---
kurs:
  - F0005T
tags:
  - tenta
  - fysik
  - vågrörelse
  - modern-fysik
status: utkast
datum: 2023-10-24
typ: tenta
examinator: Erik Olsson
aliases:
  - Tenta F0005T 2023-10-24
  - Fysik 2-tenta oktober 2023
---
> **Kurs:** [[F0005T]] — Fysik 2
> **Datum:** 2023-10-24
> **Examinator:** Erik Olsson
> **Källa:** [[F0005T-231024.pdf|originaltentamen]] · [[F0005T-231024_solutions.pdf|lärarens lösningar]]
> **Hjälpmedel:** miniräknare och Fysika. 6 uppgifter, 18 poäng; betyg 3 vid 9 p, 4 vid 12,5 p och 5 vid 15,5 p.

> [!abstract] Översikt
> VÅG (uppgift 1–3):
> - partikelrörelsen i två punkter på en sträng: frekvens, våglängd och faskonstant (1), samma uppgift som [[F0005T-2024-08-30|augusti 2024]] uppgift 1
> - fyra högtalare, en i motfas: var den fjärde ska stå för minimum (2)
> - polariserat ljus genom en glasskiva vid Brewstervinkeln (3)
>
> MOF (uppgift 4–6):
> - en stjärnas spektrum och hur långt bort en satellit med solpaneler kan vara (4), samma uppgift som [[F0005T-2024-08-30|augusti 2024]] uppgift 4
> - comptonspridning: elektronens största vinkel mot $x$-axeln (5)
> - Schrödingerekvationen för en fri partikel och en partikel i en låda (6)

> [!tip] Så använder du sidan
> Försök själv först, med Fysika framme som på tentan. Ledtråd 1 säger vilken sorts uppgift det är och var den står i Fysika, ledtråd 2 (inuti ledtråd 1) ger modellen och ledtråd 3 (inuti ledtråd 2) nyckelsteget eller fällan. **Lösning** är lärarens lösning med förklaringar mellan stegen; varje formel och tabellvärde har sin Fysika-kod. Där läraren bara gett svaret (seminarieuppgifter) är lösningsgången egen och svaret kontrollerat mot lärarens. Figurerna är interaktiva: håll muspekaren över kurvorna för exakta värden, och dra i reglagen där sådana finns.

---

## 1. Två punkter på en sträng: frekvens, våglängd och faskonstant

En transversell våg propagerar i negativ $x$-riktning längs en sträng. I figuren nedan kan du se hur två punkter på strängen rör sig i tiden, avståndet mellan punkterna är mindre än en våglängd. Bestäm den propagerande vågens frekvens, våglängd och faskonstant. Utgå från att vågen ska beskrivas med en sinus-funktion och ange ett värde på faskonstanten mellan $0$ och $2\pi$.

![[f05t-231024-u1-grafer.png|620]]

*Totalpoäng: 3*

> [!tip]- Ledtråd 1
> [[Harmonisk våg]] och [[Fas och faskonstant]], avläst ur två tidsserier. *Fysika: Fc1* (propagerande harmonisk våg, $T = 1/f$, $k = 2\pi/\lambda$, $v = f\lambda$).
>
> > [!tip]- Ledtråd 2
> > Avståndet mellan två toppar i samma kurva är periodtiden $T$. Vågen går åt $-x$, så den når $x = 100\ \text{mm}$ först och $x = 50\ \text{mm}$ en stund senare: tidsförskjutningen mellan kurvorna och avståndet $50\ \text{mm}$ ger farten.
> >
> > > [!tip]- Ledtråd 3
> > > Skriv $y = a\sin(kx + \omega t + \alpha)$ (plus för $-x$-riktning) och sätt in en topp du känner exakt, till exempel den streckade kurvans topp vid $t = 20\ \text{ms}$, där sinus är $1$.

> [!note]- Lösning
> Samma uppgift som [[F0005T-2024-08-30|augusti 2024]] uppgift 1.
>
> **Frekvensen.** Vi kan avläsa periodtiden ur figuren (avståndet mellan två toppar i samma kurva) och få frekvensen på det sättet:
> $$
> T = 20\ \text{ms}\ \Rightarrow\ f = \frac{1}{T} = \frac{1}{0{,}020} = 50\ \text{Hz}
> $$
> *Fysika: Fc1 ($T = 1/f$)*
>
> **Våglängden.** För att bestämma våglängden måste vi först bestämma vågens hastighet. Vågen propagerar i negativ $x$-riktning, så en topp passerar först $x = 100\ \text{mm}$ (streckad kurva, $t = 0$) och sedan $x = 50\ \text{mm}$ (heldragen kurva, $t = 5\ \text{ms}$). Vi läser alltså från den streckade till den heldragna kurvan, åt höger i grafen eftersom tiden ökar:
> $$
> v = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{0{,}05\ \text{m}}{0{,}005\ \text{s}} = 10\ \text{m/s}
> $$
> Det ger oss våglängden
> $$
> \lambda = \frac{v}{f} = \frac{10}{50} = 0{,}20\ \text{m}
> $$
> *Fysika: Fc1 ($v = f\cdot\lambda$)*
>
> Avståndet $50\ \text{mm}$ är mindre än $\lambda = 200\ \text{mm}$, som uppgiften kräver. (Med $\Delta t = 25\ \text{ms}$ i stället blir $\lambda = 40\ \text{mm}$, mindre än avståndet, så den tolkningen faller bort.)
>
> **Faskonstanten.** Vi utgår från följande våg, med plustecken för utbredning i negativ $x$-riktning:
> $$
> y = a\sin(kx + \omega t + \alpha)
> $$
> *Fysika: Fc1 (propagerande harmonisk våg, $s = a\cos(\omega t \pm kx + \delta)$; sinus i stället för cosinus ändrar bara faskonstantens värde)*
>
> Då $x = 100\ \text{mm}$ och $t = 20\ \text{ms}$ är sinusfunktionen lika med $1$, vilket ger oss
> $$
> \begin{aligned}
> kx + \omega t + \alpha &= \frac{\pi}{2}\\
> \Rightarrow\ \alpha &= \frac{\pi}{2} - \frac{2\pi}{0{,}20}\cdot 0{,}100 - 2\pi\cdot 50\cdot 0{,}020 = -\frac{5\pi}{2}
> \end{aligned}
> $$
> Lägg till $4\pi$ för att få ett värde mellan $0$ och $2\pi$: $\alpha = 3\pi/2$. Kontroll med den heldragna kurvan: $y(50\ \text{mm}, 0) = 40\sin(\pi/2 + 3\pi/2) = 0$, och $y$ ökar därefter, som i figuren.
>
> Svar: $\boxed{f = 50\ \text{Hz}}$, $\boxed{\lambda = 0{,}20\ \text{m}}$ och $\boxed{\alpha = \tfrac32\pi}$.
>
> *Kontrollerat mot facit.*

---

## 2. Fyra högtalare, en i motfas

Tre högtalare är placerade längs $x$-axeln. Alla 3 högtalare ger samma ljudintensitet, $I = 2{,}50\ \text{mW/m}^2$ vid en mikrofon på $x$-axeln. Alla 3 högtalare är kopplade till samma tongenerator men högtalare 3 är kopplad i motfas mot högtalare 1 och 2. Dom sänder ut ljud vid $425\ \text{Hz}$ och ljudhastigheten är under rådande förhållanden $340\ \text{m/s}$. Avståndet $a$ är $0{,}100\ \text{m}$.

Hur långt till vänster om högtalare 3 ska en fjärde högtalare, som också genererar en ljudintensitet på $2{,}50\ \text{mW/m}^2$ vid mikrofonen, placeras om den kopplas till samma tongenerator och i fas med högtalare 1 och 2 för att den resulterande ljudintensiteten ska bli minimum?

![[f05t-231024-u2-hogtalare.png|600]]

*Totalpoäng: 3*

> [!tip]- Ledtråd 1
> [[Superposition av vågor]] med [[Fasordiagram|visare]] i det komplexa talplanet ([[Vågor på komplex form]]). *Fysika: Fc1* ($k = 2\pi/\lambda$, vågor på komplex form) och *Fc1a* (superposition).
>
> > [!tip]- Ledtråd 2
> > Alla fyra vågorna har samma amplitud vid mikrofonen. Räkna fasskillnaden mot våg 1: extravägen gånger $k$, plus $\pi$ för högtalaren i motfas. Rita visarna efter varandra; den fjärde ska peka rakt tillbaka mot origo.
> >
> > > [!tip]- Ledtråd 3
> > > $ka = \pi/4$, så visare 2 ligger på $45^\circ$ och visare 3 på $2ka + \pi = 3\pi/2$, rakt nedåt. Summan av de tre första har längden $\sqrt3$, längre än visare 4, så det blir ett minimum men ingen total utsläckning.

> [!note]- Lösning
> Vi räknar först ut våglängden:
> $$
> \lambda = \frac{v}{f} = \frac{340}{425} = 0{,}800\ \text{m}
> $$
> *Fysika: Fc1 ($v = f\cdot\lambda$)*
>
> Vågen från högtalare 2 går sträckan $a$ längre än vågen från 1. Fasskillnaden mellan våg 2 och 1 ges av
> $$
> \Delta\beta_{21} = ka = \frac{2\pi}{\lambda}a = \frac{2\pi}{0{,}8}\cdot 0{,}1 = \frac{\pi}{4}
> $$
> *Fysika: Fc1 ($k = 2\pi/\lambda$)*
>
> Vågen från högtalare 3 går $2a$ längre och är dessutom i motfas. Fasskillnaden mellan våg 3 och 1 ges av
> $$
> \Delta\beta_{31} = 2ka + \pi = 2\cdot\frac{2\pi}{0{,}8}\cdot 0{,}1 + \pi = \frac{3\pi}{2}
> $$
> Vi ritar ut dessa vågor i komplexa talplanet, med $A_1 = A_2 = A_3 = A_0$ (alla ger samma intensitet vid mikrofonen):
>
> *Fysika: Fc1 (vågor på komplex form, $S = Ae^{i(\omega t \pm kx)}$), Fc1a (superpositionsprincipen)*
>
> Summan av de tre första visarna har realdelen $x = A_0 + A_0\cos(\pi/4)$ och imaginärdelen $-y$, där $y = A_0 - A_0\sin(\pi/4)$. Den fjärde högtalaren ligger $2a + b$ längre bort än högtalare 1 och är i fas med den, så $\Delta\beta_{41} = 2ka + kb = \pi/2 + kb$. Intensiteten blir minst när $A_4$ pekar rakt mot origo, och då ger figuren fasen vi söker:
> $$
> kb = \tan^{-1}\left(\frac{x}{y}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{A_0 + A_0\cos\frac{\pi}{4}}{A_0 - A_0\sin\frac{\pi}{4}}\right) = 1{,}4009\ \text{rad}
> $$
> vilket ger oss
> $$
> b = \frac{\lambda}{2\pi}\cdot 1{,}4009 = \frac{0{,}8}{2\pi}\cdot 1{,}4009 = 0{,}1784\ \text{m}
> $$
> Svar: $\boxed{b \approx 0{,}178\ \text{m}}$
>
> Dra i reglaget för $b$ och se hur $A_4$ vrider sig kring spetsen av $A_3$. Intensiteten vid mikrofonen är $|A|^2$ gånger $2{,}50\ \text{mW/m}^2$ och blir minst vid $b = 0{,}178\ \text{m}$:
>
> ![[f05t-231024-u2-visare.png|560]]
>
> > [!info]- Varför blir det inte tyst?
> > De tre första visarna summerar till längden $|A_1 + A_2 + A_3| = \sqrt3\,A_0 \approx 1{,}73A_0$, och $A_4$ har bara längden $A_0$. Det bästa den fjärde högtalaren kan göra är att dra bort $A_0$: kvar blir $(\sqrt3 - 1)A_0$, det vill säga intensiteten $(\sqrt3 - 1)^2\cdot 2{,}50 = 1{,}34\ \text{mW/m}^2$, mot $3\cdot 2{,}50 = 7{,}50\ \text{mW/m}^2$ med enbart de tre.
>
> *Kontrollerat mot facit.*

---

## 3. Polariserat ljus genom en glasskiva vid Brewstervinkeln

En parallell monokromatisk laserstråle med våglängden $633\ \text{nm}$ träffar en glasskiva med brytningsindex $1{,}62$ vid Brewstervinkeln. Det infallande ljuset analyseras med en polarisator och en effektmätare och resultatet ses i figuren. Vinkeln $\alpha$ är polarisatorns genomsläppsriktning relativt infallsplanets normalvektor. Om polarisatorn och effektmätaren istället flyttas till andra sidan glasskivan för att undersöka ljuset som gått igenom glaset, hur skulle motsvarande mätkurva se ut då?

*(Ta endast hänsyn till den första strålen som kommer ut ur glaset)*

![[f05t-231024-u3-grafer.png|620]]

*Totalpoäng: 3*

> [!tip]- Ledtråd 1
> [[Brewsters vinkel]], [[Fresnels formler]] och [[Polarisation]]. Allt står i *Fysika: Fc3* (Brewstervinkeln, Fresnels formler, reflekterad intensitet $I_r = R_\parallel I_{i\parallel} + R_\perp I_{i\perp}$).
>
> > [!tip]- Ledtråd 2
> > Dela upp ljuset i två delar: polariserat vinkelrätt mot infallsplanet ($s$, $\alpha = 0^\circ$) och parallellt med det ($p$, $\alpha = 90^\circ$). Läs av effekten i varje del i figuren. Det som inte reflekteras transmitteras, $T = 1 - R$, och det gäller vid **båda** glasytorna.
> >
> > > [!tip]- Ledtråd 3
> > > Vid Brewstervinkeln är $R_\parallel = 0$, så $p$-delen går igenom helt. $s$-delen förlorar andelen $R_\perp$ vid framsidan och lika mycket vid baksidan, där ljuset träffar ytan i vinkeln $b$ (som också är en Brewstervinkel, från glaset sett).

> [!note]- Lösning
> Strålen bryts in i glaset vid den första ytan och ut i luften vid den andra. Effekterna betecknas $P_{is}, P_{ip}$ (infallande), $P_{rs}, P_{rp}$ (reflekterat) och $P_{ts}, P_{tp}$ (transmitterat), med $s$ vinkelrätt och $p$ parallellt med infallsplanet.
>
> Från grafen kan vi avläsa att $P_{is} = 6{,}0\ \text{mW}$ (vid $\alpha = 0^\circ$ släpper polarisatorn igenom ljuset som svänger längs infallsplanets normal) och att $P_{ip} = 2{,}0\ \text{mW}$ (vid $\alpha = 90^\circ$). Brewstervinkeln ger oss infallsvinkeln och brytningsvinkeln:
> $$
> \begin{aligned}
> i &= \tan^{-1}(n) = \tan^{-1}(1{,}62) = 58{,}3136^\circ\\
> b &= 90^\circ - i = 31{,}6864^\circ
> \end{aligned}
> $$
> *Fysika: Fc3 (Brewstervinkeln $\tan\theta_p = n_2/n_1$; vid Brewstervinkeln är reflekterad och bruten stråle vinkelräta)*
>
> Vi har då följande reflektions- och transmissionskoefficienter:
> $$
> R_p = 0\ \Rightarrow\ T_p = 1
> $$
> $$
> R_s = \frac{\sin^2(i - b)}{\sin^2(i + b)} = 0{,}2009\ \Rightarrow\ T_s = 1 - R_s = 0{,}7991
> $$
> *Fysika: Fc3 (Fresnels formler för reflekterat ljus, $R_\parallel = \tan^2(i - b)/\tan^2(i + b)$ och $R_\perp = \sin^2(i - b)/\sin^2(i + b)$)*
>
> Vid den andra ytan går ljuset från glas till luft med infallsvinkeln $b$ och brytningsvinkeln $i$. Formlerna ger samma $R_s$ och $R_p$ där, så för den transmitterade strålen gäller
> $$
> P_{tp} = T_p^2 P_{ip} = 2{,}0\ \text{mW}
> $$
> $$
> P_{ts} = T_s^2 P_{is} = 0{,}7991^2\cdot 6{,}0 = 3{,}8\ \text{mW}
> $$
> Då får vi följande mätresultat på transmissionssidan, $P(\alpha) = 3{,}8\cos^2\alpha + 2{,}0\sin^2\alpha$ i mW:
>
> ![[f05t-231024-u3-losning.png|600]]
>
> *Fysika: Fc3 (Malus lag, $I = I_0\cos^2\theta$, för varje polarisationsdel)*
>
> Svar: en kurva av samma form, med $\boxed{3{,}8\ \text{mW}}$ vid $\alpha = 0^\circ$ och $180^\circ$ och oförändrat $\boxed{2{,}0\ \text{mW}}$ vid $\alpha = 90^\circ$.
>
> > [!info]- Varför är baksidan också en Brewstervinkel?
> > Från glaset sett gäller $\tan b = 1/n = n_{\text{luft}}/n_{\text{glas}}$, eftersom $b = 90^\circ - i$ och $\tan(90^\circ - i) = 1/\tan i$. Därför går $p$-ljuset igenom båda ytorna utan förlust, och varje passage genom en sådan skiva gör ljuset mer $p$-polariserat. En bunt glasskivor vid Brewstervinkeln fungerar som en polarisator.
>
> *Kontrollerat mot facit.*

---

## 4. Stjärnan och satellitens solpaneler

Den spektrala emittansen från en stjärna ses i figuren nedan, stjärnan har en diameter på $3{,}0\ \text{Gm}$. En forskningssatellit ska placeras i omloppsbana runt stjärnan. Satelliten är utrustad med $24\ \text{m}^2$ solpaneler som har en verkningsgrad på $19\ \%$. Om satelliten behöver producera $2{,}50\ \text{kW}$ för att all utrustning ombord ska fungera, hur långt från stjärnan får satelliten maximalt befinna sig?

![[f05t-231024-u4-spektrum.png|620]]

*Totalpoäng: 3*

> [!tip]- Ledtråd 1
> [[Svartkroppsstrålning]]: [[Wiens förskjutningslag]] ger temperaturen och [[Stefan-Boltzmanns lag]] den utstrålade effekten. *Fysika: Fd4* (Wien, Stefan-Boltzmann), *Fc2* (intensitet $I = P/(4\pi r^2)$) och *Te* ($\sigma$).
>
> > [!tip]- Ledtråd 2
> > Läs av våglängden där kurvan har sitt max; skalan på $I$-axeln spelar ingen roll. Kedjan: $T = b/\lambda_{\max}$, sedan $P = \sigma T^4\cdot 4\pi r^2$ från hela stjärnytan, sedan $I = P/(4\pi d^2)$ vid satelliten och sist $P_{\text{el}} = IA\eta$.
> >
> > > [!tip]- Ledtråd 3
> > > Diametern är $3{,}0\ \text{Gm}$, så radien är $r = 1{,}5\ \text{Gm}$. $4\pi$ förkortas, så $I = \sigma T^4 (r/d)^2$, och $d$ blir det enda okända.

> [!note]- Lösning
> Samma uppgift som [[F0005T-2024-08-30|augusti 2024]] uppgift 4.
>
> Vi kan avläsa vid vilken våglängd som stjärnan strålar som mest, $\lambda_{\max} = 0{,}75\ \mu\text{m}$, och bestämma yttemperaturen med Wiens förskjutningslag:
> $$
> \lambda_{\max}T = b\ \Rightarrow\ T = \frac{b}{\lambda_{\max}} = \frac{2{,}8978\cdot 10^{-3}}{0{,}75\cdot 10^{-6}} = 3864\ \text{K}
> $$
> *Fysika: Fd4 (Wiens förskjutningslag, $b = 2{,}8978\cdot 10^{-3}\ \text{m}\cdot\text{K}$)*
>
> Den totalt utstrålade effekten från stjärnan ges då av
> $$
> P_{\text{stjärna}} = \sigma T^4\cdot 4\pi r^2
> $$
> där $r$ är stjärnans radie.
>
> *Fysika: Fd4 (Stefan-Boltzmanns lag, $I(T) = \sigma T^4$), Te ($\sigma$)*
>
> Vid satelliten, på avståndet $d$ från stjärnan, har den strålningen intensiteten
> $$
> I = \frac{P_{\text{stjärna}}}{4\pi d^2} = \sigma T^4\frac{r^2}{d^2}
> $$
> *Fysika: Fc2 (intensitet $I = P/(4\pi r^2)$)*
>
> Satelliten kan då producera effekten
> $$
> P = IA\eta = \sigma T^4\frac{r^2}{d^2}A\eta
> $$
> Vi löser ut det sökta avståndet $d$:
> $$
> \begin{aligned}
> d &= \sqrt{\frac{\sigma T^4 r^2 A\eta}{P}}\\
> &= \sqrt{\frac{5{,}670374\cdot 10^{-8}\cdot 3864^4\cdot(1{,}5\cdot 10^{9})^2\cdot 24\cdot 0{,}19}{2500}}\\
> &= 228\ \text{Gm}
> \end{aligned}
> $$
> Svar: $\boxed{d \approx 2{,}3\cdot 10^{11}\ \text{m}}$
>
> *Kontrollerat mot facit.*

---

## 5. Comptonspridning: elektronens största vinkel

En foton med våglängden $0{,}150\ \text{nm}$ färdas längs $x$-axeln och träffar en stillastående elektron. Vilken är den största vinkeln som elektronens rörelseriktning kan ha relativt $x$-axeln efter stöten?

*Totalpoäng: 3*

> [!tip]- Ledtråd 1
> [[Comptonspridning]] med bevarad rörelsemängd. *Fysika: Fd3* (Comptonspridning, de Broglie $p = h/\lambda$) och *Te* (elektronens comptonvåglängd $h/(m_ec)$).
>
> > [!tip]- Ledtråd 2
> > Kalla fotonens spridningsvinkel $\theta$ och elektronens vinkel $\beta$ under $x$-axeln. Rörelsemängden före är $h/\lambda$ längs $x$. Efter stöten delas den mellan fotonen, $h/\lambda'$ i vinkeln $\theta$, och elektronen. Ställ upp $p_x$ och $p_y$ för elektronen och bilda $\tan\beta = p_y/p_x$.
> >
> > > [!tip]- Ledtråd 3
> > > Använd $1 - \cos\theta = 2\sin^2(\theta/2)$ och $\sin\theta = 2\sin(\theta/2)\cos(\theta/2)$. Fundera på vad som händer med $\beta$ när fotonen nästan inte avböjs alls.

> [!note]- Lösning
> Vi räknar på comptonspridning: fotonen sprids i vinkeln $\theta$ och elektronen far iväg i vinkeln $\beta$ under $x$-axeln. Fotonens nya våglängd ges av
> $$
> \lambda' = \lambda + \frac{h}{mc}(1 - \cos\theta)
> $$
> *Fysika: Fd3 (Comptonspridning)*
>
> Eftersom rörelsemängden ska bevaras får elektronen rörelsemängden
> $$
> p_x = \frac{h}{\lambda} - \frac{h}{\lambda'}\cos\theta,\qquad p_y = \frac{h}{\lambda'}\sin\theta
> $$
> *Fysika: Fd3 (fotonens rörelsemängd $p = h/\lambda$), Fb7a (rörelsemängden bevaras)*
>
> Vinkeln $\beta$ ges då av
> $$
> \tan\beta = \frac{p_y}{p_x} = \frac{\frac{h}{\lambda'}\sin\theta}{\frac{h}{\lambda} - \frac{h}{\lambda'}\cos\theta} = \frac{\sin\theta}{\frac{\lambda'}{\lambda} - \cos\theta}
> $$
> Med $\lambda'/\lambda = 1 + \frac{h}{mc\lambda}(1 - \cos\theta) = 1 + \frac{hf}{mc^2}(1 - \cos\theta)$ blir nämnaren $(1 - \cos\theta)(1 + hf/(mc^2))$:
> $$
> \tan\beta = \frac{\sin\theta}{(1 - \cos\theta)\left(1 + \frac{hf}{mc^2}\right)} = \frac{2\cos\frac{\theta}{2}\sin\frac{\theta}{2}}{2\sin^2\frac{\theta}{2}\left(1 + \frac{hf}{mc^2}\right)}
> $$
> Förkorta med $2\sin(\theta/2)$:
> $$
> \tan\beta = \frac{\cot\frac{\theta}{2}}{1 + \frac{hf}{mc^2}}\ \Rightarrow\ \cot\beta = \left(1 + \frac{hf}{mc^2}\right)\tan\frac{\theta}{2}
> $$
> Vilket innebär att $\beta \to 90^\circ$ då $\theta \to 0$.
>
> Svar: vinkeln kan komma godtyckligt nära $\boxed{\beta \to 90^\circ}$, för fotoner som knappt avböjs; elektronen får då en mycket liten rörelsemängd rakt åt sidan.
>
> Dra i reglaget för $\theta$. Elektronens rörelsemängd $p_e = p - p'$ vrider sig mot lodrätt när $\theta$ blir liten, samtidigt som den krymper:
>
> ![[f05t-231024-u5-compton.png|600]]
>
> **En annan tolkning**, som facit också godkänner: när $\theta = 90^\circ$ får elektronen mest rörelsemängd i $y$-riktningen. Fotonens nya våglängd ges av
> $$
> \lambda' = \lambda + \frac{h}{mc}(1 - \cos 90^\circ) = \lambda + \frac{h}{mc} = 0{,}15243\ \text{nm}
> $$
> *Fysika: Fd3 (Comptonspridning), Te (comptonvåglängden $h/(m_ec) = 2{,}426\cdot 10^{-12}\ \text{m}$)*
>
> Elektronens rörelsemängd efter stöten är då i $x$-led och $y$-led
> $$
> \begin{aligned}
> p_x &= \frac{h}{\lambda} = 4{,}41738\cdot 10^{-24}\ \text{kg}\cdot\text{m/s}\\
> p_y &= -\frac{h}{\lambda'} = -4{,}34706\cdot 10^{-24}\ \text{kg}\cdot\text{m/s}
> \end{aligned}
> $$
> och vinkeln $\beta$ ges av
> $$
> \beta = \tan^{-1}\left(\frac{|p_y|}{|p_x|}\right) = 44{,}5^\circ
> $$
> Svar med den tolkningen: $\boxed{\beta = 44{,}5^\circ}$
>
> *Kontrollerat mot facit. Facit godkänner båda tolkningarna, och svarsraden anger $44{,}5^\circ$. I facits ekvation (25) står $hf/m^2$ där det ska stå $hf/(mc^2)$.*

---

## 6. Schrödingerekvationen: fri partikel och partikel i en låda

Schrödingerekvationen har följande utseende.
$$
-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\Psi(x)}{dx^2} + U(x)\Psi(x) = E\Psi(x)
$$

a) Lös Schrödingerekvationen för en fri partikel och visa att energin blir densamma som för en klassisk lösning. *(1p)*

b) Lös Schrödingerekvationen för en lådpotential med bredden $L$ så att du får normaliserade vågfunktioner och tillhörande energinivåer. *(2p)*

*Totalpoäng: 3*

> [!tip]- Ledtråd 1
> [[Vågfunktion]] och [[Partikel i låda]]. *Fysika: Fd3* (fri partikel i endimensionell låda, de Broglie-våglängden) och *Fc1* ($k = 2\pi/\lambda$).
>
> > [!tip]- Ledtråd 2
> > En fri partikel har $U = 0$ överallt, så ekvationen blir $\Psi'' = -k^2\Psi$ med $k^2 = 2mE/\hbar^2$. Lösningarna är sinus och cosinus (eller $e^{\pm ikx}$). I lådan är $U = 0$ inuti och oändlig utanför, så $\Psi$ måste vara noll vid väggarna.
> >
> > > [!tip]- Ledtråd 3
> > > Koppla $k$ till rörelsemängden med de Broglie: $p = h/\lambda = \hbar k$. I lådan ger $\Psi(0) = 0$ att cosinustermen försvinner och $\Psi(L) = 0$ att $kL = n\pi$. Normeringen $\int_0^L |\Psi|^2\,dx = 1$ ger amplituden.

> [!note]- Lösning
> Läraren går igenom uppgiften på seminarium 6, och facit innehåller varken lösning eller svar, så lösningsgången nedan är egen.
>
> **a)** För en fri partikel är $U(x) = 0$, och ekvationen blir
> $$
> \frac{d^2\Psi}{dx^2} = -\frac{2mE}{\hbar^2}\Psi = -k^2\Psi,\qquad k = \frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}
> $$
> Den allmänna lösningen är en harmonisk våg:
> $$
> \Psi(x) = A\sin kx + B\cos kx
> $$
> (eller $Ce^{ikx} + De^{-ikx}$). Insättning visar att den uppfyller ekvationen för varje $E \ge 0$, med
> $$
> E = \frac{\hbar^2k^2}{2m}
> $$
> Vågtalet hör ihop med våglängden, $k = 2\pi/\lambda$, och de Broglie-våglängden med rörelsemängden, $\lambda = h/p$. Alltså är $\hbar k = \frac{h}{2\pi}\cdot\frac{2\pi}{\lambda} = p$:
>
> *Fysika: Fc1 ($k = 2\pi/\lambda$), Fd3 (de Broglie-våglängden $\lambda = h/p$)*
>
> $$
> E = \frac{(\hbar k)^2}{2m} = \frac{p^2}{2m} = \frac{(mv)^2}{2m} = \frac{mv^2}{2}
> $$
> Svar: $\boxed{E = \dfrac{p^2}{2m} = \dfrac{mv^2}{2}}$, precis den klassiska rörelseenergin för en fri partikel.
>
> **b)** I lådan är $U = 0$ för $0 < x < L$ och $U = \infty$ utanför. Utanför måste $\Psi = 0$, och eftersom vågfunktionen är kontinuerlig gäller randvillkoren $\Psi(0) = \Psi(L) = 0$. Inuti är lösningen densamma som i a:
> $$
> \Psi(x) = A\sin kx + B\cos kx
> $$
> $\Psi(0) = B = 0$ tar bort cosinustermen, och $\Psi(L) = A\sin kL = 0$ kräver (med $A \ne 0$)
> $$
> kL = n\pi\ \Rightarrow\ k_n = \frac{n\pi}{L},\qquad n = 1, 2, 3, \dots
> $$
> ($n = 0$ ger $\Psi = 0$ överallt, ingen partikel.) Energinivåerna blir
> $$
> E_n = \frac{\hbar^2k_n^2}{2m} = \frac{n^2\pi^2\hbar^2}{2mL^2}
> $$
> Normering: sannolikheten att hitta partikeln någonstans i lådan är $1$:
> $$
> \int_0^L A^2\sin^2\left(\frac{n\pi x}{L}\right)dx = A^2\frac{L}{2} = 1\ \Rightarrow\ A = \sqrt{\frac{2}{L}}
> $$
> Svar:
> $$
> \boxed{\Psi_n(x) = \sqrt{\frac{2}{L}}\sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right),\qquad E_n = \frac{n^2\pi^2\hbar^2}{2mL^2}}
> $$
> *Fysika: Fd3 (fri partikel i endimensionell låda med storlek $a$: samma $E_n$ och $\psi_n$ med $a = L$)*
>
> *Facit ger varken lösning eller svar (uppgiften gås igenom på seminarium 6); lösningsgången är egen och kontrollerad mot Fysika Fd3.*

---

## Se även

- [[F0005T]] — kurssidan med alla tentor
- [[Harmonisk våg]] · [[Fas och faskonstant]] · [[Superposition av vågor]] · [[Fasordiagram]] · [[Vågor på komplex form]]
- [[Polarisation]] · [[Brewsters vinkel]] · [[Fresnels formler]]
- [[Svartkroppsstrålning]] · [[Wiens förskjutningslag]] · [[Stefan-Boltzmanns lag]] · [[Comptonspridning]] · [[Vågfunktion]] · [[Partikel i låda]]