---
kurs:
  - F0005T
tags:
  - fysik
  - vågrörelselära
  - metod
förkunskaper:
  - "[[Komplexa tal]]"
  - "[[Polär form för komplexa tal]]"
  - "[[Harmonisk våg]]"
status: utkast
aliases:
  - Komplex amplitud
  - Komplex vågform
---

> **Kurs:** F0005T
> **Förkunskaper:** [[Komplexa tal]], [[Polär form för komplexa tal]], [[Harmonisk våg]]

---

Vi kan skriva en harmonisk våg som realdelen av ett komplext uttryck, där amplitud och fas ryms i en enda komplex amplitud. Det ändrar ingenting fysikaliskt, men gör att addition av flera vågor blir addition av komplexa tal i stället för trigonometriska omskrivningar.

---

## 1. Från sinus och cosinus till komplex form

Utgångspunkten är [[De Moivres och Eulers formler|Eulers formel]], som knyter den komplexa exponentialfunktionen till de trigonometriska:

$$
e^{iz}=\cos z+i\sin z
$$

där: $i=\sqrt{-1}$

Byter vi ut vågens sinus mot en exponential får vi

$$
y(x,t)=ae^{i(kx-\omega t+\alpha)}
$$

som enligt Eulers formel är

$$
y(x,t) = a\cos(kx-\omega t+\alpha)+ia\sin(kx-\omega t+\alpha)
$$

Den fysikaliska vågen är en av delarna - vi räknar med hela det komplexa uttrycket och plockar ut real- eller imaginärdelen först på slutet.

---

## 2. Den komplexa amplituden

Vinsten kommer när vi delar upp exponenten. Tidsberoendet står för sig självt:

$$
y(x,t)=ae^{i(kx+\alpha)}e^{-i\omega t}
$$

Faktorn

$$
e^{-i\omega t}
$$

är densamma för alla vågor med samma frekvens. Allt som skiljer dem åt samlas i den **komplexa amplituden**

$$
A=ae^{i(kx+\alpha)}
$$

så att vågen kortare skrivs

$$
\boxed{\;y(x,t)=Ae^{-i\omega t}\;}
$$
*Fysika: Fc1 (på komplex form, $S=Ae^{i(\omega t\pm kx)}$ med $A=ae^{i\delta}$)*

Den fulla fasen är fortfarande

$$
kx-\omega t+\alpha
$$

men den del som ligger i $A$ är bara den tidsoberoende resten:

$$
\beta=kx+\alpha
$$

Amplitudens belopp är den ursprungliga amplituden:

$$
|A|=a
$$

---

## 3. Amplituden som vektor

Ett komplext tal har ett belopp och en vinkel, och därmed kan $A$ ritas som en vektor i det komplexa talplanet:

$$
\text{amplitud} \longleftrightarrow \text{vektorns längd}
$$

$$
\text{fas} \longleftrightarrow \text{vektorns vinkel}
$$

Längden är $|A|=a$ och vinkeln $\beta=kx+\alpha$. Den bilden utvecklas i [[Fasordiagram|fasordiagrammet]].

Lägg till bild på komplexa tilplanet där deras indeviduela faser står för vinklarna

![[f05-komplex-amplitud.png|520]]

*Två komplexa amplituder i talplanet: pilens längd är amplituden och vinkeln mot den reella axeln är fasen $\beta=kx+\alpha$. Summan $A=A_1+A_2$ fås genom att lägga pilarna ände mot ände.*

---

## 4. Varför detta är användbart

Eftersom den gemensamma tidsfaktorn kan brytas ut blir summan av två vågor en summa av deras komplexa amplituder:

$$
A=A_1+A_2
$$

Det är hela poängen. Att lägga ihop vågor kräver inga trigonometriska formler — det blir addition av två vektorer, och [[Interferens|interferensen]] går att läsa av geometriskt.

## Läsning

- [[z.University Physics.pdf#page=499|15.3 Mathematical Description of a Wave]]

## Se även

- [[Komplexa tal]]
- [[Polär form för komplexa tal]]
- [[Fasordiagram]]
- [[Interferens]]
- [[Harmonisk våg]]

## Resurser

- [Wikipedia: Phasor](https://en.wikipedia.org/wiki/Phasor)

---

← [[Stående vågor i pipor]] · [[F0005T]] · [[Interferens]] →