---
kurs:
  - M0065M
tags:
  - tenta
  - matematik
  - envariabelanalys
status: utkast
datum: 2023-10-26
typ: tenta
aliases:
  - Tenta M0047M 2023-10-26
---
> **Kurs:** [[M0065M]] — Envariabelanalys 1
> **Datum:** 2023-10-26
> **Källa:** originaltentamen och lärarens lösningar (m0047m_231026.pdf, m0047m_231026sols.pdf)
> *M0047M är föregångaren till M0065M med samma innehåll.*

> [!abstract] Översikt
> - Uppgift 1: koefficienten för $x^8$ i $\left(x^2 - \dfrac{2}{x^3}\right)^9$ och antalet handskakningar mellan nio personer
> - Uppgift 2: tre gränsvärden: $\dfrac{\sin 4x}{\tan x}$, ett rotuttryck och arcustangens av en kvot i oändligheten
> - Uppgift 3: alla normallinjer till $y = x^2 - 2x$ genom punkten $\left(1, \frac72\right)$
> - Uppgift 4: injektivitet, värdemängd och invers för $\sqrt{3x + 13} - \sqrt{3x - 3}$
> - Uppgift 5: extremvärden, inflexionspunkter, asymptoter och värdemängd för $\dfrac{x^2 - 5x + 4}{x^2 + 4x + 4}$
> - Uppgift 6: relaterade hastigheter, höjden hos en brandman på en stege som reses och förlängs

> [!tip] Så använder du sidan
> Försök själv först. Ledtråd 1 säger vilken sorts uppgift det är, ledtråd 2 (inuti ledtråd 1) ger modellen och ledtråd 3 (inuti ledtråd 2) nyckelsteget. **Lösning** är hela uträkningen, kontrollerad mot lärarens facit.

---

## 1. Binomialsatsen och handskakningar

(a) Bestäm koefficienten för $x^8$-termen i binomialutvecklingen av
$$
\left(x^2 - \dfrac{2}{x^3}\right)^9.
$$
*(3p)*

(b) Vid ett möte deltog nio personer. Innan mötet skakade alla personer hand med varandra en gång. Hur många handskakningar utfördes totalt innan mötet? *(2p)*

*Totalpoäng: 5*

> [!tip]- Ledtråd 1
> (a) är binomialsatsen med [[Binomialkoefficient|binomialkoefficienter]]; (b) är en räkneuppgift som kan lösas med en [[Talföljder och summor|aritmetisk summa]] eller en binomialkoefficient.
>
> > [!tip]- Ledtråd 2
> > (a) $(a + b)^n = \sum_{k=0}^{n}\dbinom{n}{k}a^{n-k}b^k$ med $a = x^2$ och $b = -\dfrac{2}{x^3}$. Skriv den allmänna termen som en konstant gånger en potens av $x$. (b) Varje handskakning är ett par av personer.
> >
> > > [!tip]- Ledtråd 3
> > > (a) Den allmänna termen innehåller $x^{18 - 5k}$; välj $k$ så att exponenten blir $8$. (b) Antalet par bland nio personer är $\dbinom{9}{2}$.

> [!note]- Lösning
> **(a)** Binomialsatsen ger
> $$
> \left(x^2 - \dfrac{2}{x^3}\right)^9 = \sum_{k=0}^{9}\binom{9}{k}\left(x^2\right)^{9-k}\left(-\dfrac{2}{x^3}\right)^k = \sum_{k=0}^{9}\binom{9}{k}(-2)^k x^{18 - 2k - 3k} = \sum_{k=0}^{9}\binom{9}{k}(-2)^k x^{18 - 5k}
> $$
> Exponenten är $8$ när $18 - 5k = 8$, dvs. $k = 2$. Den termen är
> $$
> \binom{9}{2}(-2)^2x^8 = \dfrac{9\cdot 8}{2}\cdot 4\,x^8 = 36\cdot 4\,x^8 = 144x^8
> $$
> så
> $$
> \boxed{\text{koefficienten är } 144}
> $$
>
> **(b)** Kalla personerna $p_1, p_2, \dots, p_9$. Person $p_1$ skakar hand med 8 personer, $p_2$ med 7 nya (handslaget med $p_1$ är redan räknat), $p_3$ med 6 nya och så vidare. Totalt blir det den aritmetiska summan
> $$
> 8 + 7 + \dots + 2 + 1 = \sum_{k=1}^{8}k = \dfrac{8\cdot 9}{2} = \boxed{36}
> $$
> *Alternativt:* varje handslag motsvarar ett val av två personer bland nio, vilket kan göras på $\dbinom{9}{2} = \dfrac{9\cdot 8}{2} = 36$ sätt.
>
> *Kontrollerat mot facit.*

---

## 2. Tre gränsvärden

Avgör huruvida följande (även oegentliga) gränsvärden existerar och om så, bestäm dem (utan hjälp av l'Hôpitals regler):

(a)
$$
\lim_{x\to 0}\dfrac{\sin 4x}{\tan x}.
$$
*(1p)*

(b)
$$
\lim_{x\to 3}\dfrac{x - 3}{\sqrt{x + 6} - 3}.
$$
*(2p)*

(c)
$$
\lim_{x\to\infty}\arctan\left(\dfrac{\sqrt{4x^8 + 9x^6} - 6x^3\sin x}{5x^7e^{-x} - 2x^4}\right).
$$
*(2p)*

*Totalpoäng: 5*

> [!tip]- Ledtråd 1
> [[Gränsvärden]] av typen $\left[\frac00\right]$ och ett gränsvärde i oändligheten, som löses med standardgränsvärden, förlängning med konjugat och utbrytning av den dominerande termen.
>
> > [!tip]- Ledtråd 2
> > (a) Skriv $\tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}$ och använd $\dfrac{\sin t}{t}\to 1$. (b) Förläng med $\sqrt{x + 6} + 3$. (c) $\arctan$ är kontinuerlig, så gränsvärdet kan flyttas in i argumentet; bryt ut $x^4$ i täljare och nämnare.
> >
> > > [!tip]- Ledtråd 3
> > > (a) $\dfrac{\sin 4x}{\tan x} = \cos x\cdot 4\cdot\dfrac{\sin 4x}{4x}\cdot\dfrac{x}{\sin x}$. (b) Nämnaren blir $(x + 6) - 9 = x - 3$. (c) $\dfrac{\sin x}{x}\to 0$ och $\dfrac{x^3}{e^x}\to 0$ när $x\to\infty$.

> [!note]- Lösning
> **(a)** Gränsvärdet är av typen $\left[\frac00\right]$. Med $\tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}$ och standardgränsvärdet $\dfrac{\sin t}{t}\to 1$ då $t\to 0$:
> $$
> \lim_{x\to 0}\dfrac{\sin 4x}{\tan x} = \lim_{x\to 0}\cos x\cdot 4\cdot\dfrac{\sin 4x}{4x}\cdot\dfrac{1}{\dfrac{\sin x}{x}} = 1\cdot 4\cdot 1\cdot 1 = \boxed{4}
> $$
>
> **(b)** Också typen $\left[\frac00\right]$. Förlängning med nämnarens konjugat:
> $$
> \dfrac{x - 3}{\sqrt{x + 6} - 3} = \dfrac{(x - 3)\left(\sqrt{x + 6} + 3\right)}{(x + 6) - 9} = \sqrt{x + 6} + 3, \quad x\ne 3
> $$
> så
> $$
> \lim_{x\to 3}\dfrac{x - 3}{\sqrt{x + 6} - 3} = \sqrt9 + 3 = \boxed{6}
> $$
>
> **(c)** Eftersom $\arctan$ är kontinuerlig räcker det att bestämma gränsvärdet av argumentet. För $x > 0$ är $\sqrt{4x^8 + 9x^6} = x^4\sqrt{4 + \dfrac{9}{x^2}}$, och $x^4$ dominerar i nämnaren eftersom $x^7e^{-x} = x^4\cdot\dfrac{x^3}{e^x}$. Utbrytning av $x^4$ ger
> $$
> \dfrac{\sqrt{4x^8 + 9x^6} - 6x^3\sin x}{5x^7e^{-x} - 2x^4} = \dfrac{\sqrt{4 + \dfrac{9}{x^2}} - 6\cdot\dfrac{\sin x}{x}}{5\cdot\dfrac{x^3}{e^x} - 2}\to\dfrac{2 - 6\cdot 0}{5\cdot 0 - 2} = -1
> $$
> Här går $\dfrac{\sin x}{x}\to 0$ eftersom $|\sin x|\le 1$, och $\dfrac{x^3}{e^x}\to 0$ är ett standardgränsvärde. Alltså är
> $$
> \lim_{x\to\infty}\arctan\left(\dfrac{\sqrt{4x^8 + 9x^6} - 6x^3\sin x}{5x^7e^{-x} - 2x^4}\right) = \arctan(-1) = \boxed{-\dfrac{\pi}{4}}
> $$
>
> *Kontrollerat mot facit.*

---

## 3. Normallinjer genom en punkt

Finn alla normallinjer till kurvan
$$
y = f(x) = x^2 - 2x
$$
som går genom punkten $Q = \left(1, \frac72\right)$. *(5p)*

*Totalpoäng: 5*

> [!tip]- Ledtråd 1
> Tangent och normal till en kurva, se [[Derivata]]: normalen i en punkt står vinkelrätt mot tangenten där.
>
> > [!tip]- Ledtråd 2
> > Låt $P = (a, a^2 - 2a)$ vara en godtycklig punkt på kurvan. Om $f'(a)\ne 0$ har normalen lutningen $-\dfrac{1}{f'(a)}$; sätt in $Q$ i normalens ekvation och lös ut $a$. Glöm inte fallet $f'(a) = 0$, där normalen är lodrät.
> >
> > > [!tip]- Ledtråd 3
> > > Villkoret blir $a^2 - 2a - 3 = 0$. I $a = 1$ är tangenten vågrät, och normalen $x = 1$ går genom $Q$.

> [!note]- Lösning
> Först: $f(1) = 1 - 2 = -1\ne\frac72$, så $Q$ ligger inte på kurvan. Låt $P = (a, a^2 - 2a)$ vara en punkt på kurvan. Derivatan är $f'(x) = 2x - 2$, så tangenten i $P$ har lutningen $2a - 2$.
>
> **Fallet $a\ne 1$.** Normalen har lutningen $-\dfrac{1}{2a - 2}$ och ekvationen
> $$
> y = -\dfrac{x - a}{2(a - 1)} + a^2 - 2a
> $$
> Den går genom $Q = \left(1, \frac72\right)$ om
> $$
> \dfrac72 = -\dfrac{1 - a}{2(a - 1)} + a^2 - 2a = \dfrac12 + a^2 - 2a \iff a^2 - 2a - 3 = 0 \iff (a - 1)^2 = 4
> $$
> dvs. $a = 3$ eller $a = -1$.
>
> - $a = 3$: $P_1 = (3, 3)$, lutning $-\dfrac14$, och $y = -\dfrac{x - 3}{4} + 3 = \dfrac{15 - x}{4}$.
> - $a = -1$: $P_2 = (-1, 3)$, lutning $\dfrac14$, och $y = \dfrac{x + 1}{4} + 3 = \dfrac{13 + x}{4}$.
>
> **Fallet $a = 1$.** Då är $f'(1) = 0$, tangenten i $P_3 = (1, -1)$ är vågrät och normalen är den lodräta linjen $x = 1$. Den går genom $Q$, eftersom $Q$ har $x$-koordinaten $1$.
>
> Det finns alltså tre normallinjer genom $Q$:
> $$
> \boxed{y = \dfrac{15 - x}{4}, \qquad y = \dfrac{13 + x}{4}, \qquad x = 1}
> $$
> *Kontroll:* $\dfrac{15 - 1}{4} = \dfrac{13 + 1}{4} = \dfrac72$. Linjen $x = 1$ är kurvans symmetrilinje, eftersom $x^2 - 2x = (x - 1)^2 - 1$, så de två sneda normalerna är varandras spegelbilder i den.
>
> *Kontrollerat mot facit. I figuren i lärarens lösning står den andra normalen som $y = (x - 13)/4$ i teckenförklaringen, men texten och uträkningen ger $y = \dfrac{13 + x}{4}$, som är rätt (den går genom $Q$).*

---

## 4. Injektivitet, värdemängd och invers

Låt
$$
f(x) = \sqrt{3x + 13} - \sqrt{3x - 3}, \quad x\in[1, \infty).
$$

(a) Visa att $f$ är injektiv (dvs. ett-till-ett). *(2p)*

(b) Finn värdemängden $R(f)$ för $f$. *(1p)*

(c) Finn inversa funktionen $f^{-1}$ till $f$. *(2p)*

*Totalpoäng: 5*

> [!tip]- Ledtråd 1
> [[Funktioner och invers]]: en strängt monoton funktion är injektiv, och inversen fås genom att lösa $x = f(y)$ för $y$.
>
> > [!tip]- Ledtråd 2
> > (a) Derivera och visa att $f'(x) < 0$ för $x > 1$. (b) Värdemängden går från $\lim_{x\to\infty}f(x)$ till $f(1)$. (c) Förläng med rotkonjugatet: $\left(\sqrt{3y + 13} - \sqrt{3y - 3}\right)\left(\sqrt{3y + 13} + \sqrt{3y - 3}\right) = 16$.
> >
> > > [!tip]- Ledtråd 3
> > > (b) $f(x) = \dfrac{16}{\sqrt{3x + 13} + \sqrt{3x - 3}}$. (c) Då gäller $\sqrt{3y + 13} + \sqrt{3y - 3} = \dfrac{16}{x}$; subtrahera ekvationen $\sqrt{3y + 13} - \sqrt{3y - 3} = x$.

> [!note]- Lösning
> **(a)** För $x > 1$ är
> $$
> f'(x) = \dfrac{3}{2\sqrt{3x + 13}} - \dfrac{3}{2\sqrt{3x - 3}} = \dfrac32\cdot\dfrac{\sqrt{3x - 3} - \sqrt{3x + 13}}{\sqrt{3x + 13}\sqrt{3x - 3}}
> $$
> Förlängning med $\sqrt{3x - 3} + \sqrt{3x + 13}$ ger täljaren $(3x - 3) - (3x + 13) = -16$:
> $$
> f'(x) = \dfrac{-24}{\left(\sqrt{3x - 3} + \sqrt{3x + 13}\right)\sqrt{(3x + 13)(3x - 3)}} < 0
> $$
> eftersom alla faktorer i nämnaren är positiva. $f$ är kontinuerlig på $[1, \infty)$ och har negativ derivata på $(1, \infty)$, så $f$ är strängt avtagande på $[1, \infty)$. En strängt avtagande funktion antar varje värde högst en gång:
> $$
> \boxed{f \text{ är injektiv}}
> $$
> *Alternativt:* anta $f(a) = f(b)$, flytta om till $\sqrt{3a + 13} + \sqrt{3b - 3} = \sqrt{3b + 13} + \sqrt{3a - 3}$ och kvadrera två gånger; det ger $48b = 48a$, dvs. $a = b$.
>
> **(b)** $f(1) = \sqrt{16} - \sqrt0 = 4$. Med rotkonjugatet är
> $$
> f(x) = \dfrac{(3x + 13) - (3x - 3)}{\sqrt{3x + 13} + \sqrt{3x - 3}} = \dfrac{16}{\sqrt{3x + 13} + \sqrt{3x - 3}}\to 0, \quad x\to\infty
> $$
> Funktionen är kontinuerlig och strängt avtagande, antar värdet $4$ i $x = 1$ och närmar sig $0$ utan att nå dit (den är positiv). Alltså
> $$
> \boxed{R(f) = (0, 4]}
> $$
>
> **(c)** Inversen $y = f^{-1}(x)$ är definierad för $x\in R(f) = (0, 4]$ och uppfyller
> $$
> x = \sqrt{3y + 13} - \sqrt{3y - 3}
> $$
> Multiplikation med rotkonjugatet ger $x\left(\sqrt{3y + 13} + \sqrt{3y - 3}\right) = 16$, så vi har systemet
> $$
> \begin{cases}\sqrt{3y + 13} - \sqrt{3y - 3} = x\\[2pt] \sqrt{3y + 13} + \sqrt{3y - 3} = \dfrac{16}{x}\end{cases}
> $$
> Den första ekvationen subtraherad från den andra ger
> $$
> 2\sqrt{3y - 3} = \dfrac{16}{x} - x \iff \sqrt{3y - 3} = \dfrac{16 - x^2}{2x}
> $$
> Högerledet är $\ge 0$ för $0 < x\le 4$, så kvadrering är en ekvivalens här:
> $$
> 3(y - 1) = \left(\dfrac{16 - x^2}{2x}\right)^2 \iff y = 1 + \dfrac{(16 - x^2)^2}{12x^2} = \dfrac{12x^2 + 256 - 32x^2 + x^4}{12x^2}
> $$
> $$
> \boxed{f^{-1}(x) = \dfrac{x^4 - 20x^2 + 256}{12x^2}, \quad 0 < x\le 4}
> $$
> *Kontroll:* $f^{-1}(4) = \dfrac{256 - 320 + 256}{192} = 1$, som det ska eftersom $f(1) = 4$.
>
> *Kontrollerat mot facit.*

---

## 5. Kurvan $\dfrac{x^2 - 5x + 4}{x^2 + 4x + 4}$

Betrakta funktionen
$$
y = f(x) = \dfrac{x^2 - 5x + 4}{x^2 + 4x + 4}.
$$
Bestäm lokala extremvärden, inflexionspunkter och asymptoter till kurvan. Ställ upp ordentliga teckenscheman. Ange funktionens värdemängd $R(f)$. Skissera kurvan. *(5p)*

*Totalpoäng: 5*

> [!tip]- Ledtråd 1
> [[Grafritning och asymptoter|Kurvundersökning]] av en rationell funktion: asymptoter, [[Extremvärden|teckenschema för derivatan]] och [[Andraderivata och konvexitet|andraderivatan]].
>
> > [!tip]- Ledtråd 2
> > Faktorisera: $f(x) = \dfrac{(x - 1)(x - 4)}{(x + 2)^2}$. Nämnarens nollställe ger en lodrät asymptot, och gränsvärdet då $x\to\pm\infty$ en vågrät. Derivera med kvotregeln och förkorta med $x + 2$.
> >
> > > [!tip]- Ledtråd 3
> > > $f'(x) = \dfrac{9(x - 2)}{(x + 2)^3}$ och $f''(x) = -\dfrac{18(x - 4)}{(x + 2)^4}$.

> [!note]- Lösning
> **Nollställen.** $f(x) = \dfrac{(x - 1)(x - 4)}{(x + 2)^2}$, så kurvan skär $x$-axeln i $x = 1$ och $x = 4$, och $y$-axeln i $f(0) = 1$. Definitionsmängden är $x\ne -2$.
>
> **Asymptoter.**
> $$
> \lim_{x\to\pm\infty}f(x) = \lim_{x\to\pm\infty}\dfrac{1 - \dfrac5x + \dfrac{4}{x^2}}{1 + \dfrac4x + \dfrac{4}{x^2}} = 1
> $$
> så $y = 1$ är vågrät asymptot åt båda hållen (och då finns ingen sned). När $x\to -2$ går täljaren mot $(-3)(-6) = 18 > 0$ och nämnaren $(x + 2)^2\to 0^+$ från båda sidor, så
> $$
> \lim_{x\to -2^\pm}f(x) = +\infty
> $$
> $$
> \boxed{\text{asymptoter: } y = 1 \text{ (vågrät, } x\to\pm\infty\text{) och } x = -2 \text{ (lodrät)}}
> $$
>
> **Derivata.** Med $f(x) = \dfrac{x^2 - 5x + 4}{(x + 2)^2}$:
> $$
> f'(x) = \dfrac{(2x - 5)(x + 2)^2 - (x^2 - 5x + 4)\cdot 2(x + 2)}{(x + 2)^4} = \dfrac{(2x^2 - x - 10) - (2x^2 - 10x + 8)}{(x + 2)^3} = \dfrac{9(x - 2)}{(x + 2)^3}
> $$
>
> | | $x < -2$ | $-2$ | $-2 < x < 2$ | $2$ | $x > 2$ |
> |---|---|---|---|---|---|
> | $9(x - 2)$ | $-$ | $-$ | $-$ | $0$ | $+$ |
> | $(x + 2)^3$ | $-$ | $0$ | $+$ | $+$ | $+$ |
> | $f'(x)$ | $+$ | odef. | $-$ | $0$ | $+$ |
> | $f(x)$ | $\nearrow$ | asymptot | $\searrow$ | lok. min | $\nearrow$ |
>
> $$
> \boxed{\text{lok. min } f(2) = \dfrac{4 - 10 + 4}{16} = -\dfrac18}
> $$
>
> **Andraderivata.**
> $$
> f''(x) = \dfrac{9(x + 2)^3 - 9(x - 2)\cdot 3(x + 2)^2}{(x + 2)^6} = \dfrac{9(x + 2) - 27(x - 2)}{(x + 2)^4} = -\dfrac{18(x - 4)}{(x + 2)^4}
> $$
>
> | | $x < -2$ | $-2$ | $-2 < x < 4$ | $4$ | $x > 4$ |
> |---|---|---|---|---|---|
> | $-18(x - 4)$ | $+$ | $+$ | $+$ | $0$ | $-$ |
> | $(x + 2)^4$ | $+$ | $0$ | $+$ | $+$ | $+$ |
> | $f''(x)$ | $+$ | odef. | $+$ | $0$ | $-$ |
> | $f(x)$ | konvex | asymptot | konvex | infl. | konkav |
>
> Teckenbytet i $x = 4$ ger, med $f(4) = 0$,
> $$
> \boxed{\text{inflexionspunkt } (4, 0)}
> $$
>
> **Värdemängd.** På $(-2, 2]$ är $f$ kontinuerlig och avtagande från $+\infty$ (vid $x\to -2^+$) till $-\dfrac18$, så alla värden i $\left[-\dfrac18, \infty\right)$ antas redan där. För $x < -2$ är $f(x) - 1 = -\dfrac{9x}{(x + 2)^2} > 0$, och för $x > 2$ växer $f$ från $-\dfrac18$ mot $1$; inga värden under $-\dfrac18$ antas någonstans. Alltså är minimet globalt, det finns inget största värde och
> $$
> \boxed{R(f) = \left[-\dfrac18, \infty\right)}
> $$
>
> **Skiss.** Till vänster om $x = -2$ växer kurvan från asymptoten $y = 1$ (ovanför den) upp mot $+\infty$. Till höger om $x = -2$ faller den från $+\infty$, skär $y$-axeln i $1$ och $x$-axeln i $1$, når minimet $\left(2, -\dfrac18\right)$, stiger genom inflexionspunkten $(4, 0)$ och närmar sig $y = 1$ underifrån.
>
> ![[tenta231026-uppgift5-kurva.png|520]]
>
> *Kontrollerat mot facit.*

---

## 6. Brandmannen på stegen

Nederdelen av en stege på en brandbil är fäst på ovansidan av bilen på en höjd 3 meter över marken. Stegen reses genom att öka vinkeln $\theta$ samtidigt som man förlänger stegens längd från 6 m med $l$, se nedanstående figur.

*Figuren i tentan:* stegen är fäst i punkten $O$ på brandbilens tak och bildar vinkeln $\theta$ med horisontalplanet. Den fasta delen är 6 m lång och den utskjutna delen $l$; brandmannen sitter i stegens ände $A$.

Längst ut på stegen sitter en brandman. Hur fort ökar brandmannens höjd $y$ över marken vid den tidpunkt när stegen förlängts med $l = 2$ m och längden ökar med en hastighet av $\frac15$ m/s samtidigt som vinkeln är $\theta = \frac{\pi}{6}$ och ökar med vinkelhastigheten
$$
\omega = \dfrac{1}{14} \text{ rad/s?}
$$
*(5p)*

*Totalpoäng: 5*

> [!tip]- Ledtråd 1
> Relaterade hastigheter: ställ upp ett samband och derivera med avseende på tiden med [[Deriveringsregler|produkt- och kedjeregeln]] (jämför [[Implicit derivering]]).
>
> > [!tip]- Ledtråd 2
> > Stegen har längden $6 + l$ och lutar vinkeln $\theta$, så brandmannen är $(6 + l)\sin\theta$ över fästpunkten: $y = 3 + (6 + l)\sin\theta$, där både $l$ och $\theta$ beror av $t$.
> >
> > > [!tip]- Ledtråd 3
> > > $\dfrac{dy}{dt} = \dfrac{dl}{dt}\sin\theta + (6 + l)\cos\theta\cdot\dfrac{d\theta}{dt}$. Sätt in $l = 2$, $\dfrac{dl}{dt} = \dfrac15$, $\theta = \dfrac{\pi}{6}$ och $\dfrac{d\theta}{dt} = \dfrac{1}{14}$.

> [!note]- Lösning
> Brandmannens höjd över marken är
> $$
> y(t) = 3 + \bigl(6 + l(t)\bigr)\sin\theta(t)
> $$
> Derivering med produkt- och kedjeregeln:
> $$
> \dfrac{dy}{dt} = \dfrac{dl}{dt}\sin\theta + (6 + l)\cos\theta\cdot\dfrac{d\theta}{dt}
> $$
> Vid tidpunkten $t_0$ är $l = 2$ m, $\dfrac{dl}{dt} = \dfrac15$ m/s, $\theta = \dfrac{\pi}{6}$ och $\dfrac{d\theta}{dt} = \omega = \dfrac{1}{14}$ rad/s. Med $\sin\dfrac{\pi}{6} = \dfrac12$ och $\cos\dfrac{\pi}{6} = \dfrac{\sqrt3}{2}$:
> $$
> \dfrac{dy}{dt}\bigg|_{t = t_0} = \dfrac15\cdot\dfrac12 + 8\cdot\dfrac{\sqrt3}{2}\cdot\dfrac{1}{14} = \boxed{\dfrac{1}{10} + \dfrac{2\sqrt3}{7}\approx 0{,}59 \text{ m/s}}
> $$
> *Uppskattning utan räknare:* $\left(\dfrac{2\sqrt3}{7}\right)^2 = \dfrac{12}{49}\approx\dfrac{12}{48} = \dfrac14$, så $\dfrac{2\sqrt3}{7}\approx\dfrac12$ och $\dfrac{dy}{dt}\approx 0{,}6$ m/s.
>
> *Kontrollerat mot facit.*

---

## Se även

- [[M0065M]]
- [[Binomialkoefficient]]
- [[Talföljder och summor]]
- [[Gränsvärden]]
- [[Oegentliga gränsvärden]]
- [[Derivata]]
- [[Deriveringsregler]]
- [[Funktioner och invers]]
- [[Extremvärden]]
- [[Grafritning och asymptoter]]
- [[Andraderivata och konvexitet]]
- [[Implicit derivering]]