---
kurs:
  - F0005T
tags:
  - fysik
  - vågrörelselära
  - fenomen
förkunskaper:
  - "[[Stående våg]]"
status: utkast
aliases:
  - Mod
  - Moder
  - Harmonier
  - Grundton
---

> **Kurs:** F0005T
> **Förkunskaper:** [[Stående våg]]

---

En sträng som är fäst i båda ändarna kan bara bära stående vågor med noder i ändpunkterna. Villkoret $L=n\lambda_n/2$ gör att bara ett diskret antal svängningsmoder är möjliga, och deras frekvenser är heltalsmultipler av grundtonen.

---

## 1. Vilka våglängder passar in?

![[Pasted image 20260908085419.png|500]]

Figuren visar de fyra lägsta moderna. Ändpunkterna är fastspända och måste vara noder, så strängens längd måste rymma ett helt antal halva våglängder. Grundsvängningen har en enda buk:

$$
L=\frac{\lambda_1}{2}
$$

Första översvängningen rymmer två halvor, andra tre:

$$
L=2\frac{\lambda_2}{2}
$$

$$
L=3\frac{\lambda_3}{2}
$$

Mönstret är alltså

$$
L=n\frac{\lambda_n}{2}
$$

och löser vi ut våglängden får vi

$$
\boxed{
\lambda_n=\frac{2L}{n}
}
$$

för

$$
n=1,2,3,\ldots
$$

Varje ökning av $n$ lägger till en buk och en nod.

---

## 2. Vilka frekvenser är möjliga?

Våglängd och frekvens hänger ihop via våghastigheten:

$$
v=\lambda f
$$
*Fysika: Fc1 (i formen $v=f\cdot\lambda$)*

Sätt in de tillåtna våglängderna:

$$
f_n=\frac{v}{\lambda_n} \Rightarrow f_n=\frac{nv}{2L}
$$

På en sträng är hastigheten bestämd av spännkraft och [[Längddensitet|längddensitet]],

$$
v=\sqrt{\frac{F}{\mu}}
$$
*Fysika: Fc2a (i formen $v=\sqrt{F/\rho_l}$, med $\rho_l$ för längddensiteten)*

vilket ger modernas frekvenser direkt ur strängens egenskaper:

$$
\boxed{f_n=\frac{n}{2L}\sqrt{\frac{F}{\mu}}}
$$

---

## 3. Övertonerna är heltalsmultipler

Uttrycket

$$
f_n=\frac{nv}{2L}
$$

är linjärt i $n$, så alla moder är heltalsmultipler av den lägsta:

$$
f_n=nf_1
$$

Det är därför en sträng klingar som en ton och inte som ett brus. Örat uppfattar grundtonen $f_1$ som tonhöjden, medan styrkefördelningen mellan översvängningarna avgör klangfärgen.

---

## 4. Tillbaka till gitarren

$$
f_n=\frac{n}{2L}\sqrt{\frac{F}{\mu}}
$$

Uttrycket är hela gitarrens konstruktion i en rad. Tre sätt att ändra tonhöjden syns direkt:

- **Stämskruven** ändrar spännkraften $F$ — hårdare spänt ger högre ton.
- **Greppbandet** kortar den svängande längden $L$ — kortare sträng ger högre ton.
- **Strängvalet** ändrar längddensiteten $\mu$ — grövre sträng ger djupare ton.

Beroendet är dessutom svagare för kraften än för längden, eftersom $F$ står under rottecken medan $L$ inte gör det.

## Läsning

- [[z.University Physics.pdf#page=516|15.8 Normal Modes of a String]]
- [[z.University Physics.pdf#page=513|15.7 Standing Waves on a String]]

## Se även

- [[Stående våg]]
- [[Våghastighet på en sträng]]
- [[Längddensitet]]
- [[Superposition av vågor]]
- [[Stående vågor i pipor]]

## Resurser

- [Wikipedia: String vibration](https://en.wikipedia.org/wiki/String_vibration)

---

← [[Stående våg]] · [[F0005T]] · [[Ljudvåg]] →