---
kurs:
  - F0005T
tags:
  - fysik
  - kvantfysik
  - samband
förkunskaper:
  - "[[De Broglie-våglängd]]"
  - "[[Differentialekvationer]]"
status: utkast
aliases:
  - Tidsoberoende Schrödingerekvationen
  - Stationärt tillstånd
  - Hamiltonoperatorn
---

> **Kurs:** F0005T
> **Förkunskaper:** [[De Broglie-våglängd]], [[Differentialekvationer]]

---

Newtons lagar fungerar inte för små partiklar med vågkaraktär, så vi behöver en ekvation som beskriver vågen i stället. Den tidsoberoende Schrödingerekvationen gör det för tillstånd vars egenskaper inte ändras med tiden — stationära tillstånd — och skrivs kompakt som egenvärdesekvationen $\hat{H}\psi=E\psi$. Arbetsgången är alltid densamma: formulera ekvationen med rätt potential $U$, konstruera en lämplig $\psi$, bestäm $\psi$ och $E$ ur randvillkoren, normera.

$$
\boxed{\;-\dfrac{\hbar^{2}}{2m}\dfrac{d^{2}\psi(x)}{dx^{2}}+U(x)\,\psi(x)=E\,\psi(x)\;}
$$

---

## Formeln, symbol för symbol

$$
\underbrace{-\dfrac{\hbar^{2}}{2m}\dfrac{d^{2}\psi}{dx^{2}}}_{\substack{\text{rörelseenergi}\\\text{(krökningen)}}}
+\underbrace{U(x)\,\psi}_{\substack{\text{potentiell}\\\text{energi}}}
=\underbrace{E\,\psi}_{\substack{\text{total}\\\text{energi}}}
$$

$$
\underbrace{\hat{H}}_{\substack{\text{Hamilton-}\\\text{operatorn}}}\,\psi
=\underbrace{E}_{\text{egenvärdet}}\,\psi
$$

Ekvationen är energins bevarande, $K+U=E$, skriven för en våg: rörelseenergin sitter i hur mycket $\psi$ kröker sig. Stor $E-U$ ger snabb svängning och kort våglängd, och där $E<U$ kröker sig $\psi$ bort från axeln i stället för att svänga.

---

## 1. Varför en ny vågekvation?

För en våg på en sträng gäller $\omega=vk$: vinkelfrekvensen är proportionell mot vågtalet. För en fri partikel med $U=0$ ger de Broglies samband $E=\hbar\omega$ och $p=\hbar k$ (se [[De Broglie-våglängd]]) tillsammans med $E=p^2/2m$ något annat:

$$
E=\dfrac{p^{2}}{2m}
$$

$$
\hbar\omega=\dfrac{\hbar^{2}k^{2}}{2m}
$$

Här är $\omega$ proportionell mot $k^2$. Den vanliga vågekvationen, med andraderivator i både $x$ och $t$, kan inte ge det sambandet. Materievågens ekvation behöver en andraderivata i rummet men bara en förstaderivata i tiden.

---

## 2. Den tidsberoende Schrödingerekvationen

Den allmänna endimensionella ekvationen för en partikel med massan $m$ i potentialen $U(x)$ är

$$
\boxed{-\dfrac{\hbar^{2}}{2m}\dfrac{\partial^{2}\Psi(x,t)}{\partial x^{2}}+U(x)\,\Psi(x,t)=i\hbar\,\dfrac{\partial\Psi(x,t)}{\partial t}}
$$

Ekvationen kan inte härledas ur något mer grundläggande. Den motiveras av att den ger rätt samband för en fri partikel, och den accepteras för att dess förutsägelser stämmer med experimenten.

> [!note]- Motivering: varför $i$ måste finnas med
> **Ansats.** Pröva en sinusvåg för en fri partikel, $\Psi=A\cos(kx-\omega t)+B\sin(kx-\omega t)$, i en ekvation av formen
> $$
> -\dfrac{\hbar^{2}}{2m}\dfrac{\partial^{2}\Psi}{\partial x^{2}}=C\hbar\,\dfrac{\partial\Psi}{\partial t}
> $$
> med en okänd konstant $C$.
>
> **Vänsterledet.** Två derivator i $x$ ger faktorn $-k^2$:
> $$
> -\dfrac{\hbar^{2}}{2m}\dfrac{\partial^{2}\Psi}{\partial x^{2}}=\dfrac{\hbar^{2}k^{2}}{2m}\left[A\cos(kx-\omega t)+B\sin(kx-\omega t)\right]
> $$
>
> **Högerledet.** En derivata i $t$:
> $$
> C\hbar\,\dfrac{\partial\Psi}{\partial t}=C\hbar\omega\left[A\sin(kx-\omega t)-B\cos(kx-\omega t)\right]
> $$
>
> **Jämför.** Med $\hbar\omega=\hbar^{2}k^{2}/2m$ tar faktorerna framför ut varandra, och koefficienterna framför cosinus respektive sinus måste vara lika:
> $$
> A=-CB\qquad B=CA
> $$
> $$
> A=-C^{2}A\qquad\Longrightarrow\qquad C^{2}=-1\qquad\Longrightarrow\qquad C=i
> $$
>
> **Lösningen.** $B=iA$ ger, med Eulers formel,
> $$
> \Psi(x,t)=A\left[\cos(kx-\omega t)+i\sin(kx-\omega t)\right]=Ae^{i(kx-\omega t)}
> $$
>
> **Med potential.** För denna våg är $-\frac{\hbar^2}{2m}\partial_x^2\Psi=K\Psi$ och $i\hbar\,\partial_t\Psi=E\Psi$. Lägger vi till termen $U\Psi$ säger ekvationen alltså $K+U=E$, gånger $\Psi$.

Eftersom $i$ står i ekvationen är lösningarna i allmänhet komplexa (se [[Komplexa tal]]). Det är bara $|\Psi|^2$ som går att mäta, se [[Vågfunktion]].

---

## 3. Stationära tillstånd

Ett tillstånd med bestämd energi $E$ kan skrivas som en rumsdel gånger en ren tidsfas:

$$
\boxed{\Psi(x,t)=\psi(x)\,e^{-iEt/\hbar}}
$$

Sätter vi in det i den tidsberoende ekvationen ger tidsderivatan faktorn $-iE/\hbar$:

$$
i\hbar\,\dfrac{\partial}{\partial t}\left[\psi(x)e^{-iEt/\hbar}\right]=i\hbar\left(-\dfrac{iE}{\hbar}\right)\psi(x)e^{-iEt/\hbar}=E\,\psi(x)e^{-iEt/\hbar}
$$

Faktorn $e^{-iEt/\hbar}$ finns i alla termer och kan förkortas bort. Kvar blir den tidsoberoende ekvationen i rutan överst. Sannolikhetstätheten beror inte på tiden, eftersom

$$
|\Psi|^{2}=\psi^{*}e^{+iEt/\hbar}\,\psi\,e^{-iEt/\hbar}=|\psi|^{2}
$$

Det är därför tillståndet kallas *stationärt*. Det är fördelningen som står still, inte partikeln.

---

## 4. Lösningarnas form

Skriver vi den tidsoberoende ekvationen som

$$
\dfrac{d^{2}\psi}{dx^{2}}=-\dfrac{2m\left(E-U\right)}{\hbar^{2}}\,\psi
$$

ser vi direkt hur lösningen beter sig i ett område där $U$ är konstant:

| Område | Lösning | Konstant |
|---|---|---|
| $E>U$, klassiskt tillåtet | $\psi=A\sin kx+B\cos kx$, svänger | $k=\dfrac{\sqrt{2m(E-U)}}{\hbar}$ |
| $E<U$, klassiskt förbjudet | $\psi=Ce^{\kappa x}+De^{-\kappa x}$, växer eller avtar | $\kappa=\dfrac{\sqrt{2m(U-E)}}{\hbar}$ |

Det förbjudna området behandlas i [[Partikel i potentialbrunn]] och [[Kvantmekanisk tunnling]]. För en fri partikel är $\psi=A_1e^{ikx}+A_2e^{-ikx}$ med $E=\hbar^2k^2/2m$. Det är två vågor som går åt var sitt håll, och med lika stora amplituder blir de tillsammans en stående våg.

Lösningarna måste också uppfylla några krav:

- $\psi$ är kontinuerlig överallt.
- $d\psi/dx$ är kontinuerlig överallt där $U$ är ändlig.
- $\psi=0$ där $U=\infty$.
- $\psi$ går att normera, alltså $\psi\to0$ när $x\to\pm\infty$.

Kraven väljer ut vilka energier som är tillåtna. Ekvationen är dessutom linjär, så en summa av lösningar är också en lösning.

> [!warning] Vanliga fel
> - **$\psi$ tolkas som en förskjutning eller en bana.** Vågfunktionen svänger inte i rummet som en sträng. Bara $|\psi|^2$ har en fysikalisk tolkning.
> - **Fel tecken på $E-U$.** Där $E<U$ blir lösningen exponentiell, inte en sinus. Kontrollera alltid tecknet innan du väljer ansats.
> - **"Stationärt" tolkas som "i vila".** Ett stationärt tillstånd har bestämd energi och en tidsoberoende $|\Psi|^2$. Partikeln har ändå rörelseenergi.
> - **$h$ och $\hbar$ blandas.** $E=\hbar^2k^2/2m$ med $k=2\pi/\lambda$ ger $E=h^2/(2m\lambda^2)$. Skriver man $h$ i stället för $\hbar$ blir svaret fel med en faktor $4\pi^2$.

---

## 5. Lösta exempel

> [!example]- Exempel — Fri elektron som stående våg
> Visa att $\psi(x)=A\sin kx+B\cos kx$ löser den tidsoberoende Schrödingerekvationen med $U=0$, och bestäm energin. Beräkna energin i eV för en elektron med våglängden $0{,}400$ nm.
>
> > [!note]- Lösning
> > **Derivera två gånger.**
> > $$
> > \dfrac{d^{2}\psi}{dx^{2}}=-k^{2}A\sin kx-k^{2}B\cos kx=-k^{2}\psi
> > $$
> >
> > **Sätt in.** Med $U=0$ blir vänsterledet
> > $$
> > -\dfrac{\hbar^{2}}{2m}\left(-k^{2}\psi\right)=\dfrac{\hbar^{2}k^{2}}{2m}\,\psi
> > $$
> > Det är en konstant gånger $\psi$, så funktionen är en lösning med
> > $$
> > \boxed{E=\dfrac{\hbar^{2}k^{2}}{2m}=\dfrac{h^{2}}{2m\lambda^{2}}}
> > $$
> >
> > **Siffror.**
> > $$
> > E=\dfrac{\left(6{,}626\cdot10^{-34}\right)^{2}}{2\cdot9{,}109\cdot10^{-31}\cdot\left(0{,}400\cdot10^{-9}\right)^{2}}=1{,}51\cdot10^{-18}\text{ J}\approx\boxed{9{,}40\text{ eV}}
> > $$
> > *Fysika: Te ($h$, $m_e$)*
> >
> > *Ej kontrollerat mot facit — två oberoende lösningar stämmer överens.*

> [!example]- Exempel — Elektron i ett klassiskt förbjudet område
> En elektron med energin $2{,}00$ eV kommer in i ett område där $U=5{,}00$ eV.
> a) Visa att $\psi(x)=De^{-\kappa x}$ löser den tidsoberoende Schrödingerekvationen där, och bestäm $\kappa$.
> b) Hur långt in i området har $|\psi|^2$ sjunkit till $1{,}00\,\%$ av värdet vid gränsen?
>
> > [!note]- Lösning
> > **a)** Två derivator ger $\psi''=\kappa^{2}\psi$. Insatt:
> > $$
> > -\dfrac{\hbar^{2}}{2m}\kappa^{2}\psi+U\psi=E\psi
> > $$
> > $$
> > \kappa^{2}=\dfrac{2m\left(U-E\right)}{\hbar^{2}}
> > $$
> > Med $U-E=3{,}00\text{ eV}=4{,}806\cdot10^{-19}$ J:
> > $$
> > \kappa=\dfrac{\sqrt{2\cdot9{,}109\cdot10^{-31}\cdot4{,}806\cdot10^{-19}}}{1{,}055\cdot10^{-34}}\approx\boxed{8{,}87\cdot10^{9}\text{ m}^{-1}}
> > $$
> >
> > **b)** $|\psi|^2\propto e^{-2\kappa x}$, så
> > $$
> > e^{-2\kappa x}=0{,}0100
> > $$
> > $$
> > x=\dfrac{\ln100}{2\kappa}=\dfrac{4{,}605}{2\cdot8{,}874\cdot10^{9}}\approx\boxed{0{,}259\text{ nm}}
> > $$
> > Partikeln tränger alltså in ungefär en atomdiameter i ett område som den klassiskt aldrig kan nå.
> >
> > *Ej kontrollerat mot facit — två oberoende lösningar stämmer överens.*

## Läsning

- [[z.University Physics.pdf#page=1351|40.1 Wave Functions and the One-Dimensional Schrödinger Equation]]

---

← [[Plancks strålningslag]] · [[F0005T]] · [[Vågfunktion]] →