---
kurs:
  - M0065M
tags:
  - tenta
  - matematik
  - envariabelanalys
status: utkast
datum: 2023-08-16
typ: tenta
aliases:
  - Tenta M0047M 2023-08-16
---
> **Kurs:** [[M0065M]] — Envariabelanalys 1
> **Datum:** 2023-08-16
> **Källa:** originaltentamen och lärarens lösningar (m0047m_230816.pdf, m0047m_230816sols.pdf)
> *M0047M är föregångaren till M0065M med samma innehåll.*

> [!abstract] Översikt
> - Uppgift 1: aritmetisk summa, husnumren på Pells gata och Ramanujans hus
> - Uppgift 2: tre gränsvärden av typen $\dfrac00$ utan l'Hôpital: trigonometriskt, med rotuttryck och med exponentialfunktioner
> - Uppgift 3: bestäm $k$ så att $e^{x/4}$ och $k\sqrt x$ tangerar varandra, och den gemensamma tangenten
> - Uppgift 4: inverterbarhet och invers till $\sqrt{x^2 + 6x}$, samt $g$ ur $g(f(x)) = (x + 3)^2$
> - Uppgift 5: extremvärden, inflexionspunkter och asymptoter för $(x^2 - 5x + 4)e^{x/2}$
> - Uppgift 6: maximal area av triangeln mellan koordinataxlarna och en tangent till $1 - \ln x$

> [!tip] Så använder du sidan
> Försök själv först. Ledtråd 1 säger vilken sorts uppgift det är, ledtråd 2 (inuti ledtråd 1) ger modellen och ledtråd 3 (inuti ledtråd 2) nyckelsteget. **Lösning** är hela uträkningen, kontrollerad mot lärarens facit.

---

## 1. Husnumren på Pells gata

Husen längs Pells gata är numrerade i ordning $1, 2, 3, \ldots$ ända upp till $49$.

(a) Vad är summan av alla husnumren på Pells gata? *(2p)*

(b) Ramanujan bor längs denna gata i hus nummer $m$. En dag observerar han att summan av numren på husen till vänster om hans hus är samma som summan av numren på husen till höger om hans hus. Vad är $m$? *(3p)*

*Totalpoäng: 5*

> [!tip]- Ledtråd 1
> En [[Talföljder och summor|aritmetisk summa]].
>
> > [!tip]- Ledtråd 2
> > $1 + 2 + \cdots + n = \dfrac{n(n + 1)}{2}$. I (b) är summan till vänster om hus $m$ lika med $1 + 2 + \cdots + (m - 1)$.
> >
> > > [!tip]- Ledtråd 3
> > > Hela summan är vänstersumman plus $m$ plus högersumman, och de två sidosummorna är lika: $S_{49} = 2\cdot\dfrac{(m - 1)m}{2} + m$.

> [!note]- Lösning
> **(a)** Summan av de $n$ första positiva heltalen är den aritmetiska summan
> $$
> S_n = 1 + 2 + \cdots + n = \sum_{k=1}^{n}k = \dfrac{n(n + 1)}{2}
> $$
> så
> $$
> S_{49} = \dfrac{49\cdot 50}{2} = 49\cdot 25 = 7^2\cdot 5^2 = 35^2 = \boxed{1225}
> $$
>
> **(b)** Numrera husen $1, 2, \ldots, 49$ från vänster till höger. Summan av husnumren till vänster om hus $m$ är
> $$
> S_{m-1} = 1 + 2 + \cdots + (m - 1) = \dfrac{(m - 1)m}{2}
> $$
> och enligt villkoret är summan till höger lika stor. Hela summan är därför
> $$
> S_{49} = \underbrace{S_{m-1}}_{\text{hus } 1, \ldots, m-1} + \underbrace{m}_{\text{hus } m} + \underbrace{S_{m-1}}_{\text{hus } m+1, \ldots, 49} = 2\cdot\dfrac{(m - 1)m}{2} + m = m^2 - m + m = m^2
> $$
> Med (a) blir $m^2 = 35^2$, och eftersom $m > 0$:
> $$
> \boxed{m = 35}
> $$
> *Kontroll:* $1 + \cdots + 34 = \dfrac{34\cdot 35}{2} = 595$ och $36 + \cdots + 49 = 1225 - 595 - 35 = 595$.
>
> *Kontrollerat mot facit.*

---

## 2. Tre gränsvärden av typen $0/0$

Avgör huruvida följande (även oegentliga) gränsvärden existerar och om så, bestäm dem (utan hjälp av l'Hôpitals regler):

(a)
$$
\lim_{x\to 0}\dfrac{\sin^2 x}{\sin x^2}
$$
*(1p)*

(b)
$$
\lim_{x\to 0}\dfrac{\sqrt{1 + 4x} - 1}{\sqrt{4 + x} - 2}
$$
*(2p)*

(c)
$$
\lim_{x\to 0}\dfrac{4^x - 1}{4^x - 2^x}
$$
*(2p)*

*Totalpoäng: 5*

> [!tip]- Ledtråd 1
> Alla tre är [[Gränsvärden]] av typen $\dfrac00$ som ska hyfsas algebraiskt eller föras tillbaka på standardgränsvärden.
>
> > [!tip]- Ledtråd 2
> > (a) Dela täljare och nämnare med $x^2$ och använd $\dfrac{\sin t}{t}\to 1$. (b) Förläng med rotkonjugaten till både täljaren och nämnaren. (c) Skriv $4^x = (2^x)^2$ och faktorisera.
> >
> > > [!tip]- Ledtråd 3
> > > (b) $(\sqrt{1 + 4x} - 1)(\sqrt{1 + 4x} + 1) = 4x$ och $(\sqrt{4 + x} - 2)(\sqrt{4 + x} + 2) = x$. (c) $4^x - 1 = (2^x - 1)(2^x + 1)$ och $4^x - 2^x = 2^x(2^x - 1)$.

> [!note]- Lösning
> **(a)** Dela täljare och nämnare med $x^2$:
> $$
> \lim_{x\to 0}\dfrac{\sin^2 x}{\sin x^2} = \lim_{x\to 0}\dfrac{\left(\dfrac{\sin x}{x}\right)^2}{\dfrac{\sin x^2}{x^2}} = \dfrac{1^2}{1} = \boxed{1}
> $$
> där båda kvoterna går mot $1$ enligt standardgränsvärdet $\dfrac{\sin t}{t}\to 1$ då $t\to 0$ (med $t = x$ respektive $t = x^2$).
>
> **(b)** Förläng med båda rotkonjugaten:
> $$
> \begin{aligned}
> \dfrac{\sqrt{1 + 4x} - 1}{\sqrt{4 + x} - 2} &= \dfrac{(\sqrt{1 + 4x} - 1)(\sqrt{1 + 4x} + 1)(\sqrt{4 + x} + 2)}{(\sqrt{4 + x} - 2)(\sqrt{4 + x} + 2)(\sqrt{1 + 4x} + 1)}\\
> &= \dfrac{4x\,(\sqrt{4 + x} + 2)}{x\,(\sqrt{1 + 4x} + 1)} = 4\cdot\dfrac{\sqrt{4 + x} + 2}{\sqrt{1 + 4x} + 1}, \quad x\ne 0
> \end{aligned}
> $$
> Det sista uttrycket är kontinuerligt i $x = 0$, så
> $$
> \lim_{x\to 0}\dfrac{\sqrt{1 + 4x} - 1}{\sqrt{4 + x} - 2} = 4\cdot\dfrac{2 + 2}{1 + 1} = \boxed{8}
> $$
>
> **(c)** Med $4^x = (2^x)^2$ blir
> $$
> \dfrac{4^x - 1}{4^x - 2^x} = \dfrac{(2^x - 1)(2^x + 1)}{2^x(2^x - 1)} = \dfrac{2^x + 1}{2^x}, \quad x\ne 0
> $$
> så
> $$
> \lim_{x\to 0}\dfrac{4^x - 1}{4^x - 2^x} = \dfrac{1 + 1}{1} = \boxed{2}
> $$
>
> *Kontrollerat mot facit.*

---

## 3. När tangerar $e^{x/4}$ och $k\sqrt x$ varandra?

Låt $x > 0$ och definiera
$$
f(x) = e^{x/4}, \qquad g(x) = k\sqrt x.
$$

(a) Finn det $k > 0$ som gör att funktionerna $f$ och $g$ tangerar varandra i en punkt. *(4p)*

(b) Bestäm funktionernas gemensamma tangent för detta värde på $k$. *(1p)*

*Totalpoäng: 5*

> [!tip]- Ledtråd 1
> Två kurvor tangerar varandra i $x = a$ om de har samma funktionsvärde och samma [[Derivata|derivata]] där, dvs. samma tangent.
>
> > [!tip]- Ledtråd 2
> > Ställ upp ekvationssystemet $f(a) = g(a)$, $f'(a) = g'(a)$ med de två obekanta $a$ och $k$. Tangenten fås sedan med enpunktsformeln.
> >
> > > [!tip]- Ledtråd 3
> > > $f'(a) = \dfrac{e^{a/4}}{4}$ och $g'(a) = \dfrac{k}{2\sqrt a}$. Ersätt $e^{a/4}$ i den första ekvationen med $\dfrac{4k}{2\sqrt a}$ från den andra; det ger $k(a - 2) = 0$.

> [!note]- Lösning
> **(a)** Derivatorna är
> $$
> f'(x) = \dfrac{e^{x/4}}{4}, \qquad g'(x) = \dfrac{k}{2\sqrt x}
> $$
> Kurvorna tangerar varandra i $x = a$ om
> $$
> \begin{cases} e^{a/4} = k\sqrt a,\\[4pt] \dfrac{e^{a/4}}{4} = \dfrac{k}{2\sqrt a}. \end{cases}
> $$
> Den andra ekvationen ger $e^{a/4} = \dfrac{2k}{\sqrt a}$. Insatt i den första:
> $$
> k\sqrt a = \dfrac{2k}{\sqrt a} \iff ka = 2k \iff k(a - 2) = 0
> $$
> Eftersom $k > 0$ är $a = 2$. Den första ekvationen ger då
> $$
> e^{2/4} = k\sqrt 2 \iff \sqrt e = k\sqrt 2 \iff \boxed{k = \sqrt{\dfrac{e}{2}}}
> $$
> och tangeringspunkten är $(2, \sqrt e)$.
>
> *Varför bara ett $k$?* $f$ är växande och konvex ($f'' = \dfrac{e^{x/4}}{16} > 0$) medan $g$ är växande och konkav ($g'' = -\dfrac{k}{4x^{3/2}} < 0$). För mindre $k$ ligger $g$ hela tiden under $f$, och för större $k$ skär kurvorna varandra i två punkter med olika tangenter. Ekvivalent: $k\sqrt x = e^{x/4}\iff k = \dfrac{e^{x/4}}{\sqrt x}$, och högerledet har sitt minsta värde $\sqrt{e/2}$ just i $x = 2$.
>
> **(b)** Tangenten genom $(2, \sqrt e)$ har lutningen $f'(2) = \dfrac{\sqrt e}{4}$. Enpunktsformeln ger
> $$
> y - \sqrt e = \dfrac{\sqrt e}{4}(x - 2) \iff \boxed{y = \dfrac{\sqrt e}{4}(x + 2)}
> $$
>
> *Kontrollerat mot facit.*

---

## 4. Inversen till $\sqrt{x^2 + 6x}$

Definiera
$$
f(x) = \sqrt{x^2 + 6x}
$$
för $x > 0$.

(a) Visa att $f$ är inverterbar. *(1p)*

(b) Finn inversen $f^{-1}$ till $f$. *(3p)*

(c) Bestäm funktionen $g$ om
$$
g(f(x)) = (x + 3)^2.
$$
*(1p)*

*Totalpoäng: 5*

> [!tip]- Ledtråd 1
> [[Funktioner och invers]]: en strängt växande funktion är injektiv och alltså inverterbar.
>
> > [!tip]- Ledtråd 2
> > (a) Visa att $f' > 0$. (b) Bestäm värdemängden (den blir inversens definitionsmängd) och lös $x = f(y)$ för $y$. (c) Skriv $(x + 3)^2$ med hjälp av $f(x)$.
> >
> > > [!tip]- Ledtråd 3
> > > Kvadratkomplettera: $y^2 + 6y = (y + 3)^2 - 9$. Välj det tecken framför roten som ger $y > 0$. I (c) är $(x + 3)^2 = x^2 + 6x + 9$.

> [!note]- Lösning
> **(a)** För $x > 0$ är
> $$
> f'(x) = \dfrac{2x + 6}{2\sqrt{x^2 + 6x}} = \dfrac{x + 3}{\sqrt{x^2 + 6x}} > 0
> $$
> så $f$ är strängt växande på $(0, \infty)$, alltså injektiv ($1$–$1$) och därmed inverterbar. $\blacksquare$
>
> *Alternativt:* om $f(x_1) = f(x_2)$ så är $x_1^2 + 6x_1 = x_2^2 + 6x_2$, dvs. $(x_1 - x_2)(x_1 + x_2 + 6) = 0$. Eftersom $x_1 + x_2 + 6 > 6$ följer $x_1 = x_2$.
>
> **(b)** $f$ är kontinuerlig och strängt växande med
> $$
> \lim_{x\to 0^+}f(x) = 0, \qquad \lim_{x\to\infty}f(x) = \lim_{x\to\infty}x\sqrt{1 + \dfrac6x} = \infty
> $$
> så $R_f = (0, \infty)$, och det är definitionsmängden för $f^{-1}$. Sätt $y = f^{-1}(x)$, dvs. $x = f(y)$ med $x, y > 0$:
> $$
> x = \sqrt{y^2 + 6y} \Longrightarrow x^2 = y^2 + 6y \iff x^2 + 9 = (y + 3)^2 \iff y = -3\pm\sqrt{x^2 + 9}
> $$
> Minustecknet ger $y < 0$, men $f^{-1}$ ska anta värden i $D_f = (0, \infty)$. Alltså
> $$
> \boxed{f^{-1}(x) = \sqrt{x^2 + 9} - 3, \quad x > 0}
> $$
> *Kontroll:* $f\left(\sqrt{x^2 + 9} - 3\right) = \sqrt{(y + 3)^2 - 9} = \sqrt{x^2 + 9 - 9} = x$ för $x > 0$.
>
> **(c)** Eftersom
> $$
> (x + 3)^2 = x^2 + 6x + 9 = \left(\sqrt{x^2 + 6x}\right)^2 + 9 = f(x)^2 + 9
> $$
> är $g(f(x)) = f(x)^2 + 9$, så
> $$
> \boxed{g(x) = x^2 + 9}
> $$
> (på $R_f = (0, \infty)$). Samma svar fås med $t = f(x)\iff x = f^{-1}(t)$: $g(t) = \left(f^{-1}(t) + 3\right)^2 = \left(\sqrt{t^2 + 9}\right)^2 = t^2 + 9$.
>
> *Kontrollerat mot facit. Lärarens lösning skriver i (a) nämnaren som $\sqrt{x^2 + 2x}$, ett tryckfel för $\sqrt{x^2 + 6x}$; slutsatsen $f' > 0$ påverkas inte.*

---

## 5. Kurvan $(x^2 - 5x + 4)e^{x/2}$

Definiera funktionen
$$
y = f(x) = \left(x^2 - 5x + 4\right)e^{x/2}.
$$
Bestäm lokala extremvärden, inflexionspunkter och asymptoter till kurvan. Ställ upp ordentligt teckenschema över derivatan. Skissera kurvan. *(5p)*

*Totalpoäng: 5*

> [!tip]- Ledtråd 1
> [[Grafritning och asymptoter|Kurvundersökning]]: gränsvärden i $\pm\infty$, [[Extremvärden|teckenschema för derivatan]] och [[Andraderivata och konvexitet|andraderivatan]] för inflexionspunkter.
>
> > [!tip]- Ledtråd 2
> > Använd att exponentialfunktionen dominerar potensfunktioner: $x^n e^{x/2}\to 0$ då $x\to -\infty$. Undersök $f(x)/x$ då $x\to\infty$. Derivera med produktregeln och bryt ut $e^{x/2}$.
> >
> > > [!tip]- Ledtråd 3
> > > $f'(x) = \dfrac{(x + 2)(x - 3)}{2}e^{x/2}$ och $f''(x) = \dfrac{x^2 + 3x - 8}{4}e^{x/2}$.

> [!note]- Lösning
> **Nollställen.** $f(x) = (x - 1)(x - 4)e^{x/2}$, så kurvan skär $x$-axeln i $x = 1$ och $x = 4$, och $y$-axeln i $f(0) = 4$.
>
> **Asymptoter.** $f$ är definierad och kontinuerlig på hela $\mathbb{R}$, så det finns inga lodräta asymptoter. Eftersom en exponentialfunktion dominerar en potensfunktion är
> $$
> \lim_{x\to -\infty}f(x) = \lim_{x\to -\infty}\left(x^2e^{x/2} - 5xe^{x/2} + 4e^{x/2}\right) = 0 - 0 + 0 = 0
> $$
> så $y = 0$ är vågrät asymptot då $x\to -\infty$. Åt höger är
> $$
> \lim_{x\to\infty}f(x) = \infty, \qquad \lim_{x\to\infty}\dfrac{f(x)}{x} = \lim_{x\to\infty}\left(x - 5 + \dfrac4x\right)e^{x/2} = \infty
> $$
> så där finns ingen sned asymptot.
> $$
> \boxed{\text{enda asymptoten är } y = 0 \text{ då } x\to -\infty}
> $$
>
> **Derivata.**
> $$
> f'(x) = (2x - 5)e^{x/2} + \left(x^2 - 5x + 4\right)\dfrac{e^{x/2}}{2} = \dfrac{x^2 - x - 6}{2}e^{x/2} = \dfrac{(x + 2)(x - 3)}{2}e^{x/2}
> $$
> Kritiska punkter: $x = -2$ och $x = 3$.
>
> | | $x < -2$ | $-2$ | $-2 < x < 3$ | $3$ | $x > 3$ |
> |---|---|---|---|---|---|
> | $x + 2$ | $-$ | $0$ | $+$ | $+$ | $+$ |
> | $x - 3$ | $-$ | $-$ | $-$ | $0$ | $+$ |
> | $\dfrac{e^{x/2}}{2}$ | $+$ | $+$ | $+$ | $+$ | $+$ |
> | $f'(x)$ | $+$ | $0$ | $-$ | $0$ | $+$ |
> | $f(x)$ | $\nearrow$ | lok. max | $\searrow$ | lok. min | $\nearrow$ |
>
> $$
> f(-2) = (4 + 10 + 4)e^{-1} = \dfrac{18}{e}, \qquad f(3) = (9 - 15 + 4)e^{3/2} = -2e^{3/2}
> $$
> $$
> \boxed{\text{lok. max } f(-2) = \dfrac{18}{e}\approx 6{,}62, \quad \text{lok. min } f(3) = -2e^{3/2}\approx -8{,}96}
> $$
> Minimet är också globalt (för $x < -2$ är $f > 0$ och $f\to 0$), men globalt maximum saknas.
>
> **Andraderivata.**
> $$
> f''(x) = \dfrac{2x - 1}{2}e^{x/2} + \dfrac{x^2 - x - 6}{2}\cdot\dfrac{e^{x/2}}{2} = \dfrac{x^2 + 3x - 8}{4}e^{x/2}
> $$
> Nollställena är
> $$
> r_{1,2} = -\dfrac32\pm\sqrt{\dfrac94 + 8} = \dfrac{-3\pm\sqrt{41}}{2}, \qquad r_1\approx -4{,}70, \quad r_2\approx 1{,}70
> $$
> Båda är enkla nollställen, så $f''$ byter tecken: $f'' > 0$ (konvex) för $x < r_1$ och $x > r_2$, $f'' < 0$ (konkav) för $r_1 < x < r_2$. Eftersom $x^2 = 8 - 3x$ i dessa punkter är $f(r) = (12 - 8r)e^{r/2}$, så
> $$
> \boxed{\text{inflexionspunkter i } x = \dfrac{-3\pm\sqrt{41}}{2}}, \qquad f(r_1)\approx 4{,}73, \quad f(r_2)\approx -3{,}78
> $$
> ($5 < \sqrt{41} < 7$ ger $-5 < r_1 < -4$ och $1 < r_2 < 2$.)
>
> **Skiss.** Kurvan kommer in längs $x$-axeln från vänster (ovanför den), är konvex fram till inflexionspunkten vid $x\approx -4{,}7$, når maximum $(-2, 18/e)$, sjunker genom $(0, 4)$ och nollstället $x = 1$, passerar inflexionspunkten vid $x\approx 1{,}7$, når minimum $(3, -2e^{3/2})$ och växer sedan snabbt genom $x = 4$ mot $\infty$.
>
> ![[tenta230816-uppgift5-kurva.png|520]]
>
> *Kontrollerat mot facit. Lärarens lösning anger inte inflexionspunkternas $y$-värden; de är tillagda här.*

---

## 6. Största triangeln under en tangent till $1 - \ln x$

Betrakta funktionen
$$
y = f(x) = 1 - \ln x, \quad 0 < x\le e.
$$

(a) Låt $P = (a, f(a))$ vara en punkt på kurvan ovan. Ställ upp ett uttryck för arean $A$ av triangeln som begränsas av koordinataxlarna och tangenten till kurvan $f$ genom punkten $P$. *(2p)*

*(I tentan visas en figur med kurvan $y = 1 - \ln x$, punkten $P$ och tangenten genom $P$, som tillsammans med koordinataxlarna begränsar triangeln $A$.)*

(b) Finn det värde $a\in(0, e]$ för vilket arean av triangeln ovan är maximal. *(3p)*

*Totalpoäng: 5*

> [!tip]- Ledtråd 1
> Ett [[Extremvärden|optimeringsproblem]] på ett halvöppet intervall; först behövs tangentens ekvation ([[Derivata]]).
>
> > [!tip]- Ledtråd 2
> > Tangenten är $y = f(a) + f'(a)(x - a)$. Triangelns kateter är tangentens skärningar med axlarna. Jämför sedan $A$ i kritiska punkter med värdet i $a = e$ och gränsvärdet då $a\to 0^+$.
> >
> > > [!tip]- Ledtråd 3
> > > Tangenten blir $y = 2 - \ln a - \dfrac{x}{a}$ och $A(a) = \dfrac{a(2 - \ln a)^2}{2}$, med $A'(a) = -\dfrac{(2 - \ln a)\ln a}{2}$.

> [!note]- Lösning
> **(a)** $f'(x) = -\dfrac1x$, så tangenten i $(a, 1 - \ln a)$ har lutningen $-\dfrac1a$:
> $$
> y - (1 - \ln a) = -\dfrac1a(x - a) \iff y = 2 - \ln a - \dfrac{x}{a}
> $$
> Den skär $y$-axeln ($x = 0$) i $y_0 = 2 - \ln a$ och $x$-axeln ($y = 0$) i $x_0 = a(2 - \ln a)$. Båda är positiva för $0 < a\le e$. Triangeln är rätvinklig med kateterna $x_0$ och $y_0$:
> $$
> \boxed{A(a) = \dfrac{x_0y_0}{2} = \dfrac{a(2 - \ln a)^2}{2}}
> $$
>
> **(b)** Derivera:
> $$
> A'(a) = \dfrac12(2 - \ln a)^2 + \dfrac a2\cdot 2(2 - \ln a)\cdot\left(-\dfrac1a\right) = \dfrac{2 - \ln a}{2}(2 - \ln a - 2) = -\dfrac{(2 - \ln a)\ln a}{2}
> $$
> $A' = 0$ för $\ln a = 0$ eller $\ln a = 2$, dvs. $a = 1$ eller $a = e^2$; bara $a = 1$ ligger i $(0, e]$. På intervallet är $2 - \ln a > 0$, så
>
> | | $0 < a < 1$ | $1$ | $1 < a\le e$ |
> |---|---|---|---|
> | $-\ln a$ | $+$ | $0$ | $-$ |
> | $2 - \ln a$ | $+$ | $+$ | $+$ |
> | $A'(a)$ | $+$ | $0$ | $-$ |
> | $A(a)$ | $\nearrow$ | max | $\searrow$ |
>
> Jämför med intervallets ändar:
> $$
> A(1) = \dfrac{1\cdot 2^2}{2} = 2, \qquad A(e) = \dfrac{e(2 - 1)^2}{2} = \dfrac e2 < 2, \qquad \lim_{a\to 0^+}A(a) = \dfrac12\lim_{a\to 0^+}\left(4a - 4a\ln a + \left(\sqrt a\ln a\right)^2\right) = 0
> $$
> där $a\ln a\to 0$ och $\sqrt a\ln a\to 0$ är standardgränsvärden. Arean är alltså störst för
> $$
> \boxed{a = 1, \quad A_{\max} = 2}
> $$
> (Även $A''(a) = -\dfrac{1 - \ln a}{a}$ ger $A''(1) = -1 < 0$.)
>
> *Kontrollerat mot facit.*

---

## Se även

- [[M0065M]]
- [[Talföljder och summor]]
- [[Gränsvärden]]
- [[Derivata]]
- [[Deriveringsregler]]
- [[Funktioner och invers]]
- [[Extremvärden]]
- [[Grafritning och asymptoter]]
- [[Andraderivata och konvexitet]]
- [[Exponentialfunktioner och logaritmer]]