---
kurs:
  - S0008M
tags:
  - matematik
  - sannolikhetslära
  - definition
förkunskaper:
  - "[[Utfallsrum och händelser]]"
status: utkast
aliases:
  - Sannolikhetsmåttet
  - Komplementregeln
  - Additionssatsen
  - Kolmogorovs axiom
  - Sannolikhetsmassa
---

> **Kurs:** S0008M
> **Förkunskaper:** [[Utfallsrum och händelser]]

---

Ett sannolikhetsmått tilldelar varje händelse ett tal mellan $0$ och $1$ så att hela [[Utfallsrum och händelser|utfallsrummet]] får $1$ och disjunkta händelser adderas. Ur de tre kraven följer alla räkneregler, bland dem komplementregeln och additionssatsen.

---

## 1. Definitionen

Den [[Klassiska sannolikhetsdefinitionen|klassiska definitionen]] $P(A) = g/m$ gäller bara när utfallen är ändligt många och lika sannolika. I stället för att definiera *vad* $P(A)$ är i allmänhet kräver vi att sannolikheter har vissa egenskaper.

**Definition 2.3.** En funktion $P$ som till varje händelse $A$ i ett utfallsrum $\Omega$ ordnar ett reellt tal $P(A)$ kallas ett **sannolikhetsmått** om

$$
\begin{aligned}
&\text{a)}\quad 0 \le P(A) \le 1 \quad\text{för alla } A \\
&\text{b)}\quad P(\Omega) = 1 \\
&\text{c)}\quad P(A\cup B) = P(A) + P(B) \quad\text{om } A \text{ och } B \text{ är disjunkta}
\end{aligned}
$$

$P(A)$ kallas då **sannolikheten för $A$**.

---

## 2. Masstolkningen

> [!tip] Sannolikhet som massa
> Tänk på sannolikhet som **massa** utspridd över $\Omega$, med total massa $1$. Då är $P(A)$ massan på $A$, och de tre egenskaperna blir självklara: massan är aldrig negativ och aldrig mer än helheten, hela $\Omega$ väger $1$, och två områden som inte överlappar väger tillsammans summan av sina massor.

Masstolkningen är också det enklaste sättet att troliggöra räknereglerna nedan: rita mängddiagrammet och fråga var massan hamnar.

---

## 3. Komplementregeln

**Sats 2.3.**

$$
\boxed{P(A^c) = 1 - P(A)}
$$

$A$ och $A^c$ är disjunkta och fyller tillsammans hela $\Omega$, så deras massor summerar till $1$.

> [!important] "Minst en" via komplementet
> "Minst en av händelserna inträffar" är $A\cup B$, och "ingen inträffar" är dess komplement. Därför
> $$
> P(\text{ingen}) = P\big((A\cup B)^c\big) = 1 - P(A\cup B)
> $$
> När "minst en" är krånglig att räkna direkt är "ingen" ofta enkel, och tvärtom.

---

## 4. Additionssatsen

**Sats 2.4.**

$$
\boxed{P(A\cup B) = P(A) + P(B) - P(A\cap B)}
$$

Adderar vi massan på $A$ och massan på $B$ har snittet $A\cap B$ räknats två gånger. Vi drar bort det en gång. Är $A$ och $B$ disjunkta är $P(A\cap B) = 0$ och vi är tillbaka i egenskap c).

> [!note] Tre händelser
> Samma räkning med tre händelser: snitten parvis har räknats två gånger och dras bort, men då har trippelsnittet först lagts till tre gånger och dragits bort tre gånger, så det måste läggas tillbaka:
> $$
> P(A\cup B\cup C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A\cap B) - P(A\cap C) - P(B\cap C) + P(A\cap B\cap C)
> $$

> [!warning] Vanliga fel
> - **Addera utan att dra bort snittet.** $P(A\cup B) = P(A) + P(B)$ gäller bara för disjunkta händelser. Ett svar större än $1$ är ett säkert tecken.
> - **Blanda ihop disjunkt och oberoende.** Disjunkt betyder $P(A\cap B) = 0$. Oberoende betyder $P(A\cap B) = P(A)\,P(B)$, se [[Oberoende händelser]].
> - **Räkna "minst en" direkt** när komplementet "ingen" är en enda term.

---

## 5. Lösta lektionsuppgifter

> [!example]- Lektion 1, övning 7 — Satserna 2.3 och 2.4 med masstolkning
> Troliggör komplementregeln (Sats 2.3) och additionssatsen (Sats 2.4) med hjälp av masstolkningen eller en egen tolkning. Rita figur.
>
> > [!note]- Lösning
> > Tänk på sannolikheten som massa utspridd över $\Omega$, med total massa $1$ (avsnitt 2).
> >
> > ![[handelser-mangdoperationer.png|560]]
> >
> > **Sats 2.3.** $A$ och $A^c$ överlappar inte och täcker tillsammans hela $\Omega$. Deras massor summerar därför till hela massan: $P(A) + P(A^c) = 1$, alltså $P(A^c) = 1 - P(A)$.
> >
> > **Sats 2.4.** Dela $A\cup B$ i tre bitar som inte överlappar: $A\cap B^c$, $A\cap B$ och $B\cap A^c$. Massan på $A$ är de två första bitarna och massan på $B$ de två sista. Adderar vi $P(A)$ och $P(B)$ har mittbiten $A\cap B$ kommit med två gånger, så vi drar bort den en gång:
> > $$
> > P(A\cup B) = P(A) + P(B) - P(A\cap B)
> > $$
> >
> > **Exempel.** Med $P(A) = 0{,}1$, $P(B) = 0{,}2$ och $P(A\cap B) = 0{,}05$ (övning 8 nedan) blir $P(A\cup B) = 0{,}25$ — lägg ihop de tre områdena i figuren till övning 8 och se att det stämmer.
> >
> > *Resonemangsuppgift — det finns inget facit att jämföra med.*

> [!example]- Lektion 1, övning 8 (Vännman 2.15) — Två fel på byggelement
> Vid tillverkning av en viss typ av byggelement kan två slags fel, $A$ och $B$, uppkomma. Vi vet att $P(A) = 0{,}1$, $P(B) = 0{,}2$ och $P(A\cap B) = 0{,}05$. Beräkna sannolikheten att en tillverkad enhet har
>
> a) åtminstone något av felen,
>
> b) felet $A$ men inte felet $B$,
>
> c) felet $B$ men inte felet $A$,
>
> d) exakt ett av felen $A$ och $B$.
>
> > [!note]- Lösning
> > Figuren fördelar sannolikhetsmassan på de fyra områdena; b)–d) kan läsas av direkt.
> >
> > ![[lek01-byggelement-venn.png|400]]
> >
> > **a)** "Åtminstone något" är $A\cup B$. Additionssatsen:
> > $$
> > P(A\cup B) = 0{,}1 + 0{,}2 - 0{,}05 = \boxed{0{,}25}
> > $$
> >
> > **b)** $A$ delas i två disjunkta bitar, $A\cap B$ och $A\cap B^c$, så $P(A) = P(A\cap B) + P(A\cap B^c)$:
> > $$
> > P(A\cap B^c) = P(A) - P(A\cap B) = 0{,}1 - 0{,}05 = \boxed{0{,}05}
> > $$
> >
> > **c)** På samma sätt:
> > $$
> > P(B\cap A^c) = 0{,}2 - 0{,}05 = \boxed{0{,}15}
> > $$
> >
> > **d)** "Exakt ett" är de två disjunkta månskärorna från b) och c):
> > $$
> > P\big((A\cap B^c)\cup(B\cap A^c)\big) = 0{,}05 + 0{,}15 = \boxed{0{,}20}
> > $$
> >
> > **Rimlighetskoll.** "Exakt ett" plus "båda" ska vara "minst ett": $0{,}20 + 0{,}05 = 0{,}25$, som i a).
> >
> > *Svar i boken (2:a uppl., 2.15): a) 0,25, b) 0,05, c) 0,15, d) 0,20.*

> [!example]- Lektion 1, övning 9 (Vännman 2.16) — Tre tidningar
> I en tätort med 30 000 invånare finns tre tidningar, $A$, $B$ och $C$. En undersökning visade att
>
> | Läser | Antal | Läser | Antal |
> |---|---|---|---|
> | $A$ | 12 000 | $A$ och $B$ | 7 000 |
> | $B$ | 8 000 | $A$ och $C$ | 4 500 |
> | $C$ | 6 000 | $B$ och $C$ | 1 000 |
> | | | $A$, $B$ och $C$ | 500 |
>
> Hur stor är sannolikheten att en slumpmässigt vald invånare läser
>
> a) minst en av tidningarna,
>
> b) ingen av tidningarna,
>
> c) en och endast en av tidningarna?
>
> > [!note]- Lösning
> > Med invånaren vald på måfå är sannolikheten för varje grupp dess andel av 30 000:
> > $$
> > P(A) = \dfrac{12}{30},\quad P(B) = \dfrac{8}{30},\quad P(C) = \dfrac{6}{30},\quad P(A\cap B) = \dfrac{7}{30},\quad P(A\cap C) = \dfrac{4{,}5}{30},\quad P(B\cap C) = \dfrac{1}{30},\quad P(A\cap B\cap C) = \dfrac{0{,}5}{30}
> > $$
> >
> > **a)** Additionssatsen för tre händelser:
> > $$
> > P(A\cup B\cup C) = \dfrac{12 + 8 + 6 - 7 - 4{,}5 - 1 + 0{,}5}{30} = \dfrac{14}{30} = \boxed{\dfrac{7}{15}} \approx 0{,}47
> > $$
> >
> > **b)** Komplementet till a):
> > $$
> > P\big((A\cup B\cup C)^c\big) = 1 - \dfrac{7}{15} = \boxed{\dfrac{8}{15}} \approx 0{,}53
> > $$
> >
> > **c)** Fyll i mängddiagrammet inifrån och ut: trippelsnittet först, sedan de parvisa snitten minus trippelsnittet, sist de tre ytterområdena.
> >
> > ![[tidningar-venn.png|400]]
> >
> > De som läser exakt en tidning är de tre ytterområdena: $1000 + 500 + 1000 = 2500$.
> > $$
> > P(\text{exakt en}) = \dfrac{2500}{30\,000} = \boxed{\dfrac{1}{12}} \approx 0{,}083
> > $$
> >
> > **Rimlighetskoll.** Summan av alla sju områden i figuren är $14\,000$, samma tal som gav $7/15$ i a).
> >
> > *Svar i boken (2:a uppl., 2.16): a) 0,47, b) 0,53, c) 0,08. Stämmer också med det handskrivna lösningsförslaget.*

> [!example]- Lektion 2, övning 2 (Vännman 2.10 och 2.11) — Disjunkta händelser
> **2.10** Beräkna $P(B)$ om $A$ och $B$ är disjunkta händelser sådana att $P(A) = 0{,}25$ och $P(A\cup B) = 0{,}75$.
>
> **2.11** Två händelser $A$ och $B$ har sannolikheterna $0{,}6$ respektive $0{,}7$. Kan händelserna vara disjunkta?
>
> > [!note]- Lösning
> > **2.10** Disjunkta händelser har $P(A\cap B) = 0$, så egenskap c) i definitionen ger $P(A\cup B) = P(A) + P(B)$:
> > $$
> > P(B) = P(A\cup B) - P(A) = 0{,}75 - 0{,}25 = \boxed{0{,}5}
> > $$
> >
> > **2.11** Om de vore disjunkta skulle $P(A\cup B) = 0{,}6 + 0{,}7 = 1{,}3 > 1$, vilket strider mot $P(A\cup B)\le 1$. **Nej**, de kan inte vara disjunkta. Additionssatsen ger dessutom att snittet måste väga minst $P(A\cap B) = P(A) + P(B) - P(A\cup B) \ge 1{,}3 - 1 = 0{,}3$.
> >
> > I masstolkningen: två bitar med massorna $0{,}6$ och $0{,}7$ får inte plats i en total massa $1$ utan att överlappa.
> >
> > *Svar i boken (2:a uppl., 2.10 och 2.11): 0,5 och Nej.*

> [!example]- Lektion 2, övning 3 — Fel på växellådor
> Vid tillverkning av växellådor kan två typer av fel uppkomma, fel $A$ och fel $B$. Sannolikheten för fel $A$ är $0{,}03$ och för fel $B$ är den $0{,}05$. Båda felen kan uppkomma samtidigt, med sannolikheten $0{,}015$. Vad är sannolikheten att en slumpmässigt utvald växellåda har
>
> a) minst ett av felen,
>
> b) inte något fel,
>
> c) exakt ett fel?
>
> > [!note]- Lösning
> > Givet: $P(A) = 0{,}03$, $P(B) = 0{,}05$, $P(A\cap B) = 0{,}015$.
> >
> > **a)** Additionssatsen:
> > $$
> > P(A\cup B) = 0{,}03 + 0{,}05 - 0{,}015 = \boxed{0{,}065}
> > $$
> >
> > **b)** Komplementet till a):
> > $$
> > P\big((A\cup B)^c\big) = 1 - 0{,}065 = \boxed{0{,}935}
> > $$
> >
> > **c)** "Exakt ett" är "minst ett" minus "båda":
> > $$
> > P(\text{exakt ett}) = P(A\cup B) - P(A\cap B) = 0{,}065 - 0{,}015 = \boxed{0{,}05}
> > $$
> >
> > Ett annat sätt, via månskärorna: $P(A\cap B^c) + P(B\cap A^c) = (0{,}03 - 0{,}015) + (0{,}05 - 0{,}015) = 0{,}015 + 0{,}035 = 0{,}05$.
> >
> > *Facit: a) 0,065, b) 0,935, c) 0,05.*

---

## Se även

- [[Utfallsrum och händelser]]
- [[Klassiska sannolikhetsdefinitionen]]
- [[Betingad sannolikhet]]
- [[Oberoende händelser]]
- [[Mängdlära]]

## Resurser

- [Khan Academy: Probability](https://www.khanacademy.org/math/statistics-probability/probability-library)
- [Wikipedia: Probability axioms](https://en.wikipedia.org/wiki/Probability_axioms)

---

← [[Utfallsrum och händelser]] · [[S0008M]] · [[Klassiska sannolikhetsdefinitionen]] →