---
kurs:
  - M0065M
tags:
  - tenta
  - matematik
  - envariabelanalys
status: utkast
datum: 2021-03-25
typ: tenta
aliases:
  - Tenta M0047M 2021-03-25
---
> **Kurs:** [[M0065M]] — Envariabelanalys 1
> **Datum:** 2021-03-25
> **Källa:** originaltentamen och lärarens lösningar (m0047m_210325.pdf, m0047m_210325sols.pdf)
> *M0047M är föregångaren till M0065M med samma innehåll.*

> [!abstract] Översikt
> - Uppgift 1: rekursionen $b_{k+1} = 2b_k + 1$, explicit formel med induktionsbevis och summan av de $n$ första termerna
> - Uppgift 2: gränsvärdena $\dfrac{x\ln x}{x + \ln x}$ och $2n\sin\dfrac{\pi}{n}$ samt konstanter som ger ett ändligt gränsvärde
> - Uppgift 3: involutionen $f(x) = \dfrac{3x - 2}{4x - 3}$, derivatan av inversen och värdemängden
> - Uppgift 4: en ellips och en hyperbel som skär varandra under räta vinklar
> - Uppgift 5: extremvärden och asymptoter för $e^{3x} - 6e^{2x} + 9e^x$ och antalet lösningar till $f(x) = C$
> - Uppgift 6: optimering, balken med störst böjmotstånd ur en rund stock

> [!tip] Så använder du sidan
> Försök själv först. Ledtråd 1 säger vilken sorts uppgift det är, ledtråd 2 (inuti ledtråd 1) ger modellen och ledtråd 3 (inuti ledtråd 2) nyckelsteget. **Lösning** är hela uträkningen, kontrollerad mot lärarens facit.

---

## 1. Natasjas brev: rekursion och induktion

Trollpackan Natasja är väldigt förtjust i att skicka sina förbannelser med brev. Hon har fått en idé att under $n$ st dagar massposta en hög med brev. Första dagen skickar hon ett brev ($b_1 = 1$). Dag två skickar hon tre brev ($b_2 = 3$), dag tre skickar hon sju brev ($b_3 = 7$) och så vidare. Varje dag skickar hon dubbelt så många brev som dagen innan plus ytterligare ett brev.

(a) Finn ett explicit uttryck för antal brev $b_k = f(k)$ som Natasja skickar dag $k$. Bevisa ditt påstående med induktion. *(3p)*

(b) Hur många brev har Natasja totalt skickat efter $n$ st dagar? *(2p)*

*Totalpoäng: 5*

> [!tip]- Ledtråd 1
> En rekursiv [[Talföljder och summor|talföljd]]: gissa en formel, bevisa den med [[Matematisk induktion|induktion]] och summera sedan med en geometrisk summa.
>
> > [!tip]- Ledtråd 2
> > Rekursionen är $b_{k+1} = 2b_k + 1$. Jämför $1, 3, 7, 15, \ldots$ med tvåpotenserna. För (b): $\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} r^k = \dfrac{r^n - 1}{r - 1}$.
> >
> > > [!tip]- Ledtråd 3
> > > Gissningen är $b_k = 2^k - 1$. I induktionssteget: $b_{p+1} = 2b_p + 1 = 2(2^p - 1) + 1$. I (b): dela upp $\sum(2^k - 1) = \sum 2^k - \sum 1$.

> [!note]- Lösning
> **(a)** Rekursionen $b_{k+1} = 2b_k + 1$ ger
> $$
> b_1 = 1 = 2^1 - 1, \quad b_2 = 3 = 2^2 - 1, \quad b_3 = 7 = 2^3 - 1, \quad b_4 = 15 = 2^4 - 1
> $$
> så det är rimligt att gissa $b_k = 2^k - 1$.
>
> **Basfall.** $k = 1$: $2^1 - 1 = 1 = b_1$. Stämmer.
>
> **Induktionssteg.** Anta att $b_p = 2^p - 1$ för något $p\ge 1$ (induktionsantagandet). Då är
> $$
> b_{p+1} = 2b_p + 1 = 2(2^p - 1) + 1 = 2^{p+1} - 2 + 1 = 2^{p+1} - 1
> $$
> så formeln gäller även för $k = p + 1$. Enligt induktionsprincipen är
> $$
> \boxed{b_k = 2^k - 1, \quad k = 1, 2, 3, \ldots}
> $$
>
> **(b)** Med den geometriska summan $\displaystyle\sum_{k=1}^{n}2^k = \sum_{k=0}^{n}2^k - 1 = \dfrac{2^{n+1} - 1}{2 - 1} - 1 = 2^{n+1} - 2$ blir totalen
> $$
> \sum_{k=1}^{n}b_k = \sum_{k=1}^{n}2^k - \sum_{k=1}^{n}1 = 2^{n+1} - 2 - n
> $$
> $$
> \boxed{b_1 + b_2 + \cdots + b_n = 2^{n+1} - n - 2}
> $$
> Kontroll: $n = 3$ ger $1 + 3 + 7 = 11 = 16 - 3 - 2$.
>
> *Kontrollerat mot facit.*

---

## 2. Tre gränsvärden

Avgör huruvida följande (även oegentliga) gränsvärden existerar och om så, bestäm dem (utan hjälp av l'Hôpitals regler):

(a)
$$
\lim_{x\to\infty}\dfrac{x\ln x}{x + \ln x}.
$$
*(1p)*

(b)
$$
\lim_{n\to\infty}2n\sin\dfrac{\pi}{n}
$$
*(2p)*

(c) Bestäm konstanterna $a$ och $b$ så att
$$
\lim_{x\to 3}\dfrac{ax + b}{x^2 - 2x - 3} = 1.
$$
*(2p)*

*Totalpoäng: 5*

> [!tip]- Ledtråd 1
> [[Gränsvärden]] och [[Oegentliga gränsvärden|oegentliga gränsvärden]] med standardgränsvärden, och i (c) [[Polynom och faktorisering|faktorisering]] av nämnaren.
>
> > [!tip]- Ledtråd 2
> > (a) Förkorta med $x$ och använd $\dfrac{\ln x}{x}\to 0$. (b) Byt variabel så att standardgränsvärdet $\dfrac{\sin h}{h}\to 1$ syns. (c) Nämnaren går mot $0$ när $x\to 3$; vad krävs då av täljaren för att gränsvärdet ska bli ändligt?
> >
> > > [!tip]- Ledtråd 3
> > > (b) Sätt $h = \dfrac{\pi}{n}$, så $2n = \dfrac{2\pi}{h}$. (c) $x^2 - 2x - 3 = (x + 1)(x - 3)$, så täljaren måste vara $a(x - 3)$, dvs. $b = -3a$.

> [!note]- Lösning
> **(a)** Förkorta med $x$:
> $$
> \dfrac{x\ln x}{x + \ln x} = \dfrac{\ln x}{1 + \dfrac{\ln x}{x}}
> $$
> Täljaren går mot $+\infty$ och nämnaren mot $1 + 0 = 1$ (standardgränsvärdet $\dfrac{\ln x}{x}\to 0$), så
> $$
> \boxed{\lim_{x\to\infty}\dfrac{x\ln x}{x + \ln x} = +\infty}
> $$
>
> **(b)** Sätt $h = \dfrac{\pi}{n}$. Då går $h\to 0^+$ när $n\to\infty$ och $2n = \dfrac{2\pi}{h}$:
> $$
> \lim_{n\to\infty}2n\sin\dfrac{\pi}{n} = \lim_{h\to 0^+}2\pi\cdot\dfrac{\sin h}{h} = 2\pi\cdot 1
> $$
> $$
> \boxed{\lim_{n\to\infty}2n\sin\dfrac{\pi}{n} = 2\pi}
> $$
> *Anmärkning:* $n\cdot 2\sin\dfrac{\pi}{n}$ är omkretsen av en regelbunden $n$-hörning inskriven i enhetscirkeln, och den går mot cirkelns omkrets $2\pi$.
>
> **(c)** Nämnaren är $x^2 - 2x - 3 = (x + 1)(x - 3)$ och går mot $0$ när $x\to 3$. Om täljaren inte också gick mot $0$, dvs. om $3a + b\ne 0$, skulle kvoten gå mot $\pm\infty$ eller sakna gränsvärde. Alltså måste $3a + b = 0$, så $b = -3a$ och $ax + b = a(x - 3)$. Då är
> $$
> \lim_{x\to 3}\dfrac{a(x - 3)}{(x + 1)(x - 3)} = \lim_{x\to 3}\dfrac{a}{x + 1} = \dfrac{a}{4}
> $$
> Villkoret $\dfrac{a}{4} = 1$ ger
> $$
> \boxed{a = 4, \quad b = -12}
> $$
>
> *Kontrollerat mot facit.*

---

## 3. En involution

En funktion $f$ som är sin egen invers (dvs. $f^{-1} = f$) kallas för en *involution*.

(a) Visa att funktionen
$$
f(x) = \dfrac{3x - 2}{4x - 3}, \quad x\in\mathbb{R}\setminus\left\{\dfrac34\right\},
$$
är en involution. *(2p)*

(b) Vad är $(f^{-1})'(2)$? *(2p)*

(c) Vad är värdemängden för $f$? *(1p)*

*Totalpoäng: 5*

> [!tip]- Ledtråd 1
> [[Funktioner och invers|Inversa funktioner]] och [[Inversa funktioners derivata|derivatan av en invers]].
>
> > [!tip]- Ledtråd 2
> > (a) Lös $x = f(y)$ för $y$, eller visa att $f(f(x)) = x$. (b) Eftersom $f^{-1} = f$ är $(f^{-1})' = f'$. (c) Värdemängden för $f$ är definitionsmängden för $f^{-1}$.
> >
> > > [!tip]- Ledtråd 3
> > > (a) $x(4y - 3) = 3y - 2 \iff (4x - 3)y = 3x - 2$. (b) Kvotregeln ger $f'(x) = -\dfrac{1}{(4x - 3)^2}$.

> [!note]- Lösning
> **(a)** Lös $x = f(y)$ för $y$, där $y\ne\frac34$:
> $$
> x = \dfrac{3y - 2}{4y - 3} \iff 4xy - 3x = 3y - 2 \iff (4x - 3)y = 3x - 2 \iff y = \dfrac{3x - 2}{4x - 3}
> $$
> för $x\ne\frac34$. (Värdet $x = \frac34$ antas aldrig: då blir ekvationen $0 = \frac14$.) Alltså är
> $$
> \boxed{f^{-1}(x) = \dfrac{3x - 2}{4x - 3} = f(x)}
> $$
> Alternativt: för $x\ne\frac34$ är
> $$
> f(f(x)) = \dfrac{3\cdot\dfrac{3x - 2}{4x - 3} - 2}{4\cdot\dfrac{3x - 2}{4x - 3} - 3} = \dfrac{3(3x - 2) - 2(4x - 3)}{4(3x - 2) - 3(4x - 3)} = \dfrac{x}{1} = x
> $$
>
> **(b)** Eftersom $f^{-1} = f$ är $(f^{-1})' = f'$. Kvotregeln ger
> $$
> f'(x) = \dfrac{3(4x - 3) - 4(3x - 2)}{(4x - 3)^2} = \dfrac{-1}{(4x - 3)^2}
> $$
> så
> $$
> \boxed{(f^{-1})'(2) = -\dfrac{1}{(8 - 3)^2} = -\dfrac{1}{25}}
> $$
> *Kontroll med formeln för inversens derivata:* $f^{-1}(2) = f(2) = \dfrac45$ och $(f^{-1})'(2) = \dfrac{1}{f'(4/5)} = -\left(\dfrac{16}{5} - 3\right)^2 = -\dfrac{1}{25}$.
>
> **(c)** Värdemängden för $f$ är definitionsmängden för $f^{-1} = f$:
> $$
> \boxed{V_f = \mathbb{R}\setminus\left\{\dfrac34\right\}}
> $$
>
> *Kontrollerat mot facit.*

---

## 4. Ellips och hyperbel som skär varandra vinkelrätt

Visa att ellipsen
$$
2x^2 + 5y^2 = 10
$$
och hyperbeln
$$
x^2 - 2y^2 = 2
$$
skär varandra under räta vinklar. *Ledning: visa först att kurvorna skär varandra och visa sedan att tangenterna till kurvorna i skärningspunkterna är vinkelräta mot varandra.* *(5p)*

*Totalpoäng: 5*

> [!tip]- Ledtråd 1
> Skärningspunkter ur ett ekvationssystem och tangentlutningar med [[Implicit derivering]].
>
> > [!tip]- Ledtråd 2
> > Två linjer med lutningarna $k_1$ och $k_2$ är vinkelräta om $k_1k_2 = -1$. Derivera båda ekvationerna implicit med avseende på $x$.
> >
> > > [!tip]- Ledtråd 3
> > > Systemet ger $x^2 = \dfrac{10}{3}$ och $y^2 = \dfrac23$. Lutningarna är $y' = -\dfrac{2x}{5y}$ och $y' = \dfrac{x}{2y}$.

> [!note]- Lösning
> **Skärningspunkter.** En skärningspunkt $(a, b)$ uppfyller
> $$
> \begin{cases} 2a^2 + 5b^2 = 10\\ a^2 - 2b^2 = 2\end{cases}
> $$
> Den andra ekvationen ger $a^2 = 2 + 2b^2$, och insatt i den första:
> $$
> 2(2 + 2b^2) + 5b^2 = 10 \iff 9b^2 = 6 \iff b^2 = \dfrac23, \qquad a^2 = 2 + \dfrac43 = \dfrac{10}{3}
> $$
> Kurvorna skär alltså varandra i fyra punkter:
> $$
> (a, b) = \left(\pm\sqrt{\dfrac{10}{3}}, \pm\sqrt{\dfrac23}\right)
> $$
>
> **Tangenternas lutningar.** Implicit derivering med avseende på $x$ ($y = y(x)$, $y\ne 0$):
> $$
> 4x + 10yy' = 0 \iff y' = -\dfrac{2x}{5y}, \qquad 2x - 4yy' = 0 \iff y' = \dfrac{x}{2y}
> $$
> I en skärningspunkt är $b\ne 0$, och lutningarna är $k_1 = -\dfrac{2a}{5b}$ (ellipsen) och $k_2 = \dfrac{a}{2b}$ (hyperbeln). Produkten är
> $$
> k_1k_2 = -\dfrac{2a}{5b}\cdot\dfrac{a}{2b} = -\dfrac{a^2}{5b^2} = -\dfrac{10/3}{5\cdot 2/3} = -1
> $$
> Detta gäller i alla fyra punkterna eftersom bara $a^2$ och $b^2$ ingår. Alltså är tangenterna vinkelräta:
> $$
> \boxed{\text{kurvorna skär varandra under räta vinklar i } \left(\pm\sqrt{\dfrac{10}{3}}, \pm\sqrt{\dfrac23}\right)}
> $$
>
> *Kontrollerat mot facit.*

---

## 5. Kurvan $e^{3x} - 6e^{2x} + 9e^x$

Definiera funktionen
$$
y = f(x) = e^{3x} - 6e^{2x} + 9e^x.
$$

(a) Bestäm lokala extremvärden och asymptoter till kurvan. Ställ upp ordentliga teckenscheman. Konvexitet behöver ej beaktas. Skissera kurvan. *Ledning:* $e^{kx} = (e^x)^k$. *(4p)*

(b) Bestäm hur många olika lösningar ekvationen
$$
e^{3x} - 6e^{2x} + 9e^x = C.
$$
har för alla värden på talet $C\in\mathbb{R}$. Motivera! *(1p)*

*Totalpoäng: 5*

> [!tip]- Ledtråd 1
> [[Grafritning och asymptoter|Kurvundersökning]] med [[Extremvärden|teckenschema för derivatan]], och sedan [[Ekvationslösning med derivata|antal lösningar]] ur grafen.
>
> > [!tip]- Ledtråd 2
> > Faktorisera med $t = e^x$: $f(x) = e^x(e^x - 3)^2$. Undersök $x\to\pm\infty$ och $\dfrac{f(x)}{x}$ för en sned asymptot.
> >
> > > [!tip]- Ledtråd 3
> > > $f'(x) = 3e^x(e^x - 1)(e^x - 3)$, så de kritiska punkterna är $x = 0$ och $x = \ln 3$. I (b): dra horisontella linjer $y = C$ i grafen.

> [!note]- Lösning
> **(a) Faktorisering.**
> $$
> f(x) = e^x\left((e^x)^2 - 6e^x + 9\right) = e^x(e^x - 3)^2 \ge 0
> $$
> med likhet bara då $e^x = 3$, dvs. $x = \ln 3$.
>
> **Asymptoter.** $f$ är kontinuerlig på hela $\mathbb{R}$, så lodräta asymptoter saknas. Vidare är
> $$
> \lim_{x\to-\infty}e^x(e^x - 3)^2 = 0\cdot(-3)^2 = 0, \qquad \lim_{x\to\infty}e^x(e^x - 3)^2 = \infty
> $$
> så $y = 0$ är en vågrät asymptot då $x\to-\infty$. Åt höger är
> $$
> \lim_{x\to\infty}\dfrac{f(x)}{x} = \lim_{x\to\infty}\dfrac{e^x}{x}\cdot(e^x - 3)^2 = \infty
> $$
> så där finns ingen sned asymptot.
> $$
> \boxed{\text{enda asymptoten är } y = 0 \text{ då } x\to-\infty}
> $$
>
> **Derivata.**
> $$
> f'(x) = 3e^{3x} - 12e^{2x} + 9e^x = 3e^x\left((e^x)^2 - 4e^x + 3\right) = 3e^x(e^x - 1)(e^x - 3)
> $$
> Kritiska punkter: $e^x = 1$ eller $e^x = 3$, dvs. $x = 0$ och $x = \ln 3$.
>
> | | $x < 0$ | $0$ | $0 < x < \ln 3$ | $\ln 3$ | $x > \ln 3$ |
> |---|---|---|---|---|---|
> | $3e^x$ | $+$ | $+$ | $+$ | $+$ | $+$ |
> | $e^x - 1$ | $-$ | $0$ | $+$ | $+$ | $+$ |
> | $e^x - 3$ | $-$ | $-$ | $-$ | $0$ | $+$ |
> | $f'(x)$ | $+$ | $0$ | $-$ | $0$ | $+$ |
> | $f(x)$ | $\nearrow$ | lok. max | $\searrow$ | lok. min | $\nearrow$ |
>
> $$
> \boxed{\text{lok. max } f(0) = 1\cdot(1 - 3)^2 = 4, \quad \text{lok. min } f(\ln 3) = 3\cdot 0^2 = 0}
> $$
> Minimet är också globalt eftersom $f\ge 0$; globalt maximum saknas eftersom $f\to\infty$.
>
> *Frivilligt:* $f''(x) = 9e^{3x} - 24e^{2x} + 9e^x = 9e^x\left((e^x)^2 - \dfrac83e^x + 1\right)$ byter tecken där $e^x = \dfrac{4\pm\sqrt7}{3}$, så kurvan har inflexionspunkter i $x = \ln\dfrac{4\pm\sqrt7}{3}\approx\pm 0{,}80$.
>
> **Skiss.** Kurvan kommer in längs $x$-axeln från vänster (ovanför den), stiger till $(0, 4)$, sjunker ned till $(\ln 3, 0)\approx(1{,}10;\ 0)$ där den tangerar $x$-axeln och växer sedan obegränsat.
>
> **(b)** Lösningarna till $f(x) = C$ är skärningspunkterna mellan kurvan och den vågräta linjen $y = C$. På $(-\infty, 0]$ växer $f$ strängt från (men inte till) $0$ upp till $4$, på $[0, \ln 3]$ avtar $f$ strängt från $4$ till $0$ och på $[\ln 3, \infty)$ växer $f$ strängt från $0$ mot $\infty$. Varje monotont intervall ger alltså högst en lösning, och enligt satsen om mellanliggande värden en lösning när $C$ ligger i intervallets värdemängd:
> $$
> \boxed{\begin{array}{ll} C < 0: & \text{inga lösningar}\\ C = 0: & \text{en lösning } (x = \ln 3)\\ 0 < C < 4: & \text{tre lösningar}\\ C = 4: & \text{två lösningar } (x = 0 \text{ och en med } x > \ln 3)\\ C > 4: & \text{en lösning}\end{array}}
> $$
>
> ![[tenta210325-uppgift5-kurva.png|520]]
>
> *Kontrollerat mot facit.*

---

## 6. Balk med maximalt böjmotstånd

Ur en lång timmerstock med cirkulärt tvärsnitt med radie $R$ skall en balk med rektangulärt tvärsnitt sågas. Böjmotståndet $W$ hos en sådan balk ges av
$$
W = \dfrac{bh^2}{6}
$$
där $b$ är balkens bredd och $h$ balkens höjd. Hur skall $b$ och $h$ väljas för att böjmotståndet $W$ skall bli maximalt och vad blir det maximala böjmotståndet $W_{\max}$? *(5p)*

*Totalpoäng: 5*

> [!tip]- Ledtråd 1
> Optimering: [[Extremvärden|största värde]] för en kontinuerlig funktion på ett slutet, begränsat intervall.
>
> > [!tip]- Ledtråd 2
> > Balkens hörn ska ligga på stockens rand, så rektangelns diagonal är en diameter: $b^2 + h^2 = (2R)^2$. Uttryck därför $W$ som en funktion av enbart $b$.
> >
> > > [!tip]- Ledtråd 3
> > > $W(b) = \dfrac{b(4R^2 - b^2)}{6}$ för $0\le b\le 2R$. Jämför kritiska punkter med ändpunkterna.

> [!note]- Lösning
> För maximalt $W$ ska balkens hörn ligga på stockens periferi, så diagonalen är en diameter:
> $$
> \left(\dfrac b2\right)^2 + \left(\dfrac h2\right)^2 = R^2 \iff h^2 = 4R^2 - b^2
> $$
> Då är
> $$
> W(b) = \dfrac{b(4R^2 - b^2)}{6}, \quad 0\le b\le 2R
> $$
> $W$ är kontinuerlig på det slutna och begränsade intervallet $[0, 2R]$, så ett största värde finns. I ändpunkterna är $W(0) = W(2R) = 0$, så maximum antas i en inre punkt där derivatan är noll:
> $$
> W'(b) = \dfrac{4R^2 - 3b^2}{6} = 0 \iff b^2 = \dfrac{4R^2}{3} \iff b = \dfrac{2R}{\sqrt3}
> $$
> (bara den positiva roten ligger i intervallet). Motsvarande höjd är
> $$
> h = \sqrt{4R^2 - \dfrac{4R^2}{3}} = \sqrt{\dfrac{8R^2}{3}} = \dfrac{2\sqrt2\,R}{\sqrt3}
> $$
> Kontroll: $W''(b) = -b < 0$, så det är ett maximum. Det maximala böjmotståndet är
> $$
> W_{\max} = \dfrac16\cdot\dfrac{2R}{\sqrt3}\cdot\dfrac{8R^2}{3} = \dfrac{8R^3}{9\sqrt3} = \dfrac{8\sqrt3\,R^3}{27}
> $$
> $$
> \boxed{b = \dfrac{2R}{\sqrt3}, \quad h = \dfrac{2\sqrt2\,R}{\sqrt3} = \sqrt2\,b, \quad W_{\max} = \dfrac{8\sqrt3\,R^3}{27}\approx 0{,}513R^3}
> $$
>
> *Kontrollerat mot facit.*

---

## Se även

- [[M0065M]]
- [[Matematisk induktion]]
- [[Talföljder och summor]]
- [[Gränsvärden]]
- [[Oegentliga gränsvärden]]
- [[Polynom och faktorisering]]
- [[Funktioner och invers]]
- [[Inversa funktioners derivata]]
- [[Implicit derivering]]
- [[Extremvärden]]
- [[Grafritning och asymptoter]]
- [[Ekvationslösning med derivata]]