---
kurs:
  - S0008M
tags:
  - matematik
  - statistik
  - metod
förkunskaper:
  - "[[Stickprov i par]]"
  - "[[t-fördelningen]]"
status: utkast
aliases:
  - Tvåstickprovsmetoden
  - Oberoende stickprov
  - Sammanvägd varians
  - Poolad varians
  - Konfidensintervall för µ1 − µ2
---

> **Kurs:** S0008M
> **Förkunskaper:** [[Stickprov i par]], [[t-fördelningen]]

---

Tvåstickprovsmetoden jämför väntevärdena i två grupper när observationerna inte är parvisa utan oberoende. Osäkerheten blir större än vid parvisa observationer, eftersom variationen mellan individer då inte kan elimineras.

---

## 1. Modellen

Två oberoende stickprov, ett från varje grupp:

$$
x_1,\dots,x_{n_1} \text{ observationer från } N(\mu_1,\ \sigma), \qquad y_1,\dots,y_{n_2} \text{ observationer från } N(\mu_2,\ \sigma)
$$

alla oberoende. Vi söker ett intervall för skillnaden $\mu_1 - \mu_2$.

> [!important] Samma $\sigma$ i båda grupperna
> Metoden förutsätter att grupperna har **samma standardavvikelse**, även om den är okänd. Väntevärdena får skilja sig, spridningen inte. Det är detta som gör att vi kan väga ihop de två skattningarna av $\sigma$.

---

## 2. Punktskattning av skillnaden

$\bar\xi - \bar\eta$ skattar $\mu_1 - \mu_2$. Eftersom stickproven är oberoende adderas varianserna:

$$
\bar\xi - \bar\eta \in N\!\left(\mu_1 - \mu_2,\ \ \sigma\sqrt{\dfrac{1}{n_1} + \dfrac{1}{n_2}}\right)
$$

---

## 3. Sammanvägd skattning av $\sigma$

Varje stickprov ger sin egen skattning, $s_1^2$ och $s_2^2$. Eftersom de skattar samma $\sigma^2$ väger vi ihop dem med frihetsgraderna som vikter:

$$
\boxed{s^2 = \dfrac{(n_1 - 1)\,s_1^2 + (n_2 - 1)\,s_2^2}{n_1 + n_2 - 2}}
$$

Det större stickprovet får större vikt. Nämnaren $n_1 + n_2 - 2$ är också antalet frihetsgrader i intervallet nedan.

---

## 4. Konfidensintervallet

$$
\boxed{I_{\mu_1-\mu_2} = \left[\bar x - \bar y \mp t_{\alpha/2}(n_1 + n_2 - 2)\cdot s\sqrt{\dfrac{1}{n_1} + \dfrac{1}{n_2}}\right]}
$$

Är standardavvikelserna **kända** i förväg, $\sigma_1$ och $\sigma_2$, behövs varken sammanvägningen eller $t$-fördelningen:

$$
I_{\mu_1-\mu_2} = \left[\bar x - \bar y \mp \lambda_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\sigma_1^2}{n_1} + \dfrac{\sigma_2^2}{n_2}}\right]
$$

På räknaren: `menu` → Statistics → Confidence Intervals → 2-Sample t Interval med **Pooled: Yes**.

---

## 5. Par eller två stickprov?

| | [[Stickprov i par]] | Två stickprov |
|---|---|---|
| Försöksplan | båda metoderna på **samma** objekt | olika objekt i de två grupperna |
| Antal observationer | lika många i båda | $n_1$ och $n_2$ får skilja sig |
| Analyseras | differenserna $z_i$ som ett stickprov | två stickprov med sammanvägd $s$ |
| Variation mellan objekt | tar ut sig | hamnar i $s$ |
| Frihetsgrader | $n - 1$ | $n_1 + n_2 - 2$ |

> [!warning] Det är försöksplanen som avgör
> Frågan är inte vilken formel som ger bäst resultat, utan hur datamaterialet samlades in. Finns en naturlig parning — samma person, samma dag, samma bit material — är det stickprov i par. Är grupperna olika individer är det två stickprov.

> [!warning] Vanliga fel
> - **Frihetsgraderna.** Två stickprov ger $n_1 + n_2 - 2$, inte $n - 1$.
> - **Medelvärdet av $s_1$ och $s_2$.** Den sammanvägda skattningen viktar *varianserna* med frihetsgraderna; ta roten först efteråt.
> - **Pooled: No på räknaren.** Kursens modell har samma $\sigma$ i båda grupperna, alltså **Pooled: Yes**.

---

## 6. Lösta lektionsuppgifter

> [!example]- Lektion 13, övning 3a och c (Vännman 8.23) — Blodtryck i två grupper
> För att undersöka om en medicin påverkar blodtrycket mättes det i två oberoende grupper: $50$ personer ($x$) och $25$ personer ($y$). Resultat: $\bar x = 148{,}2$, $s_x = 10{,}0$ och $\bar y = 151{,}7$, $s_y = 8{,}0$.
>
> a) Beräkna ett $95\ \%$ konfidensintervall för $\mu_1 - \mu_2$ och tolka det.
>
> c) Ett nytt försök, där 25 patienter mättes före och efter behandlingen, gav intervallet $[1{,}24;\ 2{,}56]$ för den förväntade ökningen (se [[Stickprov i par]]). Varför ger försöken olika svar på frågan om medicinen höjer blodtrycket, och vilken slutsats kan dras?
>
> > [!note]- Lösning
> > **Modell.** $x_i$ observationer från $N(\mu_1,\sigma)$, $i = 1,\dots,50$; $y_j$ observationer från $N(\mu_2,\sigma)$, $j = 1,\dots,25$; alla oberoende.
> >
> > **a)** Sammanvägd varians:
> > $$
> > s^2 = \dfrac{49\cdot10{,}0^2 + 24\cdot8{,}0^2}{73} = \dfrac{6436}{73} \approx 88{,}16, \qquad s\approx 9{,}39
> > $$
> > Med $t_{0{,}025}(73) \approx 1{,}993$:
> > $$
> > I_{\mu_1-\mu_2} = \left[-3{,}5 \mp 1{,}993\cdot9{,}39\sqrt{\dfrac{1}{50} + \dfrac{1}{25}}\right] = [-3{,}5 \mp 4{,}58] \approx \boxed{[-8{,}08;\ 1{,}08]}
> > $$
> > $0$ ingår, så försöket ger ingen tydlig indikation på att grupperna skiljer sig i genomsnitt.
> >
> > **c)** Blodtrycket varierar mycket mellan personer ($s\approx 9$), och i tvåstickprovsförsöket hamnar den variationen i intervallets bredd. I parförsöket mäts samma person två gånger; variationen mellan personer tar ut sig och det som återstår är den lilla, stabila förändringen ($s_z = 1{,}6$). Parförsöket är därför mycket känsligare och kan påvisa en höjning som tvåstickprovsförsöket inte ser. Slutsatsen dras från parförsöket: med $95\ \%$ säkerhet höjer medicinen blodtrycket, i genomsnitt med mellan $1{,}24$ och $2{,}56$ enheter.
> >
> > **På räknaren.** 2-Sample t Interval med **Stats** ($\bar x_1$ = `148.2`, `sx1` = `10`, `n1` = `50`, $\bar x_2$ = `151.7`, `sx2` = `8`, `n2` = `25`) och **Pooled: Yes**.
> >
> > *Uppgiften (Vännman 8.23 a, i 2:a uppl. 8.25 a) är återgiven ur det handskrivna lösningsförslaget, som anger [−8,09; 1,10] med $t \approx 1{,}996$ och gränserna avrundade utåt; med $t_{0{,}025}(73) = 1{,}993$ blir det [−8,08; 1,08].*

> [!example]- Lektion 13, övning 4 (Vännman 8.28) — Böjhållfasthet vid två temperaturer
> Böjhållfastheten hos ett material mäts vid två temperaturer: 5 observationer $x_i$ vid den ena och 6 observationer $y_j$ vid $700^\circ$. Ur mätvärdena fås
>
> $$
> \bar x = 137, \quad \sum x_i^2 = 94\,215, \qquad \bar y = 208, \quad \sum y_j^2 = 260\,236
> $$
>
> Beräkna och tolka i ord ett $95\ \%$ konfidensintervall för skillnaden i förväntad böjhållfasthet.
>
> > [!note]- Lösning
> > **Modell.** $x_i$ observationer från $N(\mu_1,\sigma)$, $i = 1,\dots,5$; $y_j$ observationer från $N(\mu_2,\sigma)$, $j = 1,\dots,6$; oberoende stickprov.
> >
> > **Varianser** med räkneformen:
> > $$
> > s_x^2 = \dfrac{94\,215 - 5\cdot137^2}{4} = 92{,}5, \qquad s_y^2 = \dfrac{260\,236 - 6\cdot208^2}{5} = 130{,}4
> > $$
> > $$
> > s^2 = \dfrac{4\cdot92{,}5 + 5\cdot130{,}4}{9} = \dfrac{1022}{9} \approx 113{,}6, \qquad s\approx 10{,}66
> > $$
> >
> > **Intervall.** $t_{0{,}025}(9) = 2{,}262$:
> > $$
> > I_{\mu_1-\mu_2} = \left[137 - 208 \mp 2{,}262\cdot10{,}66\sqrt{\dfrac15 + \dfrac16}\right] = [-71 \mp 14{,}6] \approx \boxed{[-85{,}6;\ -56{,}4]}
> > $$
> >
> > **Tolkning.** $0$ ingår inte. Med $95\ \%$ säkerhet är den genomsnittliga böjhållfastheten mellan $56{,}4$ och $85{,}6$ enheter högre vid $700^\circ$.
> >
> > **På räknaren.** 2-Sample t Interval med **Data** (de två listorna) och **Pooled: Yes**.
> >
> > *Uppgiften (Vännman 8.28, i 2:a uppl. 8.30) är återgiven ur det handskrivna lösningsförslaget, och intervallet stämmer med det.*

> [!example]- Lektion 14, övning 1 — Mäter två laboratorier likvärdigt?
> Ett prov delades i två delar som skickades till två laboratorier. Vart och ett gjorde 7 oberoende mätningar (kodade enheter), som kan beskrivas som oberoende observationer av normalfördelade stokastiska variabler.
>
> | Lab 1 | 10,084 | 9,984 | 10,076 | 9,894 | 10,105 | 9,880 | 10,034 |
> |---|---|---|---|---|---|---|---|
> | **Lab 2** | 10,036 | 10,060 | 10,207 | 10,207 | 10,077 | 10,116 | 10,263 |
>
> Räknehjälp: $\bar x_1 = 10{,}0081$, $s_1 = 0{,}0917$; $\bar x_2 = 10{,}1380$, $s_2 = 0{,}0874$; differenser Lab 2 − Lab 1: $\bar z = 0{,}1299$, $s_z = 0{,}1379$.
>
> a) Ange de fullständiga modellantagandena.
>
> b) Finns en genomsnittlig systematisk skillnad mellan laboratorierna? Hur stor? Beräkna och tolka ett $95\ \%$ konfidensintervall.
>
> c) Varför är det två stickprov och inte stickprov i par?
>
> > [!note]- Lösning
> > **a)** $x_{1i}$ = mätning $i$ vid lab 1, observation från $N(\mu_1,\sigma)$; $x_{2j}$ = mätning $j$ vid lab 2, observation från $N(\mu_2,\sigma)$; $i, j = 1,\dots,7$, alla oberoende och med samma $\sigma$.
> >
> > **c)** Mätningarna vid de två laboratorierna hör inte ihop parvis: mätning nr 1 vid lab 1 har ingenting gemensamt med mätning nr 1 vid lab 2. Alla fjorton mätningar görs på samma prov. Ordningen i tabellen är godtycklig, så differenserna $z$ i räknehjälpen saknar mening.
> >
> > **b)** Sammanvägd standardavvikelse:
> > $$
> > s = \sqrt{\dfrac{6\cdot0{,}0917^2 + 6\cdot0{,}0874^2}{12}} \approx 0{,}0896
> > $$
> > Med $t_{0{,}025}(12) = 2{,}179$:
> > $$
> > I_{\mu_2-\mu_1} = \left[0{,}1299 \mp 2{,}179\cdot0{,}0896\sqrt{\dfrac17 + \dfrac17}\right] = [0{,}1299 \mp 0{,}1043] \approx \boxed{[0{,}0255;\ 0{,}2342]}
> > $$
> > $0$ ingår inte. Med $95\ \%$ säkerhet finns en systematisk skillnad: lab 2 ger i genomsnitt mellan $0{,}026$ och $0{,}234$ enheter högre värden än lab 1.
> >
> > **På räknaren.** 2-Sample t Interval med **Pooled: Yes**; räknaren ger $\mu_1-\mu_2$, alltså samma intervall med ombytta tecken.
> >
> > *Facit: [0,0255; 0,2342] för $\mu_2 - \mu_1$, med samma tolkning.*

---

## Se även

- [[Stickprov i par]]
- [[t-fördelningen]]
- [[Konfidensintervall]]
- [[Punktskattning]]
- [[Hypotesprövning]]

## Resurser

- [Wikipedia: Student's t-test — independent two-sample](https://en.wikipedia.org/wiki/Student%27s_t-test#Independent_two-sample_t-test)


---

← [[Stickprov i par]] · [[S0008M]] · [[Hypotesprövning]] →