---
kurs:
  - M0065M
tags:
  - tenta
  - matematik
  - envariabelanalys
status: utkast
datum: 2019-12-19
typ: tenta
aliases:
  - Tenta M0047M 2019-12-19
---
> **Kurs:** [[M0065M]] — Envariabelanalys 1
> **Datum:** 2019-12-19
> **Källa:** originaltentamen och lärarens lösningar (m0047m_191219full.pdf, m0047m_191219sols.pdf)
> *M0047M är föregångaren till M0065M med samma innehåll.*

> [!abstract] Översikt
> - Uppgift 1: induktionsbevis för en formel för $n$:te derivatan av $xe^{2x}$
> - Uppgift 2: tre gränsvärden: en kvot när $x\to\infty$, en kvot med absolutbelopp och en kvot med $\sin$ och $\tan$
> - Uppgift 3: Taylorpolynom av ordning 2 för $e^x$ med Lagranges restterm och en uppskattning av $\sqrt e$
> - Uppgift 4: lokala extremvärden och värdemängd för $x^{x\ln x}$
> - Uppgift 5: inverterbarhet, inversens värde och inversens derivata för $\dfrac{x^3}{1 + x^2}$
> - Uppgift 6: största cylindern inskriven i en kon

> [!tip] Så använder du sidan
> Försök själv först. Ledtråd 1 säger vilken sorts uppgift det är, ledtråd 2 (inuti ledtråd 1) ger modellen och ledtråd 3 (inuti ledtråd 2) nyckelsteget. **Lösning** är hela uträkningen, kontrollerad mot lärarens facit.

---

## 1. Högre derivator av $xe^{2x}$ genom induktion

Bevisa, exempelvis med induktion, att det för alla positiva heltal $n$ gäller att
$$
\dfrac{d^n}{dx^n}\left(xe^{2x}\right) = \left(2^n x + n\cdot 2^{n-1}\right)e^{2x}.
$$
*(5p)*

*Totalpoäng: 5*

> [!tip]- Ledtråd 1
> Ett bevis med [[Matematisk induktion|induktion]], där induktionssteget är en derivering med [[Deriveringsregler|produktregeln]].
>
> > [!tip]- Ledtråd 2
> > Basfallet är $n = 1$. Anta att formeln gäller för $n = p$ och derivera båda leden en gång till: $\dfrac{d^{p+1}}{dx^{p+1}} = \dfrac{d}{dx}\dfrac{d^p}{dx^p}$.
> >
> > > [!tip]- Ledtråd 3
> > > $\dfrac{d}{dx}\left[\left(2^p x + p\cdot 2^{p-1}\right)e^{2x}\right] = 2^p e^{2x} + 2\left(2^p x + p\cdot 2^{p-1}\right)e^{2x}$. Samla ihop och använd $2^p + p\cdot 2^p = (p + 1)2^p$.

> [!note]- Lösning
> **Basfall.** För $n = 1$ ger produktregeln
> $$
> \dfrac{d}{dx}\left(xe^{2x}\right) = e^{2x} + x\cdot 2e^{2x} = (2x + 1)e^{2x} = \left(2^1 x + 1\cdot 2^0\right)e^{2x}
> $$
> så formeln gäller för $n = 1$.
>
> **Induktionssteg.** Anta att formeln gäller för något heltal $p\ge 1$ (induktionsantagandet):
> $$
> \dfrac{d^p}{dx^p}\left(xe^{2x}\right) = \left(2^p x + p\cdot 2^{p-1}\right)e^{2x}
> $$
> Vi vill visa att $\dfrac{d^{p+1}}{dx^{p+1}}\left(xe^{2x}\right) = \left(2^{p+1}x + (p + 1)2^p\right)e^{2x}$. Med induktionsantagandet och produktregeln får vi
> $$
> \begin{aligned}
> \dfrac{d^{p+1}}{dx^{p+1}}\left(xe^{2x}\right) &= \dfrac{d}{dx}\left[\left(2^p x + p\cdot 2^{p-1}\right)e^{2x}\right] = 2^p e^{2x} + \left(2^p x + p\cdot 2^{p-1}\right)\cdot 2e^{2x}\\
> &= \left(2^p + 2^{p+1}x + p\cdot 2^p\right)e^{2x} = \left(2^{p+1}x + (p + 1)2^p\right)e^{2x}
> \end{aligned}
> $$
> vilket är formeln för $n = p + 1$.
>
> Enligt induktionsprincipen gäller
> $$
> \boxed{\dfrac{d^n}{dx^n}\left(xe^{2x}\right) = \left(2^n x + n\cdot 2^{n-1}\right)e^{2x} \text{ för alla heltal } n\ge 1}
> $$
>
> *Kontrollerat mot facit.*

---

## 2. Tre gränsvärden

Bestäm följande gränsvärden, om de existerar:

(a)
$$
\lim_{x\to\infty}\dfrac{3x^3 - 15x^5e^{-x}}{4x^2\sin x - 7x^3}.
$$
*(1p)*

(b)
$$
\lim_{x\to 0}\dfrac{|2x - 2| - |2x + 2|}{x}.
$$
*(2p)*

(c)
$$
\lim_{x\to 0}\dfrac{\sin 5x - 3x}{2\tan 3x - 4x\cos x}.
$$
*(2p)*

*Totalpoäng: 5*

> [!tip]- Ledtråd 1
> [[Gränsvärden]] av typerna $\left[\dfrac{\infty}{\infty}\right]$ och $\left[\dfrac00\right]$, med standardgränsvärden och absolutbelopp.
>
> > [!tip]- Ledtråd 2
> > (a) Bryt ut $x^3$ i täljare och nämnare. (b) Skriv om absolutbeloppen utan beloppstecken för $x$ nära $0$. (c) Dela täljare och nämnare med $x$ och använd $\dfrac{\sin x}{x}\to 1$.
> >
> > > [!tip]- Ledtråd 3
> > > (a) $\dfrac{x^2}{e^x}\to 0$ och $\dfrac{\sin x}{x}\to 0$ när $x\to\infty$. (b) För $-1 < x < 1$ är $|2x - 2| = 2 - 2x$ och $|2x + 2| = 2x + 2$. (c) $\dfrac{2\tan 3x}{x} = 6\cdot\dfrac{\sin 3x}{3x}\cdot\dfrac{1}{\cos 3x}$.

> [!note]- Lösning
> **(a)** Typen är $\left[\dfrac{\infty}{\infty}\right]$. Utbrytning av $x^3$ ger
> $$
> \dfrac{3x^3 - 15x^5e^{-x}}{4x^2\sin x - 7x^3} = \dfrac{3 - 15\cdot\dfrac{x^2}{e^x}}{4\cdot\dfrac{\sin x}{x} - 7}
> $$
> När $x\to\infty$ går $\dfrac{x^2}{e^x}\to 0$ (exponentialfunktionen växer snabbare än varje potens) och $\dfrac{\sin x}{x}\to 0$ (eftersom $|\sin x|\le 1$). Alltså
> $$
> \boxed{\lim_{x\to\infty}\dfrac{3x^3 - 15x^5e^{-x}}{4x^2\sin x - 7x^3} = \dfrac{3 - 0}{0 - 7} = -\dfrac37}
> $$
>
> **(b)** Typen är $\left[\dfrac00\right]$. Eftersom $|2x - 2| = 2 - 2x$ för $x < 1$ och $|2x + 2| = 2x + 2$ för $x\ge -1$ gäller för $-1 < x < 1$, $x\ne 0$:
> $$
> \dfrac{|2x - 2| - |2x + 2|}{x} = \dfrac{(2 - 2x) - (2x + 2)}{x} = \dfrac{-4x}{x} = -4
> $$
> $$
> \boxed{\lim_{x\to 0}\dfrac{|2x - 2| - |2x + 2|}{x} = -4}
> $$
>
> **(c)** Typen är $\left[\dfrac00\right]$. Division med $x$ i täljare och nämnare ger
> $$
> \dfrac{\sin 5x - 3x}{2\tan 3x - 4x\cos x} = \dfrac{5\cdot\dfrac{\sin 5x}{5x} - 3}{6\cdot\dfrac{\sin 3x}{3x}\cdot\dfrac{1}{\cos 3x} - 4\cos x}\to\dfrac{5\cdot 1 - 3}{6\cdot 1\cdot 1 - 4\cdot 1} = \dfrac22
> $$
> $$
> \boxed{\lim_{x\to 0}\dfrac{\sin 5x - 3x}{2\tan 3x - 4x\cos x} = 1}
> $$
>
> *Kontrollerat mot facit.*

---

## 3. Taylorpolynom för $e^x$ och en uppskattning av $\sqrt e$

Låt
$$
f(x) = e^x, \quad x\in\mathbb{R}.
$$

(a) Bestäm ett andra ordningens taylorpolynom till $f$ kring punkten $a = 0$, inklusive Lagranges restterm. *(3p)*

(b) Använd detta polynom för att visa att
$$
\sqrt e > \dfrac{13}{8}.
$$
*(1p)*

(c) Använd feltermen för att bestämma det maximala värdet differensen
$$
\sqrt e - \dfrac{13}{8}
$$
kan få. *(1p)*

*Totalpoäng: 5*

> [!tip]- Ledtråd 1
> [[Taylors formel]] med Lagranges restterm.
>
> > [!tip]- Ledtråd 2
> > $f(x) = P_2(x) + E_2(x)$ med $P_2(x) = f(0) + f'(0)x + \dfrac{f''(0)}{2!}x^2$ och $E_2(x) = \dfrac{f'''(s)}{3!}x^3$ för något $s$ mellan $0$ och $x$. Sätt sedan $x = \dfrac12$.
> >
> > > [!tip]- Ledtråd 3
> > > Alla derivator av $e^x$ är $e^x$, så $E_2\!\left(\frac12\right) = \dfrac{e^s}{48}$ med $0 < s < \dfrac12$. Detta är positivt, och $e^s < e^{1/2}$.

> [!note]- Lösning
> **(a)** $f'(x) = f''(x) = f'''(x) = e^x$, så $f(0) = f'(0) = f''(0) = 1$. Taylors formel ger
> $$
> \boxed{e^x = 1 + x + \dfrac{x^2}{2} + E_2(x), \qquad E_2(x) = \dfrac{e^s}{6}x^3}
> $$
> för något $s$ mellan $0$ och $x$.
>
> **(b)** Med $x = \dfrac12$ är
> $$
> \sqrt e = e^{1/2} = P_2\!\left(\dfrac12\right) + E_2\!\left(\dfrac12\right) = 1 + \dfrac12 + \dfrac18 + \dfrac{e^s}{6}\cdot\dfrac18 = \dfrac{13}{8} + \dfrac{e^s}{48}
> $$
> med $0 < s < \dfrac12$. Eftersom $e^s > 0$ är resttermen positiv, så
> $$
> \boxed{\sqrt e > \dfrac{13}{8}}
> $$
>
> **(c)** Differensen är precis resttermen:
> $$
> \sqrt e - \dfrac{13}{8} = \dfrac{e^s}{48}, \quad 0 < s < \dfrac12
> $$
> Eftersom $e^s$ är växande är $e^s < e^{1/2} = \sqrt e$, så $\sqrt e - \dfrac{13}{8} < \dfrac{\sqrt e}{48}$. För att få en gräns utan $\sqrt e$ i högerledet löser vi ut $\sqrt e$:
> $$
> \sqrt e\left(1 - \dfrac{1}{48}\right) < \dfrac{13}{8} \iff \sqrt e < \dfrac{13}{8}\cdot\dfrac{48}{47} = \dfrac{78}{47}
> $$
> Därmed
> $$
> \boxed{0 < \sqrt e - \dfrac{13}{8} < \dfrac{\sqrt e}{48} < \dfrac{1}{48}\cdot\dfrac{78}{47} = \dfrac{13}{376}\approx 0{,}035}
> $$
> *Anmärkning:* en enklare men grövre gräns fås av $e < 4$, dvs. $\sqrt e < 2$, vilket ger $\sqrt e - \dfrac{13}{8} < \dfrac{2}{48} = \dfrac{1}{24}$. Den verkliga differensen är ungefär $0{,}024$.
>
> *Kontrollerat mot facit. Lärarens lösning formulerar (c) som att bestämma "en övre gräns" för differensen; det exakta maximum av $\dfrac{e^s}{48}$ antas inte, eftersom $s < \dfrac12$, så svaret är en övre gräns, $\dfrac{13}{376}$.*

---

## 4. Funktionen $x^{x\ln x}$

Bilda funktionen
$$
f(x) = x^{x\ln x}, \quad x > 0.
$$
Bestäm eventuella lokala extremvärden. Gör teckenstudium av derivatan, skissera kurvan i dess huvuddrag och ange funktionens värdemängd. *Ledning: skriv först om $f(x)$ som $e^{\ln f(x)}$.* *(5p)*

*Totalpoäng: 5*

> [!tip]- Ledtråd 1
> Skriv om med [[Exponentialfunktioner och logaritmer|logaritmlagarna]] och gör en [[Extremvärden|teckenstudie av derivatan]] och [[Grafritning och asymptoter|kurvundersökning]].
>
> > [!tip]- Ledtråd 2
> > $\ln f(x) = x\ln x\cdot\ln x = x(\ln x)^2$, så $f(x) = e^{x(\ln x)^2}$. Undersök gränsvärdena när $x\to 0^+$ och $x\to\infty$ och derivera med kedjeregeln.
> >
> > > [!tip]- Ledtråd 3
> > > $f'(x) = e^{x(\ln x)^2}(\ln x + 2)\ln x$, med nollställen $x = e^{-2}$ och $x = 1$. Använd $\sqrt x\ln x\to 0$ när $x\to 0^+$.

> [!note]- Lösning
> **Omskrivning.** $\ln f(x) = x\ln x\cdot\ln x = x(\ln x)^2$, så
> $$
> f(x) = e^{x(\ln x)^2}, \quad x > 0
> $$
> Eftersom exponenten är $\ge 0$ är $f(x)\ge e^0 = 1$ för alla $x > 0$.
>
> **Gränsvärden i ändpunkterna.** Standardgränsvärdet $\sqrt x\ln x\to 0$ när $x\to 0^+$ ger
> $$
> x(\ln x)^2 = \left(\sqrt x\ln x\right)^2\to 0 \quad\Longrightarrow\quad \lim_{x\to 0^+}f(x) = e^0 = 1
> $$
> och eftersom $x(\ln x)^2\to\infty$ när $x\to\infty$ är $\lim_{x\to\infty}f(x) = \infty$.
>
> **Derivata.** Kedjeregeln och produktregeln ger
> $$
> f'(x) = e^{x(\ln x)^2}\left((\ln x)^2 + x\cdot\dfrac{2\ln x}{x}\right) = e^{x(\ln x)^2}(\ln x + 2)\ln x
> $$
> Kritiska punkter: $\ln x = -2$ och $\ln x = 0$, dvs. $x = e^{-2}$ och $x = 1$.
>
> | | $0 < x < e^{-2}$ | $e^{-2}$ | $e^{-2} < x < 1$ | $1$ | $x > 1$ |
> |---|---|---|---|---|---|
> | $\ln x + 2$ | $-$ | $0$ | $+$ | $+$ | $+$ |
> | $\ln x$ | $-$ | $-$ | $-$ | $0$ | $+$ |
> | $e^{x(\ln x)^2}$ | $+$ | $+$ | $+$ | $+$ | $+$ |
> | $f'(x)$ | $+$ | $0$ | $-$ | $0$ | $+$ |
> | $f(x)$ | $\nearrow$ | lok. max | $\searrow$ | lok. min | $\nearrow$ |
>
> Funktionsvärdena är
> $$
> f\!\left(e^{-2}\right) = e^{e^{-2}(-2)^2} = e^{4e^{-2}}\approx 1{,}72, \qquad f(1) = e^{1\cdot 0^2} = 1
> $$
> $$
> \boxed{\text{lok. max } f\!\left(e^{-2}\right) = e^{4e^{-2}}, \quad \text{lok. min } f(1) = 1}
> $$
>
> **Värdemängd.** $f\ge 1$ med likhet i $x = 1$, och $f$ är kontinuerlig med $f(x)\to\infty$ när $x\to\infty$. Enligt satsen om mellanliggande värden antas alla värden i $[1, \infty)$:
> $$
> \boxed{V_f = [1, \infty)}
> $$
>
> **Skiss.** Kurvan startar i $(0, 1)$ (utan att nå dit, eftersom $x > 0$), stiger brant till maximipunkten $\left(e^{-2}, e^{4e^{-2}}\right)\approx(0{,}14;\ 1{,}72)$, sjunker till minimipunkten $(1, 1)$ där den tangerar linjen $y = 1$ och växer sedan obegränsat.
>
> ![[tenta191219-uppgift4-kurva.png|520]]
>
> *Kontrollerat mot facit.*

---

## 5. Inversen till $\dfrac{x^3}{1 + x^2}$

Låt
$$
f(x) = \dfrac{x^3}{1 + x^2}, \quad x\in\mathbb{R}.
$$

(a) Visa att funktionen är inverterbar. *(2p)*

(b) Finn
$$
f^{-1}\!\left(\dfrac12\right).
$$
*(1p)*

(c) Beräkna
$$
\left(f^{-1}\right)'\!\left(\dfrac12\right).
$$
*(2p)*

*Totalpoäng: 5*

> [!tip]- Ledtråd 1
> [[Funktioner och invers|Inverterbarhet]] via monotonicitet, och [[Inversa funktioners derivata]].
>
> > [!tip]- Ledtråd 2
> > (a) En strängt växande funktion är injektiv. (b) Lös $f(y) = \dfrac12$. (c) $\left(f^{-1}\right)'(x) = \dfrac{1}{f'(y)}$ där $y = f^{-1}(x)$.
> >
> > > [!tip]- Ledtråd 3
> > > $f'(x) = \dfrac{x^2(x^2 + 3)}{(1 + x^2)^2}$. I (b) blir ekvationen $2y^3 - y^2 - 1 = 0$; pröva $y = 1$.

> [!note]- Lösning
> **(a)** Kvotregeln ger
> $$
> f'(x) = \dfrac{3x^2(1 + x^2) - x^3\cdot 2x}{(1 + x^2)^2} = \dfrac{x^4 + 3x^2}{(1 + x^2)^2} = \dfrac{x^2(x^2 + 3)}{(1 + x^2)^2}
> $$
> Alltså är $f'(x) > 0$ för $x\ne 0$ och $f'(0) = 0$. Eftersom derivatan är positiv utom i en enda punkt är $f$ strängt växande på $\mathbb{R}$ (man ser också direkt att $f(x) < 0 = f(0)$ för $x < 0$ och $f(x) > 0$ för $x > 0$). En strängt växande funktion är injektiv, så
> $$
> \boxed{f \text{ är inverterbar}}
> $$
>
> **(b)** $y = f^{-1}\!\left(\frac12\right)$ betyder $f(y) = \dfrac12$:
> $$
> \dfrac{y^3}{1 + y^2} = \dfrac12 \iff 2y^3 = 1 + y^2 \iff 2y^3 - y^2 - 1 = 0
> $$
> $y = 1$ är en rot, och faktorisering ger $(y - 1)(2y^2 + y + 1) = 0$. Andragradsfaktorn har diskriminanten $1 - 8 < 0$ och saknar reella rötter (vilket också följer av att $f$ är injektiv). Alltså
> $$
> \boxed{f^{-1}\!\left(\dfrac12\right) = 1}
> $$
>
> **(c)** Implicit derivering av $x = f(y)$ med avseende på $x$ ger $1 = f'(y)\,y'$, dvs.
> $$
> \left(f^{-1}\right)'(x) = \dfrac{1}{f'(y)} = \dfrac{(1 + y^2)^2}{y^2(y^2 + 3)}
> $$
> I punkten $x = \dfrac12$ är $y = 1$ och $f'(1) = \dfrac{1\cdot 4}{2^2} = 1 \ne 0$, så
> $$
> \boxed{\left(f^{-1}\right)'\!\left(\dfrac12\right) = \dfrac{1}{f'(1)} = 1}
> $$
>
> *Kontrollerat mot facit.*

---

## 6. Största cylindern i en kon

Bestäm den maximala volymen av en rak cirkulär cylinder inskriven i en cirkulär kon med höjden 12 cm och basradien 4 cm. Vi förutsätter att symmetriaxlarna till cylindern och konen sammanfaller. *(5p)*

*Totalpoäng: 5*

> [!tip]- Ledtråd 1
> En optimeringsuppgift: [[Extremvärden]] för en funktion av en variabel på ett slutet intervall.
>
> > [!tip]- Ledtråd 2
> > Låt cylindern ha radien $r$ och höjden $h$, så $V = \pi r^2 h$. Likformiga trianglar i ett snitt genom symmetriaxeln ger sambandet mellan $r$ och $h$.
> >
> > > [!tip]- Ledtråd 3
> > > $\dfrac{r}{12 - h} = \dfrac{4}{12}$, dvs. $h = 3(4 - r)$, så $V(r) = 3\pi r^2(4 - r)$ för $0\le r\le 4$.

> [!note]- Lösning
> Låt cylindern ha radien $r$ och höjden $h$. Dess volym är $V = \pi r^2 h$. Cylinderns övre kant ligger på konens mantel. I ett snitt genom symmetriaxeln ger likformiga trianglar (konens radie på höjden $h$ är $r$, avståndet till spetsen är $12 - h$):
> $$
> \dfrac{r}{12 - h} = \dfrac{4}{12} \iff 12 - h = 3r \iff h = 3(4 - r)
> $$
> Alltså
> $$
> V(r) = 3\pi r^2(4 - r) = 3\pi\left(4r^2 - r^3\right), \quad 0\le r\le 4
> $$
> I ändpunkterna är $V(0) = V(4) = 0$. Derivatan är
> $$
> V'(r) = 3\pi\left(8r - 3r^2\right) = 3\pi r(8 - 3r)
> $$
> med nollställena $r = 0$ och $r = \dfrac83\in(0, 4)$. $V'$ är positiv på $\left(0, \frac83\right)$ och negativ på $\left(\frac83, 4\right)$, så $r = \dfrac83$ ger maximum (alternativt $V''\!\left(\frac83\right) = 3\pi\left(8 - 6\cdot\frac83\right) = -24\pi < 0$). Då är $h = 3\left(4 - \frac83\right) = 4$ och
> $$
> V\!\left(\dfrac83\right) = 3\pi\left(\dfrac83\right)^2\cdot\dfrac43 = \dfrac{256\pi}{9}
> $$
> $$
> \boxed{V_{\max} = \dfrac{256\pi}{9}\text{ cm}^3\approx 89{,}4\text{ cm}^3 \quad\left(r = \dfrac83\text{ cm}, \ h = 4\text{ cm}\right)}
> $$
>
> *Kontrollerat mot facit.*

---

## Se även

- [[M0065M]]
- [[Matematisk induktion]]
- [[Deriveringsregler]]
- [[Gränsvärden]]
- [[Taylors formel]]
- [[Exponentialfunktioner och logaritmer]]
- [[Extremvärden]]
- [[Grafritning och asymptoter]]
- [[Funktioner och invers]]
- [[Inversa funktioners derivata]]