---
kurs:
  - M0065M
tags:
  - tenta
  - matematik
  - envariabelanalys
status: utkast
datum: 2023-03-23
typ: tenta
aliases:
  - Tenta M0047M 2023-03-23
---
> **Kurs:** [[M0065M]] — Envariabelanalys 1
> **Datum:** 2023-03-23
> **Källa:** originaltentamen och lärarens lösningar (m0047m_230323.pdf, m0047m_230323sols.pdf)
> *M0047M är föregångaren till M0065M med samma innehåll.*

> [!abstract] Översikt
> - Uppgift 1: induktionsbevis för en formel för $n$:te derivatan av $x^2e^x$
> - Uppgift 2: gränsvärde i $-\infty$ med rotuttryck, ett $\dfrac{0}{0}$-gränsvärde för rationella funktioner och bestämning av konstanter så att ett gränsvärde blir 4
> - Uppgift 3: derivatan av $\ln\cos x + x\tan x - \dfrac{x^2}{2}$ och en olikhet via teckenschema
> - Uppgift 4: inverterbarhet för ett tredjegradspolynom, $f^{-1}(3)$ och $\left(f^{-1}\right)'(3)$
> - Uppgift 5: extremvärden, inflexionspunkter och asymptoter för $\dfrac{(\ln x)^2}{x}$
> - Uppgift 6: relaterade hastigheter, sand som rinner ned på en konisk hög

> [!tip] Så använder du sidan
> Försök själv först. Ledtråd 1 säger vilken sorts uppgift det är, ledtråd 2 (inuti ledtråd 1) ger modellen och ledtråd 3 (inuti ledtråd 2) nyckelsteget. **Lösning** är hela uträkningen, kontrollerad mot lärarens facit.

---

## 1. Derivator av $x^2e^x$ genom induktion

Bevisa med induktion att det för alla heltal $n = 1, 2, 3, \dots$ gäller att
$$
\dfrac{d^n}{dx^n}\left(x^2e^x\right) = \left(x^2 + 2nx + n(n - 1)\right)e^x.
$$
*(5p)*

*Totalpoäng: 5*

> [!tip]- Ledtråd 1
> Ett bevis med [[Matematisk induktion|induktion]]: basfall och induktionssteg, där steget är en derivering ([[Deriveringsregler|produktregeln]]).
>
> > [!tip]- Ledtråd 2
> > Basfallet är $n = 1$. Anta att formeln gäller för $n = p$ och visa den för $n = p + 1$ genom att derivera högerledet för $n = p$ en gång till, eftersom $\dfrac{d^{p+1}}{dx^{p+1}} = \dfrac{d}{dx}\dfrac{d^p}{dx^p}$.
> >
> > > [!tip]- Ledtråd 3
> > > $\dfrac{d}{dx}\left[\left(x^2 + 2px + p^2 - p\right)e^x\right] = (2x + 2p)e^x + \left(x^2 + 2px + p^2 - p\right)e^x$. Samla termerna och jämför med $x^2 + 2(p + 1)x + (p + 1)p$.

> [!note]- Lösning
> **Basfall.** För $n = 1$ ger produktregeln
> $$
> \dfrac{d}{dx}\left(x^2e^x\right) = 2xe^x + x^2e^x = \left(x^2 + 2\cdot 1\cdot x + 1\cdot(1 - 1)\right)e^x
> $$
> så formeln stämmer.
>
> **Induktionssteg.** Anta att formeln gäller för något heltal $p\ge 1$ (induktionsantagandet):
> $$
> \dfrac{d^p}{dx^p}\left(x^2e^x\right) = \left(x^2 + 2px + p(p - 1)\right)e^x
> $$
> Vi ska visa att $\dfrac{d^{p+1}}{dx^{p+1}}\left(x^2e^x\right) = \left(x^2 + 2(p + 1)x + (p + 1)p\right)e^x$. Med induktionsantagandet och produktregeln:
> $$
> \begin{aligned}
> \dfrac{d^{p+1}}{dx^{p+1}}\left(x^2e^x\right) &= \dfrac{d}{dx}\left[\left(x^2 + 2px + p^2 - p\right)e^x\right]\\
> &= (2x + 2p)e^x + \left(x^2 + 2px + p^2 - p\right)e^x\\
> &= \left(x^2 + (2p + 2)x + p^2 + p\right)e^x = \left(x^2 + 2(p + 1)x + (p + 1)p\right)e^x
> \end{aligned}
> $$
> vilket är formeln för $n = p + 1$.
>
> Enligt induktionsprincipen gäller
> $$
> \boxed{\dfrac{d^n}{dx^n}\left(x^2e^x\right) = \left(x^2 + 2nx + n(n - 1)\right)e^x \text{ för alla heltal } n\ge 1}
> $$
>
> *Kontrollerat mot facit.*

---

## 2. Tre gränsvärden

Avgör huruvida följande (även oegentliga) gränsvärden existerar och om så, bestäm dem (utan hjälp av l'Hôpitals regler):

(a)
$$
\lim_{x\to -\infty}\dfrac{\sqrt{9 + 4x^2}}{x}.
$$
*(1p)*

(b)
$$
\lim_{x\to 1}\dfrac{x^3 - 1}{x^3 + x^2 - x - 1}.
$$
*(2p)*

(c) Bestäm konstanterna $a$ och $b$ så att
$$
\lim_{x\to 3}\dfrac{x^2 + ax + b}{x - 3} = 4.
$$
*(2p)*

*Totalpoäng: 5*

> [!tip]- Ledtråd 1
> (a) är ett [[Oegentliga gränsvärden|gränsvärde i oändligheten]]; (b) och (c) är [[Gränsvärden]] av typen $\dfrac{0}{0}$ där man [[Polynom och faktorisering|faktoriserar]] bort den gemensamma faktorn.
>
> > [!tip]- Ledtråd 2
> > (a) Bryt ut $x^2$ under roten och kom ihåg att $\sqrt{x^2} = |x|$. (b) $x = 1$ är nollställe till både täljare och nämnare, så båda innehåller faktorn $x - 1$ (faktorsatsen). (c) Nämnaren går mot $0$, så täljaren måste också gå mot $0$ för att gränsvärdet ska bli ändligt.
> >
> > > [!tip]- Ledtråd 3
> > > (a) För $x < 0$ är $|x| = -x$. (b) $x^3 + x^2 - x - 1 = (x - 1)(x + 1)^2$. (c) Täljaren måste vara $(x - 3)(x - k)$ och gränsvärdet blir $3 - k$.

> [!note]- Lösning
> **(a)** För $x < 0$ är $\sqrt{x^2} = |x| = -x$, så
> $$
> \dfrac{\sqrt{9 + 4x^2}}{x} = \dfrac{|x|\sqrt{\dfrac{9}{x^2} + 4}}{x} = -\sqrt{\dfrac{9}{x^2} + 4}\to -\sqrt{4}
> $$
> då $x\to -\infty$, eftersom $\dfrac{9}{x^2}\to 0$ och roten är kontinuerlig:
> $$
> \boxed{\lim_{x\to -\infty}\dfrac{\sqrt{9 + 4x^2}}{x} = -2}
> $$
>
> **(b)** Insättning ger $\dfrac{0}{0}$. Faktorsatsen ger faktorn $x - 1$ i både täljare och nämnare:
> $$
> x^3 - 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1), \qquad x^3 + x^2 - x - 1 = x^2(x + 1) - (x + 1) = (x - 1)(x + 1)^2
> $$
> Efter förkortning kan vi sätta in $x = 1$:
> $$
> \lim_{x\to 1}\dfrac{x^2 + x + 1}{(x + 1)^2} = \dfrac{1 + 1 + 1}{2^2} = \boxed{\dfrac34}
> $$
>
> **(c)** Nämnaren $x - 3\to 0$. Om täljaren hade ett gränsvärde skilt från noll skulle kvoten inte ha något ändligt gränsvärde, så täljaren måste vara $0$ i $x = 3$ och därmed (faktorsatsen) innehålla faktorn $x - 3$. Täljaren har ledande koefficient $1$, så
> $$
> x^2 + ax + b = (x - 3)(x - k)
> $$
> för något tal $k$. Då är
> $$
> \lim_{x\to 3}\dfrac{(x - 3)(x - k)}{x - 3} = \lim_{x\to 3}(x - k) = 3 - k = 4 \iff k = -1
> $$
> Alltså är $x^2 + ax + b = (x - 3)(x + 1) = x^2 - 2x - 3$:
> $$
> \boxed{a = -2, \quad b = -3}
> $$
>
> *Kontrollerat mot facit.*

---

## 3. En olikhet med $\ln\cos x$ och $x\tan x$

Definiera
$$
f(x) = \ln\cos x + x\tan x - \dfrac{x^2}{2}
$$
för $-\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2}$.

(a) Vad är $f'(x)$? Förenkla uttrycket så långt som möjligt. *(2p)*

(b) Visa att
$$
\ln\cos x + x\tan x\ge\dfrac{x^2}{2}
$$
för
$$
-\dfrac{\pi}{2} < x < \dfrac{\pi}{2}.
$$
*(3p)*

*Totalpoäng: 5*

> [!tip]- Ledtråd 1
> (a) är derivering med [[Deriveringsregler|kedje- och produktregeln]] och [[Elementära funktioners derivator]]; (b) visar en olikhet genom att bestämma ett [[Extremvärden|minsta värde]] med teckenschema.
>
> > [!tip]- Ledtråd 2
> > $\dfrac{d}{dx}\ln\cos x = -\tan x$ och $\dfrac{d}{dx}\tan x = 1 + \tan^2 x$. Olikheten i (b) är detsamma som $f(x)\ge 0$.
> >
> > > [!tip]- Ledtråd 3
> > > $f'(x) = x\tan^2 x$, som har samma tecken som $x$. Vad är $f(0)$?

> [!note]- Lösning
> **(a)**
> $$
> f'(x) = \dfrac{1}{\cos x}\cdot(-\sin x) + \tan x + x\left(1 + \tan^2 x\right) - x = -\tan x + \tan x + x + x\tan^2 x - x
> $$
> $$
> \boxed{f'(x) = x\tan^2 x}
> $$
>
> **(b)** Olikheten är ekvivalent med $f(x)\ge 0$ på $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$. På intervallet är $\tan^2 x\ge 0$ med likhet bara i $x = 0$, så $f'(x) = 0$ endast för $x = 0$:
>
> | | $-\frac{\pi}{2} < x < 0$ | $0$ | $0 < x < \frac{\pi}{2}$ |
> |---|---|---|---|
> | $x$ | $-$ | $0$ | $+$ |
> | $\tan^2 x$ | $+$ | $0$ | $+$ |
> | $f'(x)$ | $-$ | $0$ | $+$ |
> | $f(x)$ | $\searrow$ | min | $\nearrow$ |
>
> $f$ är avtagande på $\left(-\frac{\pi}{2}, 0\right]$ och växande på $\left[0, \frac{\pi}{2}\right)$, så $x = 0$ ger det minsta värdet:
> $$
> f(x)\ge f(0) = \ln\cos 0 + 0\cdot\tan 0 - 0 = \ln 1 = 0
> $$
> Alltså är
> $$
> \boxed{\ln\cos x + x\tan x\ge\dfrac{x^2}{2} \text{ för } -\dfrac{\pi}{2} < x < \dfrac{\pi}{2}}
> $$
> med likhet endast för $x = 0$.
>
> *Kontrollerat mot facit.*

---

## 4. Invers till ett tredjegradspolynom

Låt
$$
f(x) = x^3 - 6x^2 + 15x - 7.
$$

(a) Visa att $f$ är inverterbar. *(2p)*

(b) Finn
$$
f^{-1}(3).
$$
*(1p)*

(c) Beräkna
$$
\left(f^{-1}\right)'(3).
$$
*(2p)*

*Totalpoäng: 5*

> [!tip]- Ledtråd 1
> [[Funktioner och invers|Inverterbarhet]] via monotonitet, och [[Inversa funktioners derivata|derivatan av en invers]].
>
> > [!tip]- Ledtråd 2
> > (a) En strängt växande funktion är injektiv. (b) $f^{-1}(3) = y \iff f(y) = 3$. (c) $\left(f^{-1}\right)'(3) = \dfrac{1}{f'(y)}$ där $y = f^{-1}(3)$.
> >
> > > [!tip]- Ledtråd 3
> > > (a) Kvadratkomplettera: $f'(x) = 3\left((x - 2)^2 + 1\right)$. (b) Pröva små heltal i $y^3 - 6y^2 + 15y - 10 = 0$.

> [!note]- Lösning
> **(a)**
> $$
> f'(x) = 3x^2 - 12x + 15 = 3\left(x^2 - 4x + 5\right) = 3\left((x - 2)^2 + 1\right)\ge 3 > 0
> $$
> så $f$ är strängt växande på hela $\mathbb{R}$. Då ger $x_1 < x_2$ alltid $f(x_1) < f(x_2)$, så $f$ är injektiv (ett-till-ett) och därmed
> $$
> \boxed{f \text{ är inverterbar}}
> $$
>
> **(b)** $f^{-1}(3) = y \iff f(y) = 3 \iff y^3 - 6y^2 + 15y - 10 = 0$. Vi ser att $y = 1$ är en lösning: $1 - 6 + 15 - 10 = 0$. Eftersom $f$ är injektiv finns ingen annan lösning (det syns också av faktoriseringen $(y - 1)\left(y^2 - 5y + 10\right)$, där andragradsfaktorn har diskriminant $25 - 40 < 0$). Alltså
> $$
> \boxed{f^{-1}(3) = 1}
> $$
>
> **(c)** Sätt $y = f^{-1}(x)$, dvs. $x = f(y)$. Implicit derivering med avseende på $x$ ger $1 = f'(y)\,y'$, så
> $$
> \left(f^{-1}\right)'(x) = \dfrac{1}{f'(y)} = \dfrac{1}{3y^2 - 12y + 15}
> $$
> I $x = 3$ är $y = 1$, så
> $$
> \left(f^{-1}\right)'(3) = \dfrac{1}{3 - 12 + 15} = \boxed{\dfrac16}
> $$
>
> *Kontrollerat mot facit.*

---

## 5. Kurvan $\dfrac{(\ln x)^2}{x}$

Betrakta funktionen
$$
y = \dfrac{(\ln x)^2}{x}, \quad x > 0.
$$
Bestäm lokala extremvärden, inflexionspunkter och asymptoter till kurvan. Ställ upp ordentligt teckenschema över derivatan. Skissera kurvan. *(5p)*

*Totalpoäng: 5*

> [!tip]- Ledtråd 1
> [[Grafritning och asymptoter|Kurvundersökning]]: gränsvärden i ändpunkterna, [[Extremvärden|teckenschema för derivatan]] och [[Andraderivata och konvexitet|andraderivatan]] för inflexionspunkter.
>
> > [!tip]- Ledtråd 2
> > Undersök $x\to 0^+$ och $x\to\infty$ (standardgränsvärdet $\dfrac{\ln x}{x^a}\to 0$ för $a > 0$). Derivera med kvotregeln och faktorisera i $\ln x$.
> >
> > > [!tip]- Ledtråd 3
> > > $y' = \dfrac{(2 - \ln x)\ln x}{x^2}$ och $y'' = \dfrac{2\left((\ln x)^2 - 3\ln x + 1\right)}{x^3}$. Andraderivatans täljare är en andragradsekvation i $\ln x$.

> [!note]- Lösning
> **Asymptoter.** Då $x\to 0^+$ går $\ln x\to -\infty$, så
> $$
> \lim_{x\to 0^+}\dfrac{(\ln x)^2}{x} = \lim_{x\to 0^+}\dfrac1x\cdot(\ln x)^2 = +\infty
> $$
> vilket ger den lodräta asymptoten $x = 0$. Då $x\to\infty$:
> $$
> \lim_{x\to\infty}\dfrac{(\ln x)^2}{x} = \lim_{x\to\infty}\left(\dfrac{\ln x}{x^{1/2}}\right)^2 = 0^2 = 0
> $$
> enligt standardgränsvärdet, så $y = 0$ är vågrät asymptot åt höger. $f$ är kontinuerlig på $(0, \infty)$, så det finns inga andra asymptoter:
> $$
> \boxed{\text{lodrät asymptot } x = 0, \quad \text{vågrät asymptot } y = 0 \text{ då } x\to\infty}
> $$
>
> **Derivata.** Kvotregeln ger
> $$
> y' = \dfrac{2\ln x\cdot\dfrac1x\cdot x - (\ln x)^2}{x^2} = \dfrac{(2 - \ln x)\ln x}{x^2}
> $$
> Kritiska punkter: $\ln x = 0$ och $\ln x = 2$, dvs. $x = 1$ och $x = e^2$.
>
> | | $0 < x < 1$ | $1$ | $1 < x < e^2$ | $e^2$ | $x > e^2$ |
> |---|---|---|---|---|---|
> | $2 - \ln x$ | $+$ | $+$ | $+$ | $0$ | $-$ |
> | $\ln x$ | $-$ | $0$ | $+$ | $+$ | $+$ |
> | $x^2$ | $+$ | $+$ | $+$ | $+$ | $+$ |
> | $y'$ | $-$ | $0$ | $+$ | $0$ | $-$ |
> | $y$ | $\searrow$ | lok. min | $\nearrow$ | lok. max | $\searrow$ |
>
> $$
> \boxed{\text{lok. min } y(1) = 0, \quad \text{lok. max } y\left(e^2\right) = \dfrac{4}{e^2}}
> $$
> Minimet är också globalt, eftersom $y\ge 0$.
>
> **Andraderivata.**
> $$
> y'' = \dfrac{\left(\dfrac2x - \dfrac{2\ln x}{x}\right)x^2 - \left(2\ln x - (\ln x)^2\right)2x}{x^4} = \dfrac{2\left((\ln x)^2 - 3\ln x + 1\right)}{x^3}
> $$
> Täljaren är noll då
> $$
> \ln x = \dfrac32\pm\sqrt{\dfrac94 - 1} = \dfrac{3\pm\sqrt5}{2}
> $$
> Sätt $x_1 = e^{(3 - \sqrt5)/2}\approx 1{,}47$ och $x_2 = e^{(3 + \sqrt5)/2}\approx 13{,}7$. Eftersom $x^3 > 0$ och täljaren är en andragradsfunktion i $\ln x$ med positiv ledande koefficient är $y'' > 0$ (konvex) för $0 < x < x_1$ och $x > x_2$, och $y'' < 0$ (konkav) för $x_1 < x < x_2$. Teckenbytena ger två inflexionspunkter. Med $s = \ln x$ är $y = s^2e^{-s}$, så
> $$
> \boxed{\text{inflexionspunkter i } x = e^{(3\pm\sqrt5)/2}, \quad y = \left(\dfrac{3\pm\sqrt5}{2}\right)^2e^{-(3\pm\sqrt5)/2}}
> $$
> dvs. ungefär $(1{,}47;\ 0{,}100)$ och $(13{,}7;\ 0{,}500)$. Eftersom $0 < \dfrac{3 - \sqrt5}{2} < 2 < \dfrac{3 + \sqrt5}{2}$ ligger $x_1$ mellan $1$ och $e^2$ och $x_2$ till höger om $e^2$.
>
> **Skiss.** Kurvan kommer ned från $+\infty$ längs $y$-axeln, tangerar $x$-axeln i minimet $(1, 0)$, vänder från konvex till konkav i $x_1$, stiger till maximum $\left(e^2, \dfrac{4}{e^2}\right)\approx(7{,}39;\ 0{,}541)$, sjunker, blir konvex igen efter $x_2$ och närmar sig $x$-axeln ovanifrån.
>
> ![[tenta230323-uppgift5-kurva.png|520]]
>
> *Kontrollerat mot facit.*

---

## 6. Sand på en konisk hög

Sand rinner ner på en konisk hög med en hastighet av $\frac12$ m³/min. Antag att högen hela tiden bibehåller formen av en rak cirkulär kon där förhållandet $h : r$ mellan höjden $h$ och radien $r$ är $1 : 2$.

(a) Hur fort ökar höjden på konen vid den tidpunkt när högen är 2 m hög? *(3p)*

(b) Vid vilken höjd ökar höjden på konen med 40 mm/min? *(2p)*

*Totalpoäng: 5*

> [!tip]- Ledtråd 1
> Relaterade hastigheter: [[Implicit derivering]] av ett samband med avseende på tiden.
>
> > [!tip]- Ledtråd 2
> > Konens volym är $V = \dfrac{\pi r^2h}{3}$. Uttryck $V$ med enbart $h$ med hjälp av $r = 2h$, och derivera med avseende på $t$ (kedjeregeln).
> >
> > > [!tip]- Ledtråd 3
> > > $V = \dfrac{4\pi h^3}{3}$ ger $V'(t) = 4\pi h^2h'(t)$, där $V'(t) = \dfrac12$.

> [!note]- Lösning
> **(a)** Förhållandet $h : r = 1 : 2$ ger $r = 2h$, så
> $$
> V = \dfrac{\pi r^2h}{3} = \dfrac{\pi(2h)^2h}{3} = \dfrac{4\pi h^3}{3}
> $$
> Både $V$ och $h$ beror av tiden. Derivering med avseende på $t$ ger
> $$
> V'(t) = \dfrac{4\pi}{3}\cdot 3h^2h'(t) = 4\pi h^2h'(t) \iff h'(t) = \dfrac{V'(t)}{4\pi h^2} = \dfrac{1}{8\pi h^2}
> $$
> eftersom $V'(t) = \dfrac12$ m³/min. När $h = 2$ m:
> $$
> \boxed{h'(t_0) = \dfrac{1}{8\pi\cdot 2^2} = \dfrac{1}{32\pi}\text{ m/min}\approx 0{,}0099 \text{ m/min}\approx 1 \text{ cm/min}}
> $$
>
> **(b)** $40$ mm/min $= 0{,}04$ m/min $= \dfrac{1}{25}$ m/min. Ur $h' = \dfrac{1}{8\pi h^2}$:
> $$
> h^2 = \dfrac{1}{8\pi h'} = \dfrac{25}{8\pi} \quad\Longrightarrow\quad \boxed{h = \sqrt{\dfrac{25}{8\pi}} = \dfrac{5}{2\sqrt{2\pi}}\text{ m}\approx 0{,}997 \text{ m}}
> $$
> alltså ungefär 1 m (eftersom $8\pi\approx 25$).
>
> *Kontrollerat mot facit.*

---

## Se även

- [[M0065M]]
- [[Matematisk induktion]]
- [[Gränsvärden]]
- [[Oegentliga gränsvärden]]
- [[Polynom och faktorisering]]
- [[Deriveringsregler]]
- [[Elementära funktioners derivator]]
- [[Extremvärden]]
- [[Funktioner och invers]]
- [[Inversa funktioners derivata]]
- [[Grafritning och asymptoter]]
- [[Andraderivata och konvexitet]]
- [[Implicit derivering]]