{25}{12}\ne 0$, så $P$ är ingen tangeringspunkt. Låt tangeringspunkten vara $\left(a, a + \dfrac1a\right)$, $a\ne 0$. Då är $f'(a) = 1 - \dfrac{1}{a^2}$ och enpunktsformeln ger
> $$
> y = a + \dfrac1a + \left(1 - \dfrac{1}{a^2}\right)(x - a) = \left(1 - \dfrac{1}{a^2}\right)x + \dfrac2a
> $$
> Tangenten ska gå genom $\left(-\dfrac43, 0\right)$. Multiplicera med $3a^2$:
> $$
> 0 = -\dfrac43\left(1 - \dfrac{1}{a^2}\right) + \dfrac2a \iff 0 = -4\left(a^2 - 1\right) + 6a \iff 2a^2 - 3a - 2 = (2a + 1)(a - 2) = 0
> $$
> $a = -\dfrac12$ ger lutningen $1 - 4 = -3$ och $\dfrac2a = -4$; $a = 2$ ger lutningen $1 - \dfrac14 = \dfrac34$ och $\dfrac2a = 1$:
> $$
> \boxed{y = -3x - 4 \quad\text{och}\quad y = \dfrac34x + 1}
> $$
> Tangeringspunkterna är $\left(-\dfrac12, -\dfrac52\right)$ och $\left(2, \dfrac52\right)$.
>
> *Kontrollerat mot facit.*

---

## 4. Invers till $\sqrt{x + 1}$

Betrakta funktionen
$$
y = f(x) = \sqrt{x + 1}, \quad x\ge -1.
$$

(a) Visa att $f$ är inverterbar. Finn inversen $f^{-1}$ till $f$. Vad är definitionsmängden $D\left(f^{-1}\right)$ för inversen? *(2p)*

(b) Lös ekvationen
$$
f(f(f(x))) = 2.
$$
*(1p)*

(c) Finn alla $x\in D(f)\cap D\left(f^{-1}\right)$ som uppfyller ekvationen
$$
f(x) = f^{-1}(x).
$$
**Ledning:** *hur förhåller sig grafen av $y = f(x)$ till grafen av $y = f^{-1}(x)$?* *(2p)*

*Totalpoäng: 5*

> [!tip]- Ledtråd 1
> En uppgift om [[Funktioner och invers|inversa funktioner]]: injektivitet, värdemängd och spegling i $y = x$.
>
> > [!tip]- Ledtråd 2
> > (a) Visa att $f(x_1) = f(x_2)\Rightarrow x_1 = x_2$ (eller att $f$ är strängt växande). Lös $x = \sqrt{y + 1}$ för $y$; $D\left(f^{-1}\right) = V(f)$. (b) Använd $f^{-1}$ tre gånger. (c) Graferna är spegelbilder i $y = x$.
> >
> > > [!tip]- Ledtråd 3
> > > (a) $f^{-1}(x) = x^2 - 1$ för $x\ge 0$. (c) En skärningspunkt ligger på $y = x$, så lös $x^2 - 1 = x$ och kontrollera att roten ligger i $[0, \infty)$.

> [!note]- Lösning
> **(a)** Om $f(x_1) = f(x_2)$ är $\sqrt{x_1 + 1} = \sqrt{x_2 + 1}$; kvadrering ger $x_1 + 1 = x_2 + 1$, alltså $x_1 = x_2$. $f$ är injektiv och därmed inverterbar. (Alternativt: $f'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{x + 1}} > 0$ för $x > -1$, så $f$ är strängt växande.)
>
> $f(-1) = 0$ och $f(x)$ växer kontinuerligt mot $\infty$, så $V(f) = [0, \infty)$. För inversen: $x = \sqrt{y + 1}$ med $x\ge 0$ ger $x^2 = y + 1$, dvs. $y = x^2 - 1$.
> $$
> \boxed{f^{-1}(x) = x^2 - 1, \quad D\left(f^{-1}\right) = [0, \infty)}
> $$
>
> **(b)** Använd $f^{-1}$ på båda led tre gånger:
> $$
> f(f(x)) = f^{-1}(2) = 3, \qquad f(x) = f^{-1}(3) = 8, \qquad x = f^{-1}(8) = 63
> $$
> Kontroll: $f(63) = 8$, $f(8) = 3$, $f(3) = 2$.
> $$
> \boxed{x = 63}
> $$
>
> **(c)** $D(f)\cap D\left(f^{-1}\right) = [-1, \infty)\cap[0, \infty) = [0, \infty)$. Grafen till $f^{-1}$ är spegelbilden av grafen till $f$ i linjen $y = x$. Eftersom $f$ är strängt växande ligger en skärningspunkt på $y = x$, så $f(x) = x = f^{-1}(x)$:
> $$
> x^2 - 1 = x \iff x^2 - x - 1 = 0 \iff x = \dfrac{1\pm\sqrt5}{2}
> $$
> Eftersom $\sqrt5 > 1$ är $\dfrac{1 - \sqrt5}{2} < 0$ och ligger utanför $[0, \infty)$. För $x = \dfrac{1 + \sqrt5}{2}$ är $x^2 = x + 1$, så $f(x) = \sqrt{x^2} = x = f^{-1}(x)$.
>
> Direkt kontroll: $\sqrt{x + 1} = x^2 - 1$ ger efter kvadrering $x^4 - 2x^2 - x = x(x + 1)\left(x^2 - x - 1\right) = 0$. Roten $x = 0$ är falsk ($f(0) = 1$ men $f^{-1}(0) = -1$), och $x = -1$ ligger utanför $[0, \infty)$.
> $$
> \boxed{x = \dfrac{1 + \sqrt5}{2}}
> $$
>
> *Kontrollerat mot facit.*

---

## 5. Kurvan $(x^2 + 2)(x + 1)e^{-x}$

Definiera funktionen
$$
y = f(x) = \left(x^2 + 2\right)(x + 1)e^{-x}.
$$
Bestäm lokala extremvärden, inflexionspunkter och asymptoter till kurvan. Ställ upp ordentliga teckenscheman. Ange funktionens värdemängd $R(f)$. Skissera kurvan.

*Totalpoäng: 5*

> [!tip]- Ledtråd 1
> [[Grafritning och asymptoter|Kurvundersökning]]: gränsvärden i $\pm\infty$, derivata för [[Extremvärden|extremvärden]] och [[Andraderivata och konvexitet|andraderivata]] för inflexionspunkter.
>
> > [!tip]- Ledtråd 2
> > $f$ är definierad på hela $\mathbb{R}$, så lodräta asymptoter saknas. Undersök $\lim_{x\to\pm\infty}f(x)$ och, åt vänster, $\lim f(x)/x$. Derivera $f = \left(x^3 + x^2 + 2x + 2\right)e^{-x}$ med produktregeln, två gånger.
> >
> > > [!tip]- Ledtråd 3
> > > $f'(x) = x^2(2 - x)e^{-x}$ och $f''(x) = x(x - 1)(x - 4)e^{-x}$. Observera att $f'$ inte byter tecken i $x = 0$.

> [!note]- Lösning
> **Asymptoter.** $f$ är kontinuerlig på $\mathbb{R}$, så lodräta asymptoter saknas. Med $f(x) = \left(1 + \dfrac1x + \dfrac{2}{x^2} + \dfrac{2}{x^3}\right)x^3e^{-x}$ gäller
> $$
> \lim_{x\to\infty}f(x) = 1\cdot 0 = 0, \qquad \lim_{x\to -\infty}f(x) = -\infty
> $$
> eftersom exponentialfunktionen dominerar potensfunktionen åt höger. Alltså är $y = 0$ vågrät asymptot åt höger. Åt vänster är
> $$
> \lim_{x\to -\infty}\dfrac{f(x)}{x} = \lim_{x\to -\infty}\left(1 + \dfrac1x + \dfrac{2}{x^2} + \dfrac{2}{x^3}\right)x^2e^{-x} = +\infty
> $$
> så där finns ingen sned asymptot.
>
> **Derivata.** $f(x) = \left(x^3 + x^2 + 2x + 2\right)e^{-x}$ ger
> $$
> f'(x) = \left(3x^2 + 2x + 2\right)e^{-x} - \left(x^3 + x^2 + 2x + 2\right)e^{-x} = \left(-x^3 + 2x^2\right)e^{-x} = x^2(2 - x)e^{-x}
> $$
> Kritiska punkter: $x = 0$ och $x = 2$.
>
> | | $x < 0$ | $0$ | $0 < x < 2$ | $2$ | $x > 2$ |
> |---|---|---|---|---|---|
> | $x^2$ | $+$ | $0$ | $+$ | $+$ | $+$ |
> | $2 - x$ | $+$ | $+$ | $+$ | $0$ | $-$ |
> | $e^{-x}$ | $+$ | $+$ | $+$ | $+$ | $+$ |
> | $f'(x)$ | $+$ | $0$ | $+$ | $0$ | $-$ |
> | $f(x)$ | $\nearrow$ | terrass | $\nearrow$ | lok. max | $\searrow$ |
>
> **Andraderivata.**
> $$
> f''(x) = \left(-3x^2 + 4x\right)e^{-x} - \left(-x^3 + 2x^2\right)e^{-x} = \left(x^3 - 5x^2 + 4x\right)e^{-x} = x(x - 1)(x - 4)e^{-x}
> $$
>
> | | $x < 0$ | $0$ | $0 < x < 1$ | $1$ | $1 < x < 4$ | $4$ | $x > 4$ |
> |---|---|---|---|---|---|---|---|
> | $x$ | $-$ | $0$ | $+$ | $+$ | $+$ | $+$ | $+$ |
> | $x - 1$ | $-$ | $-$ | $-$ | $0$ | $+$ | $+$ | $+$ |
> | $x - 4$ | $-$ | $-$ | $-$ | $-$ | $-$ | $0$ | $+$ |
> | $e^{-x}$ | $+$ | $+$ | $+$ | $+$ | $+$ | $+$ | $+$ |
> | $f''(x)$ | $-$ | $0$ | $+$ | $0$ | $-$ | $0$ | $+$ |
> | $f(x)$ | konkav | infl. | konvex | infl. | konkav | infl. | konvex |
>
> $f''$ byter tecken i alla tre nollställena, så alla tre är inflexionspunkter. $f(0) = 2$, $f(1) = \dfrac6e$ och $f(4) = \dfrac{90}{e^4}$.
> $$
> \boxed{\text{lok. max } f(2) = \dfrac{18}{e^2}; \text{ terrasspunkt } (0, 2); \text{ inga lokala minimum}}
> $$
> $$
> \boxed{\text{inflexionspunkter } (0, 2),\ \left(1, \dfrac6e\right),\ \left(4, \dfrac{90}{e^4}\right)}
> $$
> $$
> \boxed{\text{asymptot } y = 0 \text{ då } x\to\infty; \text{ inga andra asymptoter}}
> $$
>
> **Värdemängd.** $f$ är växande på $(-\infty, 2]$ och avtagande på $[2, \infty)$, så $f(2) = \dfrac{18}{e^2}$ är globalt maximum. Eftersom $f\to -\infty$ åt vänster och $f$ är kontinuerlig antas alla värden under maximum:
> $$
> \boxed{R(f) = \left(-\infty, \dfrac{18}{e^2}\right]}
> $$
> Nollstället är $x = -1$; $f(x) < 0$ för $x < -1$ och $f(x) > 0$ för $x > -1$, eftersom $x^2 + 2 > 0$ och $e^{-x} > 0$.
>
> **Skiss.**
>
> ![[tenta241030-uppgift5-kurva.png|520]]
>
> *Kontrollerat mot facit.*

---

## 6. Rektangel med största omkrets i en ellips

En rektangel skall inskrivas i ellipsen
$$
\dfrac{x^2}{4} + y^2 = 1,
$$
se nedanstående figur.

Hur skall rektangelns sidor väljas för att dess omkrets ska maximeras? Vad är den maximala omkretsen av denna inskrivna rektangel?

![[m47-ellips-rektangel.png|520]]

*Figuren är omritad efter originalet (hörnet här godtyckligt valt).*

*Totalpoäng: 5*

> [!tip]- Ledtråd 1
> En optimeringsuppgift: [[Extremvärden|största värde]] av en kontinuerlig funktion på ett slutet, begränsat intervall.
>
> > [!tip]- Ledtråd 2
> > Låt hörnet i första kvadranten vara $(x, y)$ med $0\le x\le 2$. Då är $y = \dfrac12\sqrt{4 - x^2}$ och omkretsen $P(x) = 4x + 4y = 4x + 2\sqrt{4 - x^2}$.
> >
> > > [!tip]- Ledtråd 3
> > > $P'(x) = 4 - \dfrac{2x}{\sqrt{4 - x^2}} = 0 \iff 2\sqrt{4 - x^2} = x$. Jämför det kritiska värdet med ändpunkterna $P(0)$ och $P(2)$.

> [!note]- Lösning
> Rektangeln är symmetrisk kring axlarna. Låt hörnet i första kvadranten vara $(x, y)$ på ellipsen, med $0\le x\le 2$. Då är $y = \sqrt{1 - \dfrac{x^2}{4}} = \dfrac12\sqrt{4 - x^2}$, sidorna är $2x$ och $2y$, och omkretsen är
> $$
> P(x) = 2(2x + 2y) = 4x + 2\sqrt{4 - x^2}, \quad 0\le x\le 2
> $$
> $P$ är kontinuerlig på det slutna, begränsade intervallet, så ett största värde finns. Ändpunkterna ger $P(0) = 4$ och $P(2) = 8$. För $0 < x < 2$ är
> $$
> P'(x) = 4 - \dfrac{2x}{\sqrt{4 - x^2}} = 0 \iff 2\sqrt{4 - x^2} = x \iff 4\left(4 - x^2\right) = x^2 \iff x^2 = \dfrac{16}{5}
> $$
> med $x > 0$, alltså $x = \dfrac{4}{\sqrt5}$. Då är $y = \dfrac12\sqrt{4 - \dfrac{16}{5}} = \dfrac{1}{\sqrt5}$ och
> $$
> P\left(\dfrac{4}{\sqrt5}\right) = \dfrac{16}{\sqrt5} + \dfrac{4}{\sqrt5} = \dfrac{20}{\sqrt5} = 4\sqrt5
> $$
> Eftersom $4\sqrt5 = \sqrt{80} > \sqrt{64} = 8$ är detta större än båda ändpunktsvärdena, så maximum antas här. (Också $P''(x) = -\dfrac{8}{\left(4 - x^2\right)^{3/2}} < 0$.)
>
> Rektangelns sidor är $2x$ och $2y$:
> $$
> \boxed{\text{sidorna } \dfrac{8}{\sqrt5} \text{ och } \dfrac{2}{\sqrt5}, \quad P_{\max} = 4\sqrt5 \text{ l.e.}}
> $$
> Hörnen ligger alltså i $\left(\pm\dfrac{4}{\sqrt5}, \pm\dfrac{1}{\sqrt5}\right)$.
>
> *Kontrollerat mot facit. Lärarens lösning anger "sidor" $x = \dfrac{4}{\sqrt5}$ och $y = \dfrac{1}{\sqrt5}$; det är halva sidorna (hörnets koordinater), och omkretsen $4\sqrt5$ stämmer.*

---

## Se även

- [[M0065M]]
- [[Matematisk induktion]]
- [[Deriveringsregler]]
- [[Gränsvärden]]
- [[Oegentliga gränsvärden]]
- [[Trigonometri]]
- [[Derivata]]
- [[Funktioner och invers]]
- [[Extremvärden]]
- [[Grafritning och asymptoter]]
- [[Andraderivata och konvexitet]]