--- kurs: - F0005T tags: - fysik - atomfysik - modell förkunskaper: - "[[Schrödingerekvationen]]" - "[[Sfäriska koordinater]]" - "[[Bohrs modell för väteatomen]]" status: utkast aliases: - Väteatomen kvantmekaniskt - Radialfunktion - Separation av variabler --- > **Kurs:** F0005T > **Förkunskaper:** [[Schrödingerekvationen]], [[Sfäriska koordinater]], [[Bohrs modell för väteatomen]] --- Med Coulombpotentialen separeras problemet i sfäriska koordinater till en produkt av tre enfunktioner. Randvillkoren är att $R(r)\to0$ när $r\to\infty$ och att $\Theta$ och $\Phi$ är periodiska med $2\pi$. Radialdelen ger samma energinivåer som Bohrs modell, men nu utan postulat — och de två vinkeldelarna ger ytterligare två kvanttal på köpet. $$ \boxed{\;U(r)=-\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{e^{2}}{r}\qquad \psi(r,\theta,\phi)=R(r)\,\Theta(\theta)\,\Phi(\phi)\;} $$ --- ## Formeln, symbol för symbol $$ U(r)=\underbrace{-\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\dfrac{e^{2}}{r}}_{\substack{\text{beror bara på}\\\text{avståndet }r}} $$ $$ \psi=\underbrace{R(r)}_{\substack{\text{ger }n\\\text{och energin}}}\,\underbrace{\Theta(\theta)}_{\substack{\text{ger }l\\\text{och formen}}}\,\underbrace{\Phi(\phi)}_{\substack{\text{ger }m_l\text{ och}\\\text{orienteringen}}} $$ Eftersom potentialen bara beror på avståndet går vågfunktionen att dela upp i en faktor per koordinat. Varje faktor får ett eget randvillkor, och varje randvillkor ger ett eget kvanttal. --- ## 1. Schrödingerekvationen i tre dimensioner I tre dimensioner ersätts andraderivatan av summan av de tre partiella andraderivatorna: $$ -\dfrac{\hbar^{2}}{2m}\left(\dfrac{\partial^{2}\psi}{\partial x^{2}}+\dfrac{\partial^{2}\psi}{\partial y^{2}}+\dfrac{\partial^{2}\psi}{\partial z^{2}}\right)+U\psi=E\psi $$ $|\psi|^2\,dV$ är sannolikheten att hitta partikeln i volymelementet $dV$, och normeringen blir $$ \int|\psi|^{2}\,dV=1 $$ Coulombpotentialen beror bara på avståndet $r$ till kärnan, så det lönar sig att byta till [[Sfäriska koordinater]]. Fysiken använder $\theta$ för vinkeln från $z$-axeln och $\phi$ för vinkeln runt $z$-axeln. I matematikkursen är namnen ofta ombytta. --- ## 2. Separation av variabler Sätt in produkten $\psi=R\Theta\Phi$ från ingressen. Varje term kan då ordnas så att den beror på en enda variabel, och ekvationen delas upp i tre vanliga differentialekvationer. Separationskonstanterna skrivs $m_l^2$ och $l(l+1)$. **Azimutdelen.** $$ \dfrac{d^{2}\Phi}{d\phi^{2}}=-m_l^{2}\,\Phi $$ **Polardelen.** $$ \dfrac{1}{\sin\theta}\dfrac{d}{d\theta}\left(\sin\theta\,\dfrac{d\Theta}{d\theta}\right)+\left(l(l+1)-\dfrac{m_l^{2}}{\sin^{2}\theta}\right)\Theta=0 $$ **Radialdelen.** $$ -\dfrac{\hbar^{2}}{2m_rr^{2}}\dfrac{d}{dr}\left(r^{2}\dfrac{dR}{dr}\right)+\left(\dfrac{l(l+1)\hbar^{2}}{2m_rr^{2}}+U(r)\right)R=ER $$ Här är $m_r$ den reducerade massan, se avsnitt 3. Termen $l(l+1)\hbar^2/2m_rr^2$ är rotationsenergin $L^2/2m_rr^2$ med $L^2=l(l+1)\hbar^2$. Den verkar som en extra potential som håller elektronen borta från kärnan när $l>0$. > [!note]- Hur randvillkoren ger heltal > **Azimutdelen.** Lösningen är > $$ > \Phi(\phi)=e^{im_l\phi} > $$ > Vinkeln $\phi+2\pi$ är samma punkt som $\phi$, så $\Phi(\phi+2\pi)=\Phi(\phi)$: > $$ > e^{im_l2\pi}=1\qquad\Longrightarrow\qquad m_l=0,\pm1,\pm2,\dots > $$ > > **Polardelen.** Lösningarna är ändliga i både $\theta=0$ och $\theta=\pi$ bara om $l$ är ett heltal med $l\ge|m_l|$. > > **Radialdelen.** $R(r)\to0$ när $r\to\infty$ bara för vissa energier. De kan numreras med ett heltal $n>l$, och energin beror bara på $n$. > > Tre randvillkor ger alltså tre [[Kvanttal|kvanttal]], utan att något behöver postuleras. --- ## 3. Energinivåerna Radialekvationen ger precis samma energinivåer som [[Bohrs modell för väteatomen]], $E_n=-13{,}60\text{ eV}/n^2$. Två saker skiljer: - **Inget postulat.** Bohr fick kvantiseringen genom att anta $L=n\hbar$. Här följer den ur randvillkoren. Grundtillståndet har dessutom $L=0$, vilket Bohrs modell inte tillåter. - **Reducerad massa.** Kärnan är inte oändligt tung, så elektronens massa ersätts med [[Reducerad massa|den reducerade massan]] $m_r$. Det ändrar energierna med ungefär $0{,}05\,\%$. Energin beror bara på $n$, inte på $l$ eller $m_l$. Varje nivå rymmer därför flera tillstånd med samma energi, $n^2$ stycken om spinnet inte räknas (se [[Kvanttal]]). Med [[Elektronspin]] blir det $2n^2$. --- ## 4. Var elektronen finns Grundtillståndet, 1s, är sfäriskt symmetriskt: $$ \psi_{1s}(r)=\dfrac{1}{\sqrt{\pi a^{3}}}\,e^{-r/a} $$ där $a=5{,}29\cdot10^{-11}$ m är Bohrradien. $|\psi_{1s}|^2$ är störst i kärnan, men volymen där är liten. Sannolikheten att hitta elektronen mellan $r$ och $r+dr$ får man genom att multiplicera med ett tunt sfäriskt skals volym, $4\pi r^2\,dr$: $$ \boxed{P(r)\,dr=4\pi r^{2}\left|\psi\right|^{2}dr} $$ ![[f05-vate-skal.png|520]] *Varför $P(r)$ har ett maximum. Sannolikheten att hitta elektronen i ett tunt skal är $|\psi|^2$ gånger skalets volym $4\pi r^2\,dr$. Nära kärnan är $|\psi|^2$ störst men skalet litet, och långt ut är skalet stort men $|\psi|^2$ nästan noll. För 1s blir produkten störst vid Bohrradien $a$.* För ett tillstånd som inte är sfäriskt symmetriskt integrerar man först bort vinklarna, och då blir $P(r)=r^2R_{nl}^2$. **Mest sannolika avståndet.** För 1s är $$ P(r)=\dfrac{4r^{2}}{a^{3}}e^{-2r/a} $$ Derivatan är noll när $2r-2r^2/a=0$, alltså vid $r=a$. Det mest sannolika avståndet är Bohrradien, men elektronen har ingen bestämd bana. Medelavståndet är $1{,}5a$. För tillstånden med $l=n-1$ (1s, 2p, 3d, …) har $P(r)$ en enda topp vid $r=n^2a$, samma radier som i Bohrs modell. Tillstånd med lägre $l$ har radiella noder, sfärer där $P(r)=0$. ![[f05-vate-radial.png|520]] *Radiell sannolikhetstäthet för fyra tillstånd i väte. 1s och 2p har en enda topp, vid $a$ och $4a$. 2s har en nod vid $2a$, och 3s har två noder.* > [!warning] Vanliga fel > - **$|\psi|^2$ tas för $P(r)$.** $|\psi_{1s}|^2$ är störst i $r=0$, men $P(r)$ är noll där. Faktorn $4\pi r^2$ glöms lätt. > - **Massan $m$ och kvanttalet $m_l$ blandas ihop.** Massan i radialekvationen har inget med magnetiska kvanttalet att göra. > - **Energin tros bero på $l$.** I väte beror $E_n$ bara på $n$, så 2s och 2p har samma energi. I atomer med flera elektroner gäller det inte längre. > - **Vinkelnamnen byts.** Här är $\theta$ polvinkeln och $\phi$ azimutvinkeln. > - **$n=0$.** Huvudkvanttalet börjar på $1$. --- ## 5. Lösta exempel > [!example]- Exempel — Långt ut och nära kärnan i grundtillståndet > En väteatom är i grundtillståndet 1s. > > a) Beräkna sannolikheten att elektronen befinner sig längre än $2a$ från kärnan. > b) Beräkna sannolikheten att den befinner sig närmare kärnan än $a$. > c) Vilket är det mest sannolika avståndet, i meter? > > > [!note]- Lösning > > **Radiell täthet.** > > $$ > > P(r)=4\pi r^{2}\cdot\dfrac{1}{\pi a^{3}}e^{-2r/a}=\dfrac{4r^{2}}{a^{3}}e^{-2r/a} > > $$ > > > > **Byt variabel.** Sätt $u=2r/a$, så att $r=au/2$ och $dr=a\,du/2$: > > $$ > > P(r)\,dr=\dfrac{4}{a^{3}}\cdot\dfrac{a^{2}u^{2}}{4}\cdot e^{-u}\cdot\dfrac{a}{2}\,du=\dfrac{1}{2}u^{2}e^{-u}\,du > > $$ > > Med partialintegration är en primitiv funktion till $u^2e^{-u}$ > > $$ > > -\left(u^{2}+2u+2\right)e^{-u} > > $$ > > > > **a) Utanför $2a$.** Gränsen $r=2a$ motsvarar $u=4$: > > $$ > > P(r>2a)=\dfrac{1}{2}\left(16+8+2\right)e^{-4}=13e^{-4}\approx\boxed{0{,}238} > > $$ > > > > **b) Innanför $a$.** Gränsen $r=a$ motsvarar $u=2$: > > $$ > > P(r > $$ > > Elektronen är alltså oftare utanför Bohrradien än innanför. > > > > **c) Mest sannolikt avstånd.** $dP/dr=0$ ger $r=a$: > > $$ > > r_{\max}=a=\boxed{5{,}29\cdot10^{-11}\text{ m}} > > $$ > > *Fysika: Te ($a_0$)* > > > > *Ej kontrollerat mot facit — två oberoende lösningar stämmer överens.* ## Läsning - [[z.University Physics.pdf#page=1390|41.1 The Schrödinger Equation in Three Dimensions]] - [[z.University Physics.pdf#page=1397|41.3 The Hydrogen Atom]] --- ← [[Kvantmekanisk harmonisk oscillator]] · [[F0005T]] · [[Kvanttal]] →