---
kurs:
  - F0005T
tags:
  - tenta
  - fysik
  - vågrörelse
  - modern-fysik
status: utkast
datum: 2024-08-30
typ: tenta
examinator: Erik Olsson
aliases:
  - Tenta F0005T 2024-08-30
  - Fysik 2-tenta augusti 2024
---
> **Kurs:** [[F0005T]] — Fysik 2
> **Datum:** 2024-08-30
> **Examinator:** Erik Olsson
> **Källa:** [[F0005T-240830.pdf|originaltentamen]] · [[F0005T-240830_solutions.pdf|lärarens lösningar]]
> **Hjälpmedel:** miniräknare och Fysika. 6 uppgifter, 18 poäng; betyg 3 vid 9 p, 4 vid 12,5 p och 5 vid 15,5 p.

> [!abstract] Översikt
> VÅG (uppgift 1–3):
> - partikelrörelsen i två punkter på en sträng: frekvens, våglängd och faskonstant (1), samma uppgift som [[F0005T-2023-10-24|oktober 2023]] uppgift 1
> - dubbelspalt: spaltbredd och spaltavstånd ur ett ljusmönster mot en linjal (2)
> - tre högtalare i rad: avståndet som ger minimum och ljudnivån där (3), samma uppgift som [[F0005T-2023-05-25|maj 2023]] uppgift 2
>
> MOF (uppgift 4–6):
> - en stjärnas spektrum och hur långt bort en satellit med solpaneler kan vara (4), samma uppgift som [[F0005T-2023-10-24|oktober 2023]] uppgift 4
> - omloppstiden för elektronen i Bohrs väteatom (5), samma uppgift som [[F0005T-2023-03-24|mars 2023]] uppgift 5
> - Moseleys lag ur Bohrs modell och elektroner som ska ge $K_\alpha$ från guld (6), samma uppgift som [[F0005T-2023-03-24|mars 2023]] uppgift 6

> [!tip] Så använder du sidan
> Försök själv först, med Fysika framme som på tentan. Ledtråd 1 säger vilken sorts uppgift det är och var den står i Fysika, ledtråd 2 (inuti ledtråd 1) ger modellen och ledtråd 3 (inuti ledtråd 2) nyckelsteget eller fällan. **Lösning** är lärarens lösning med förklaringar mellan stegen; varje formel och tabellvärde har sin Fysika-kod. Där läraren bara gett svaret (seminarieuppgifter) är lösningsgången egen och svaret kontrollerat mot lärarens. Figurerna är interaktiva: håll muspekaren över kurvorna för exakta värden, och dra i reglagen där sådana finns.

---

## 1. Två punkter på en sträng: frekvens, våglängd och faskonstant

En transversell våg propagerar i negativ $x$-riktning längs en sträng. I figuren nedan kan du se hur två punkter på strängen rör sig i tiden, avståndet mellan punkterna är mindre än en våglängd. Bestäm den propagerande vågens frekvens, våglängd och faskonstant. Utgå från att vågen ska beskrivas med en sinus-funktion och ange ett värde på faskonstanten mellan $0$ och $2\pi$.

![[f05t-231024-u1-grafer.png|620]]

*Totalpoäng: 3*

> [!tip]- Ledtråd 1
> [[Harmonisk våg]] och [[Fas och faskonstant]], avläst ur två tidsserier. *Fysika: Fc1* (propagerande harmonisk våg, $T = 1/f$, $k = 2\pi/\lambda$, $v = f\lambda$).
>
> > [!tip]- Ledtråd 2
> > Avståndet mellan två toppar i samma kurva är periodtiden $T$. Vågen går åt $-x$, så den når $x = 100\ \text{mm}$ först och $x = 50\ \text{mm}$ en stund senare: tidsförskjutningen mellan kurvorna och avståndet $50\ \text{mm}$ ger farten.
> >
> > > [!tip]- Ledtråd 3
> > > Skriv $y = a\sin(kx + \omega t + \alpha)$ (plus för $-x$-riktning) och sätt in en topp du känner exakt, till exempel den streckade kurvans topp vid $t = 20\ \text{ms}$, där sinus är $1$.

> [!note]- Lösning
> Samma uppgift som [[F0005T-2023-10-24|oktober 2023]] uppgift 1.
>
> **Frekvensen.** Vi kan avläsa periodtiden ur figuren (avståndet mellan två toppar i samma kurva) och få frekvensen på det sättet:
> $$
> T = 20\ \text{ms}\ \Rightarrow\ f = \frac{1}{T} = \frac{1}{0{,}020} = 50\ \text{Hz}
> $$
> *Fysika: Fc1 ($T = 1/f$)*
>
> **Våglängden.** För att bestämma våglängden måste vi först bestämma vågens hastighet. Vågen propagerar i negativ $x$-riktning, så en topp passerar först $x = 100\ \text{mm}$ (streckad kurva, $t = 0$) och sedan $x = 50\ \text{mm}$ (heldragen kurva, $t = 5\ \text{ms}$). Vi läser alltså från den streckade till den heldragna kurvan, åt höger i grafen eftersom tiden ökar:
> $$
> v = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{0{,}05\ \text{m}}{0{,}005\ \text{s}} = 10\ \text{m/s}
> $$
> Det ger oss våglängden
> $$
> \lambda = \frac{v}{f} = \frac{10}{50} = 0{,}20\ \text{m}
> $$
> *Fysika: Fc1 ($v = f\cdot\lambda$)*
>
> Avståndet $50\ \text{mm}$ är mindre än $\lambda = 200\ \text{mm}$, som uppgiften kräver. (Med $\Delta t = 25\ \text{ms}$ i stället blir $\lambda = 40\ \text{mm}$, mindre än avståndet, så den tolkningen faller bort.)
>
> **Faskonstanten.** Vi utgår från följande våg, med plustecken för utbredning i negativ $x$-riktning:
> $$
> y = a\sin(kx + \omega t + \alpha)
> $$
> *Fysika: Fc1 (propagerande harmonisk våg, $s = a\cos(\omega t \pm kx + \delta)$; sinus i stället för cosinus ändrar bara faskonstantens värde)*
>
> Då $x = 100\ \text{mm}$ och $t = 20\ \text{ms}$ är sinusfunktionen lika med $1$, vilket ger oss
> $$
> \begin{aligned}
> kx + \omega t + \alpha &= \frac{\pi}{2}\\
> \Rightarrow\ \alpha &= \frac{\pi}{2} - \frac{2\pi}{0{,}20}\cdot 0{,}100 - 2\pi\cdot 50\cdot 0{,}020 = -\frac{5\pi}{2}
> \end{aligned}
> $$
> Lägg till $4\pi$ för att få ett värde mellan $0$ och $2\pi$: $\alpha = 3\pi/2$. Kontroll med den heldragna kurvan: $y(50\ \text{mm}, 0) = 40\sin(\pi/2 + 3\pi/2) = 0$, och $y$ ökar därefter, som i figuren.
>
> Svar: $\boxed{f = 50\ \text{Hz}}$, $\boxed{\lambda = 0{,}20\ \text{m}}$ och $\boxed{\alpha = \tfrac32\pi}$.
>
> *Kontrollerat mot facit.*

---

## 2. Dubbelspalt: spaltbredd och spaltavstånd ur mönstret

En laserstråle med våglängden $633\ \text{nm}$ träffar en dubbelspalt och $3{,}65\ \text{m}$ bakom dubbelspalten ses ljusmönstret i figuren, linjalen visar längden i cm. Beräkna spaltbredden och spaltavståndet. Var tydlig med att redovisa vilka mått du utgått från.

![[f05t-240830-u2-monster.png|620]]

*(Tentans figur är en bild av mönstret ovanför en linjal. Här är den ritad om ur lärarens modell för dubbelspalten, med spaltmåtten avlästa i originalbilden; håll muspekaren över mönstret för läget i cm.)*

*Totalpoäng: 3*

> [!tip]- Ledtråd 1
> [[Dubbelspaltexperimentet]] och [[Fraunhoferdiffraktion]]: interferensränder från två spalter under enkelspaltens diffraktionsmönster. *Fysika: Fc5* (dubbelspalt, villkor för interferensmaxima och diffraktionsminima).
>
> > [!tip]- Ledtråd 2
> > Två längdskalor syns i mönstret. De täta ränderna har avståndet $\Delta y = \lambda L/d$ (spaltavståndet $d$). Det breda centrala området slutar vid det första diffraktionsminimumet, $y_1 = \lambda L/b$ (spaltbredden $b$). Små vinklar: $\sin\theta \approx \tan\theta = y/L$.
> >
> > > [!tip]- Ledtråd 3
> > > Mät över flera ränder och dela, så blir avläsningen noggrannare. Räkna de ljusa ränderna i det centrala området: om den tredje ordningen saknas (sammanfaller med diffraktionsminimumet) är $d = 3b$, en bra kontroll.

> [!note]- Lösning
> Läraren går igenom uppgiften på seminarium 3 och ger bara svaren i facit, så lösningsgången nedan är egen.
>
> **Avläsning.** Mönstrets mitt ligger vid $5{,}00\ \text{cm}$ på linjalen. Måtten nedan är avlästa i originalbilden:
> - Det centrala ljusa området sträcker sig från ungefär $3{,}93$ till $6{,}07\ \text{cm}$, alltså $2y_1 = 2{,}14\ \text{cm}$ och $y_1 = 10{,}7\ \text{mm}$ från mitten till första diffraktionsminimum.
> - Inom det området ligger fem ljusa ränder. Den tredje mörka randen på var sida om mitten ligger vid $4{,}11$ och $5{,}91\ \text{cm}$; mellan dem ryms fem randavstånd: $5\Delta y = 1{,}80\ \text{cm}$, så $\Delta y = 3{,}59\ \text{mm}$.
>
> **Spaltbredden.** Första diffraktionsminimum ($m = 1$) ligger där
> $$
> b\sin\theta = \lambda,\qquad \sin\theta \approx \frac{y_1}{L}
> $$
> *Fysika: Fc5 (dubbelspalt: diffraktionsminima då $b\sin\theta = m\lambda$)*
>
> $$
> b = \frac{\lambda L}{y_1} = \frac{633\cdot 10^{-9}\cdot 3{,}65}{10{,}7\cdot 10^{-3}} = 0{,}216\cdot 10^{-3}\ \text{m}
> $$
> **Spaltavståndet.** Interferensmaxima ligger där $d\sin\theta = m\lambda$, så två grannränder skiljer $\Delta y = \lambda L/d$:
> $$
> d = \frac{\lambda L}{\Delta y} = \frac{633\cdot 10^{-9}\cdot 3{,}65}{3{,}59\cdot 10^{-3}} = 0{,}644\cdot 10^{-3}\ \text{m}
> $$
> *Fysika: Fc5 (dubbelspalt: interferensmaxima då $d\sin\theta = m\lambda$)*
>
> Svar: spaltbredden $\boxed{b \approx 0{,}21\ \text{mm}}$ och spaltavståndet $\boxed{d \approx 0{,}64\ \text{mm}}$.
>
> **Kontroll.** Den tredje interferensordningen hamnar vid $3\Delta y = 10{,}8\ \text{mm}$, alltså precis på det första diffraktionsminimumet, och syns inte. Då ska $d = 3b$: $0{,}644/0{,}216 = 2{,}98$.
>
> ![[f05t-240830-u2-losning.png|620]]
>
> > [!info]- Varför mäta de mörka ränderna?
> > De ljusa rändernas toppar förskjuts något in mot mitten, eftersom enkelspaltens envelopp lutar under dem. De mörka ränderna är nollställen i $\cos^2$-faktorn och ligger exakt på $(m + \tfrac12)\Delta y$, oavsett envelopp. Mäter man topp till topp mellan ordning $-2$ och $+2$ får man $\Delta y \approx 3{,}4\ \text{mm}$ och $d \approx 0{,}68\ \text{mm}$, några procent för stort.
>
> *Svaret kontrollerat mot facit; lösningsgången är egen. Facit påpekar att den tredje interferensordningen ser ut att sammanfalla med det första diffraktionsminimumet, vilket stämmer med faktorn 3 mellan spaltavstånd och spaltbredd.*

---

## 3. Tre högtalare och minimal ljudintensitet

Tre högtalare är kopplade till samma tongenerator och sänder ut ljud med frekvensen $200\ \text{Hz}$. De är placerade längs $y$-axeln enligt figuren. Ljudet detekteras i en punkt $P$ på $y$-axeln långt borta och ljudintensiteten från varje högtalare för sig är $20{,}0\ \text{mW/m}^2$ i den punkten. Ljudhastigheten är $340\ \text{m/s}$.

![[f05t-230525-u2-hogtalare.png|560]]

a) Beräkna det kortaste avståndet $a$ som ger minimal ljudintensitet i punkten $P$. *(1,5p)*

b) Vilken blir den resulterande ljudintensitetsnivån i $P$ utifrån avståndet beräknat i uppgift a? *(1,5p)*

*Totalpoäng: 3*

> [!tip]- Ledtråd 1
> [[Superposition av vågor]] med [[Fasordiagram|visare]], och [[Ljudintensitet och ljudnivå]]. *Fysika: Fc1* ($k = 2\pi/\lambda$), *Fc1a* (superposition) och *Fc2* (intensitet $I \propto a^2$, ljudintensitetsnivå).
>
> > [!tip]- Ledtråd 2
> > Alla tre vågorna har samma amplitud i $P$. Den som startar längre bort ligger efter i fas med $k$ gånger extrasträckan. Rita tre lika långa visare och addera dem; intensiteten är proportionell mot summans längd i kvadrat.
> >
> > > [!tip]- Ledtråd 3
> > > $\lambda = 1{,}70\ \text{m}$, så $0{,}425\ \text{m}$ är en kvarts våglängd: de två närmaste visarna står vinkelrätt och ger summan $\sqrt2$. Den tredje visaren har bara längden 1, så den kan inte släcka ut allt; minimum är när den pekar rakt mot summan av de två andra.

> [!note]- Lösning
> Läraren går igenom uppgiften på seminarium 2 och ger bara svaren i facit, så lösningsgången nedan är egen.
>
> Samma uppgift som [[F0005T-2023-05-25|maj 2023]] uppgift 2.
>
> **a)** Våglängden och vågtalet är
> $$
> \lambda = \frac{v}{f} = \frac{340}{200} = 1{,}70\ \text{m},\qquad k = \frac{2\pi}{\lambda}
> $$
> *Fysika: Fc1 ($v = f\lambda$, $k = 2\pi/\lambda$)*
>
> Numrera högtalarna 1, 2, 3 från vänster. Punkten $P$ ligger långt bort på samma linje, så vågen från högtalare 2 går $0{,}425\ \text{m}$ längre än vågen från högtalare 3, och vågen från högtalare 1 går $a + 0{,}425\ \text{m}$ längre. Med vågen från 3 som referens ligger de andra efter i fas med
> $$
> \begin{aligned}
> \Delta\varphi_2 &= k\cdot 0{,}425 = \frac{2\pi\cdot 0{,}425}{1{,}70} = \frac{\pi}{2}\\
> \Delta\varphi_1 &= \frac{\pi}{2} + ka
> \end{aligned}
> $$
> Alla tre har samma amplitud $A$ i $P$, eftersom intensiteterna var för sig är lika. Visarna för 3 och 2 står vinkelrätt mot varandra, så deras summa har längden $\sqrt2 A$ och ligger $45^\circ$ efter visare 3:
>
> *Fysika: Fc1a (superposition: $a^2 = a_1^2 + a_2^2 + 2a_1a_2\cos\Delta\varphi$ med $\Delta\varphi = 90^\circ$)*
>
> Intensiteten blir minst när visare 1 pekar rakt mot den summan, alltså ligger $180^\circ$ från den: $\pi/4 + \pi = 5\pi/4$ efter visare 3.
> $$
> \begin{aligned}
> \frac{\pi}{2} + ka &= \frac{5\pi}{4}\ \Rightarrow\ ka = \frac{3\pi}{4}\\
> \Rightarrow\ a &= \frac{3\lambda}{8} = \frac{3\cdot 1{,}70}{8} = 0{,}6375\ \text{m}
> \end{aligned}
> $$
> Svar: $\boxed{a \approx 0{,}638\ \text{m}}$ (eller $0{,}638\ \text{m}$ plus ett helt antal våglängder).
>
> Dra i reglaget för $a$ och se hur visare 1 vrider sig. Intensiteten och ljudnivån i $P$ står nederst:
>
> ![[f05t-230525-u2-visare.png|560]]
>
> **b)** Vid minimum är den resulterande amplituden $(\sqrt2 - 1)A$. Intensiteten är proportionell mot amplituden i kvadrat:
> $$
> I = (\sqrt2 - 1)^2\cdot 20{,}0\ \text{mW/m}^2 = 0{,}1716\cdot 20{,}0 = 3{,}43\ \text{mW/m}^2
> $$
> *Fysika: Fc2 (intensitet $I = \frac12\rho v\omega^2 a^2$, alltså $I \propto a^2$)*
>
> Ljudintensitetsnivån blir
> $$
> L_I = 10\log\frac{I}{I_0} = 10\log\frac{3{,}43\cdot 10^{-3}}{1{,}0\cdot 10^{-12}} = 95{,}35\ \text{dB}
> $$
> *Fysika: Fc2 (ljudintensitetsnivå, $I_0 = 1{,}0\cdot 10^{-12}\ \text{W/m}^2$)*
>
> Svar: $\boxed{L_I \approx 95{,}4\ \text{dB}}$
>
> > [!info]- Varför blir det inte tyst?
> > Tre lika långa visare kan bara ta ut varandra helt om de bildar en liksidig triangel, med $120^\circ$ mellan varje. Här är vinkeln mellan visare 3 och 2 låst till $90^\circ$ av avståndet $0{,}425\ \text{m}$, så bara visare 1 kan vridas. Bästa resultatet är att dra bort $1$ från $\sqrt2$.
>
> *Svaret kontrollerat mot facit; lösningsgången är egen.*

---

## 4. Stjärnan och satellitens solpaneler

Den spektrala emittansen från en stjärna ses i figuren nedan, stjärnan har en diameter på $3{,}0\ \text{Gm}$. En forskningssatellit ska placeras i omloppsbana runt stjärnan. Satelliten är utrustad med $24\ \text{m}^2$ solpaneler som har en verkningsgrad på $19\ \%$. Om satelliten behöver producera $2{,}50\ \text{kW}$ för att all utrustning ombord ska fungera, hur långt från stjärnan får satelliten maximalt befinna sig?

![[f05t-231024-u4-spektrum.png|620]]

*Totalpoäng: 3*

> [!tip]- Ledtråd 1
> [[Svartkroppsstrålning]]: [[Wiens förskjutningslag]] ger temperaturen och [[Stefan-Boltzmanns lag]] den utstrålade effekten. *Fysika: Fd4* (Wien, Stefan-Boltzmann), *Fc2* (intensitet $I = P/(4\pi r^2)$) och *Te* ($\sigma$).
>
> > [!tip]- Ledtråd 2
> > Läs av våglängden där kurvan har sitt max; skalan på $I$-axeln spelar ingen roll. Kedjan: $T = b/\lambda_{\max}$, sedan $P = \sigma T^4\cdot 4\pi r^2$ från hela stjärnytan, sedan $I = P/(4\pi d^2)$ vid satelliten och sist $P_{\text{el}} = IA\eta$.
> >
> > > [!tip]- Ledtråd 3
> > > Diametern är $3{,}0\ \text{Gm}$, så radien är $r = 1{,}5\ \text{Gm}$. $4\pi$ förkortas, så $I = \sigma T^4 (r/d)^2$, och $d$ blir det enda okända.

> [!note]- Lösning
> Samma uppgift som [[F0005T-2023-10-24|oktober 2023]] uppgift 4.
>
> Vi kan avläsa vid vilken våglängd som stjärnan strålar som mest, $\lambda_{\max} = 0{,}75\ \mu\text{m}$, och bestämma yttemperaturen med Wiens förskjutningslag:
> $$
> \lambda_{\max}T = b\ \Rightarrow\ T = \frac{b}{\lambda_{\max}} = \frac{2{,}8978\cdot 10^{-3}}{0{,}75\cdot 10^{-6}} = 3864\ \text{K}
> $$
> *Fysika: Fd4 (Wiens förskjutningslag, $b = 2{,}8978\cdot 10^{-3}\ \text{m}\cdot\text{K}$)*
>
> Den totalt utstrålade effekten från stjärnan ges då av
> $$
> P_{\text{stjärna}} = \sigma T^4\cdot 4\pi r^2
> $$
> där $r$ är stjärnans radie.
>
> *Fysika: Fd4 (Stefan-Boltzmanns lag, $I(T) = \sigma T^4$), Te ($\sigma$)*
>
> Vid satelliten, på avståndet $d$ från stjärnan, har den strålningen intensiteten
> $$
> I = \frac{P_{\text{stjärna}}}{4\pi d^2} = \sigma T^4\frac{r^2}{d^2}
> $$
> *Fysika: Fc2 (intensitet $I = P/(4\pi r^2)$)*
>
> Satelliten kan då producera effekten
> $$
> P = IA\eta = \sigma T^4\frac{r^2}{d^2}A\eta
> $$
> Vi löser ut det sökta avståndet $d$:
> $$
> \begin{aligned}
> d &= \sqrt{\frac{\sigma T^4 r^2 A\eta}{P}}\\
> &= \sqrt{\frac{5{,}670374\cdot 10^{-8}\cdot 3864^4\cdot(1{,}5\cdot 10^{9})^2\cdot 24\cdot 0{,}19}{2500}}\\
> &= 228\ \text{Gm}
> \end{aligned}
> $$
> Svar: $\boxed{d \approx 2{,}3\cdot 10^{11}\ \text{m}}$
>
> *Kontrollerat mot facit.*

---

## 5. Ett varv runt protonen i Bohrs väteatom

Enligt Bohrs modell, hur lång tid tar det för en elektron i en väteatom att färdas ett varv runt protonen om elektronen befinner sig i grundtillståndet?

*Totalpoäng: 3*

> [!tip]- Ledtråd 1
> [[Bohrs modell för väteatomen]]: elektronen går i en cirkelbana där Coulombkraften är centripetalkraften. *Fysika: Fd3* (banradie för väte), *Fe1* (Coulombs lag), *Fb4* (centripetalacceleration) och *Te* ($a_0$, $e$, $m_e$, $\varepsilon_0$).
>
> > [!tip]- Ledtråd 2
> > Radien i grundtillståndet är Bohrradien $a_0$. Farten får du ur $m_e v^2/r = e^2/(4\pi\varepsilon_0 r^2)$. Omloppstiden är omkretsen delad med farten, $T = 2\pi r/v$.
> >
> > > [!tip]- Ledtråd 3
> > > Ett varv tar tiden $T = 2\pi r/v$. Hämta $r$ och $v$ för grundtillståndet ur Bohrs modell; tiderna blir så korta att femtosekunder är en lämplig enhet.

> [!note]- Lösning
> Samma uppgift som [[F0005T-2023-03-24|mars 2023]] uppgift 5, där facit bara ger svaret.
>
> Elektronen går i en cirkelbana med konstant fart, så accelerationen är centripetalaccelerationen:
> $$
> a = \frac{v^2}{r}\ \Rightarrow\ v = \sqrt{ra}
> $$
> *Fysika: Fb4 ($a_n = v_t^2/r$)*
>
> Kraften som ger accelerationen är Coulombkraften från protonen, och Newtons andra lag ger accelerationen:
> $$
> F = k\frac{e^2}{r^2}
> $$
> *Fysika: Fe1 (Coulombs lag, $k = 1/(4\pi\varepsilon_0) \approx 8{,}988\cdot 10^{9}\ \text{Nm}^2/\text{C}^2$)*
>
> $$
> F = ma\ \Rightarrow\ a = k\frac{e^2}{mr^2}
> $$
> *Fysika: Fb1 (Newtons andra lag, $\sum\vec F = m\vec a$)*
>
> Vi kombinerar de två uttrycken för farten och accelerationen:
> $$
> v = \sqrt{k\frac{e^2}{mr}}
> $$
> Tiden det tar elektronen att färdas ett varv är omkretsen delad med farten:
> $$
> T = \frac{2\pi r}{v} = \frac{2\pi}{e}\sqrt{\frac{mr^3}{k}}
> $$
> I grundtillståndet är radien Bohrradien:
> $$
> r_1 = \frac{h^2\varepsilon_0}{\pi m_e e^2}\cdot\frac{1^2}{1} = a_0 = 5{,}29177\cdot 10^{-11}\ \text{m}
> $$
> *Fysika: Fd3 (banradie i bana $n$ för väte), Te ($a_0$)*
>
> Vi sätter in siffror:
> $$
> \begin{aligned}
> T &= \frac{2\pi}{1{,}602177\cdot 10^{-19}}\sqrt{\frac{9{,}10938\cdot 10^{-31}\cdot(5{,}29177\cdot 10^{-11})^3}{8{,}988\cdot 10^{9}}}\\
> &= 1{,}520\cdot 10^{-16}\ \text{s}
> \end{aligned}
> $$
> *Fysika: Te ($e$, $m_e$)*
>
> Svar: $\boxed{T \approx 0{,}152\ \text{fs}}$
>
> > [!info]- Kontroll med energin
> > I Bohrs modell är rörelseenergin lika stor som bindningsenergin, $K = E_H = 13{,}6\ \text{eV}$ (*Fysika: Te*). Det ger $v = \sqrt{2E_H/m_e} = 2{,}19\cdot 10^{6}\ \text{m/s}$, samma fart som Coulombvillkoret ger, ungefär $c/137$.
>
> *Kontrollerat mot facit. Facit anger svaret $0{,}1512\ \text{fs}$, men insättningen i lärarens egen formel ger $1{,}520\cdot 10^{-16}\ \text{s} = 0{,}1520\ \text{fs}$; siffrorna i facits svar är omkastade.*

---

## 6. Moseleys lag och guld i ett prov

Moseleys lag, se ekvationen nedan, är en experimentellt framtagen ekvation för våglängden i $K_\alpha$-strålning i ett röntgenspektra.
$$
\lambda^{-1} = a(Z - 1)^2
$$

a) Utgå från Bohrs modell och härled fram värdet på konstanten $a$ i Moseleys lag. *(1,5p)*

b) Ett prov ska undersökas för att se om det innehåller guld. Det ska göras genom att bestråla provet med elektroner och leta efter en $K_\alpha$-topp som motsvarar guld i röntgenspektrat. Vilken är den längsta de Broglie-våglängden som elektronerna kan ha för att denna metod ska fungera? *(1,5p)*

*Totalpoäng: 3*

> [!tip]- Ledtråd 1
> [[Moseleys lag]] och [[Röntgenstrålning]] för a, [[De Broglie-våglängd]] för b. *Fysika: Fd3* (väteliknande energinivåer, fotonenergi, Moseleys lag, de Broglie-våglängden), *Te* ($E_H$, $h$, $c$) och *T k1* (bindningsenergier för guld).
>
> > [!tip]- Ledtråd 2
> > $K_\alpha$ är övergången $L \to K$ ($n = 2 \to 1$). En elektron i $L$-skalet ser kärnans laddning $Ze$ avskärmad av den kvarvarande $K$-elektronen, alltså ungefär $(Z - 1)e$. Behandla den som ett väteliknande system och sätt $hc/\lambda = E_2 - E_1$.
> >
> > > [!tip]- Ledtråd 3
> > > För b: för att $K_\alpha$ ska uppstå måste det först slås ut en elektron ur $K$-skalet. Elektronerna behöver alltså minst $K$-skalets bindningsenergi, och minst energi betyder **längst** våglängd.

> [!note]- Lösning
> Samma uppgift som [[F0005T-2023-03-24|mars 2023]] uppgift 6.
>
> **a)** $K_\alpha$-strålning uppstår när en elektron i $K$-skalet frigörs och en elektron i $L$-skalet tar den lediga platsen i $K$-skalet genom att emittera en $K_\alpha$-foton. För en elektron i $L$-skalet kan vi då räkna på ett väteliknande system med en laddning $(Z - 1)e$ i centrum. Då ges energinivåerna av
> $$
> E_n = -E_H\frac{(Z - 1)^2}{n^2}
> $$
> *Fysika: Fd3 (energinivåer för väte och väteliknande system)*
>
> och den emitterade fotonens våglängd måste motsvara energiskillnaden mellan de två tillstånden:
> $$
> \begin{aligned}
> \frac{hc}{\lambda} &= E_2 - E_1 = E_H(Z - 1)^2\left(\frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2}\right)\\
> \Rightarrow\ \lambda^{-1} &= \frac{3}{4}\frac{E_H}{hc}(Z - 1)^2
> \end{aligned}
> $$
> *Fysika: Fd3 (fotonenergi $E = hc/\lambda$)*
>
> Konstanten $a$ ges alltså av
> $$
> \begin{aligned}
> a = \frac{3}{4}\frac{E_H}{hc} &= \frac{3}{4}\cdot\frac{13{,}60569\cdot 1{,}602177\cdot 10^{-19}}{6{,}626070\cdot 10^{-34}\cdot 299\,792\,458}\\
> &= 8{,}2303\cdot 10^{6}\ \text{m}^{-1}
> \end{aligned}
> $$
> *Fysika: Te ($E_H$, $e$, $h$, $c$)*
>
> Svar: $\boxed{a = 8{,}2303\cdot 10^{6}\ \text{m}^{-1}}$, samma värde som Fysika anger för Moseleys lag ($8{,}23\cdot 10^{6}\ \text{m}^{-1}$, *Fysika: Fd3*).
>
> **b)** Bindningsenergin för en elektron i $K$-skalet i guld är $80\,724\ \text{eV}$:
>
> *Fysika: T k1 (Au: $K = 80\,724\ \text{eV}$)*
>
> De infallande elektronerna måste ha minst den energimängden, så den längsta de Broglie-våglängden hör till den minsta rörelseenergin:
> $$
> \lambda_{\max} = \frac{h}{\sqrt{2m_e K_{\min}}}
> $$
> *Fysika: Fd3 (de Broglie-våglängden $\lambda = h/\sqrt{2mK}$)*
>
> $$
> \begin{aligned}
> \lambda_{\max} &= \frac{6{,}62607\cdot 10^{-34}}{\sqrt{2\cdot 9{,}10938\cdot 10^{-31}\cdot 80\,724\cdot 1{,}602177\cdot 10^{-19}}}\\
> &= 4{,}317\cdot 10^{-12}\ \text{m}
> \end{aligned}
> $$
> *Fysika: Te ($h$, $m_e$, $e$)*
>
> Svar: $\boxed{\lambda_{\max} \approx 4{,}32\ \text{pm}}$
>
> > [!info]- Får man räkna klassiskt här?
> > $80{,}7\ \text{keV}$ är $16\ \%$ av elektronens viloenergi $511\ \text{keV}$, så den klassiska formeln är bara en approximation. Relativistiskt, med $pc = \sqrt{K^2 + 2Kmc^2}$ (härlett ur *Fysika: Fd1*, $p = \gamma mv$ och $K = mc^2(\gamma - 1)$), blir våglängden $4{,}16\ \text{pm}$. Tentan och Fysikas formel $\lambda = h/\sqrt{2mK}$ räknar klassiskt.
>
> *Kontrollerat mot facit. Facits uträkning ger $4{,}3168\ \text{pm}$, men svarsraden anger $4{,}3381\ \text{pm}$, som är svaret i [[F0005T-2023-03-24|mars 2023]] där elektronmassan sattes in fel; rätt svar är $4{,}32\ \text{pm}$.*

---

## Se även

- [[F0005T]] — kurssidan med alla tentor
- [[Harmonisk våg]] · [[Fas och faskonstant]] · [[Dubbelspaltexperimentet]] · [[Fraunhoferdiffraktion]] · [[Superposition av vågor]] · [[Fasordiagram]] · [[Ljudintensitet och ljudnivå]]
- [[Svartkroppsstrålning]] · [[Wiens förskjutningslag]] · [[Stefan-Boltzmanns lag]]
- [[Bohrs modell för väteatomen]] · [[Moseleys lag]] · [[Röntgenstrålning]] · [[De Broglie-våglängd]]