---
kurs:
  - F0005T
tags:
  - fysik
  - mekanik
  - storhet
förkunskaper:
  - "[[Masscentrum]]"
status: utkast
aliases:
  - Reducerade massan
  - Tvåkropparsproblem
---

> **Kurs:** F0005T
> **Förkunskaper:** [[Masscentrum]]

---

I ett tvåkropparssystem rör sig båda kropparna kring det gemensamma masscentrumet, och problemet kan skrivas om till en enda kropp med den reducerade massan. För väte är korrektionen liten eftersom protonen är $1836{,}2$ gånger tyngre än elektronen, men den räcker för att skilja väte från deuterium spektroskopiskt — så upptäcktes deuterium år 1932. Samma storhet återkommer i molekylers rotation och vibration.

$$
\boxed{\;m_r=\dfrac{m_1m_2}{m_1+m_2}\;}
$$

---

## Formeln, symbol för symbol

$$
\underbrace{m_r}_{\substack{\text{ersättnings-}\\\text{kroppens massa}}}
=\underbrace{m_1}_{\substack{\text{ena}\\\text{kroppen}}}\cdot
\underbrace{\dfrac{m_2}{m_1+m_2}}_{\substack{\text{en andel,}\\\text{alltid }<1}}
$$

Den reducerade massan är den ena massan gånger en faktor som alltid är mindre än ett. Är den andra kroppen mycket tyngre går faktorn mot ett, och vi får tillbaka bilden med en orörlig kärna.

---

## 1. Två kroppar blir en

Två kroppar som bara påverkar varandra kretsar båda kring sitt gemensamma [[Masscentrum|masscentrum]]. Låt $r$ vara avståndet mellan dem och $r_1$, $r_2$ deras avstånd till masscentrum. Båda har samma vinkelhastighet $\omega$, och den relativa farten är $v=r\omega$. Det visar sig att rörelsen beskrivs exakt som om en enda kropp med massan $m_r$ kretsade på avståndet $r$ kring en fast punkt.

![[f05-tvakropp-masscentrum.png|520]]

*Vänster: två kroppar kretsar kring sitt gemensamma masscentrum med samma vinkelhastighet, och den tyngre går i den mindre cirkeln. Höger: samma rörelse som en enda kropp med massan $m_r$ på det relativa avståndet $r$ kring en fast punkt.*

> [!note]- Härledning av enkroppsbilden
> **Masscentrum.** $m_1r_1=m_2r_2$ och $r_1+r_2=r$ ger
> $$
> r_1=\dfrac{m_2}{m_1+m_2}\,r\qquad r_2=\dfrac{m_1}{m_1+m_2}\,r
> $$
>
> **Kraften på kropp 1.** Den håller kropp 1 i en cirkel med radien $r_1$:
> $$
> F=m_1r_1\omega^2=\dfrac{m_1m_2}{m_1+m_2}\,r\omega^2=m_r\dfrac{v^2}{r}
> $$
>
> **Rörelsemängdsmomentet.** Summan för båda kropparna:
> $$
> L=m_1r_1^2\omega+m_2r_2^2\omega=\dfrac{m_1m_2^2+m_2m_1^2}{(m_1+m_2)^2}\,r^2\omega
> $$
> $$
> L=\dfrac{m_1m_2}{m_1+m_2}\,r^2\omega=m_rvr
> $$
>
> **Kinetiska energin.** På samma sätt:
> $$
> K=\dfrac12m_1(r_1\omega)^2+\dfrac12m_2(r_2\omega)^2=\dfrac12m_r(r\omega)^2=\dfrac12m_rv^2
> $$

$$
\boxed{\;F=m_r\dfrac{v^2}{r}\qquad L=m_rvr\qquad K=\dfrac12m_rv^2\;}
$$

Två gränsfall är värda att komma ihåg:

- **En kropp mycket tyngre**, $m_2\gg m_1$: $m_r\to m_1$. Den tunga kroppen står i praktiken still.
- **Lika massor**, $m_1=m_2=m$: $m_r=m/2$.

Den reducerade massan är alltid mindre än den minsta av de två massorna.

---

## 2. Korrektionen i Bohrs modell

I [[Bohrs modell för väteatomen]] antog vi att protonen står still. Eftersom kraftekvationen, kvantiseringsvillkoret och energin har exakt samma form med $m_r$ och det relativa avståndet $r$, räcker det att byta $m_e$ mot $m_r$ i alla formler. Energierna och Rydbergkonstanten är proportionella mot massan, banradierna omvänt proportionella:

$$
E_n\propto m_r\qquad r_n\propto\dfrac{1}{m_r}
$$

$$
\boxed{\;R_M=R_\infty\dfrac{m_r}{m_e}=\dfrac{R_\infty}{1+m_e/M}\;}
$$

där $R_\infty=1{,}0974\cdot10^{7}\text{ m}^{-1}$ är värdet för en oändligt tung kärna och $M$ kärnans massa. För väte är $M=1836{,}2\,m_e$, så

$$
m_r=\dfrac{1836{,}2}{1837{,}2}\,m_e=0{,}99946\,m_e
$$
*Fysika: Te (m_p/m_e)*

Joniseringsenergin blir då $0{,}99946\cdot13{,}606$ eV $=13{,}599$ eV i stället för $13{,}606$ eV, i överensstämmelse med mätvärdet $13{,}60$ eV. Korrektionen är ungefär $0{,}05\ \%$ — liten, men mycket större än spektroskopins mätosäkerhet.

---

## 3. Isotopförskjutning: väte och deuterium

Deuteriumkärnan består av en proton och en neutron och är ungefär dubbelt så tung som protonen. Kemiskt är deuterium väte ($Z=1$), men den reducerade massan skiljer sig:

$$
m_{r,\mathrm{H}}=0{,}99946\,m_e\qquad m_{r,\mathrm{D}}=0{,}99973\,m_e
$$

Alla våglängder är omvänt proportionella mot $m_r$, så varje deuteriumlinje ligger något kortare än motsvarande vätelinje:

$$
\dfrac{\lambda_{\mathrm{D}}}{\lambda_{\mathrm{H}}}=\dfrac{m_{r,\mathrm{H}}}{m_{r,\mathrm{D}}}=0{,}99973
$$

Den relativa förskjutningen är $0{,}027\ \%$, eller omkring $0{,}18$ nm för den röda Balmerlinjen. Det var den förskjutningen som avslöjade deuterium år 1932.

---

## 4. Exotiska tvåkropparssystem

När de två massorna är jämförbara är korrektionen inte längre liten:

- **Positronium** är en elektron bunden till en positron — samma massa, motsatt laddning. Med $m_r=m_e/2$ halveras alla energier, $E_n=-6{,}80\text{ eV}/n^2$, och avståndet mellan partiklarna dubblas.
- **Myoniskt väte** är en proton med en myon, $207$ gånger tyngre än elektronen, i stället för en elektron. Då är $m_r=186\,m_e$, så grundtillståndets energi blir $-2{,}53$ keV och radien $186$ gånger mindre än $a_0$.

> [!warning] Vanliga fel
> - **Massan byts ut på fel ställen.** Bara massan byts mot $m_r$; laddningarna och $Z$ är desamma.
> - **Fel radie i positronium.** Bohrformeln med $m_r$ ger *avståndet mellan partiklarna*, $r=2a_0$. Varje partikel kretsar på avståndet $a_0$ från masscentrum.
> - **För få värdesiffror.** Isotopeffekten ligger på fjärde decimalen; avrundas $\lambda_{\mathrm{H}}$ och $\lambda_{\mathrm{D}}$ till tre värdesiffror blir de lika. Räkna skillnaden via kvoten $m_{r,\mathrm{H}}/m_{r,\mathrm{D}}$.
> - **$m_r$ större än den minsta massan.** Den reducerade massan är alltid mindre än både $m_1$ och $m_2$ — en snabb kontroll av räkningen.

---

## 5. Lösta exempel

> [!example]- Exempel — H-alfa i väte och deuterium
> Beräkna våglängden för Balmerlinjen $H_\alpha$ ($3\to2$) i väte och i deuterium med hänsyn till den reducerade massan, och bestäm skillnaden mellan dem. Använd $R_\infty=1{,}0974\cdot10^{7}\text{ m}^{-1}$, protonens massa $1836{,}2\,m_e$ och deuteronens massa $3670{,}5\,m_e$.
>
> > [!note]- Lösning
> > **Reducerade massor.**
> > $$
> > \dfrac{m_{r,\mathrm{H}}}{m_e}=\dfrac{1836{,}2}{1837{,}2}=0{,}999456\qquad\dfrac{m_{r,\mathrm{D}}}{m_e}=\dfrac{3670{,}5}{3671{,}5}=0{,}999728
> > $$
> >
> > **Väte.** $R_{\mathrm{H}}=0{,}999456\cdot1{,}0974\cdot10^{7}=1{,}09680\cdot10^{7}\text{ m}^{-1}$:
> > $$
> > \lambda_{\mathrm{H}}=\dfrac{1}{R_{\mathrm{H}}\,(1/4-1/9)}=\dfrac{36}{5\cdot1{,}09680\cdot10^{7}}=\boxed{656{,}45\text{ nm}}
> > $$
> >
> > **Deuterium.**
> > $$
> > \lambda_{\mathrm{D}}=\lambda_{\mathrm{H}}\cdot\dfrac{0{,}999456}{0{,}999728}=\boxed{656{,}27\text{ nm}}
> > $$
> >
> > **Skillnaden.**
> > $$
> > \Delta\lambda=\lambda_{\mathrm{H}}\left(1-\dfrac{0{,}999456}{0{,}999728}\right)=656{,}45\cdot2{,}72\cdot10^{-4}=\boxed{0{,}179\text{ nm}}
> > $$
> > Här krävs fem värdesiffror i våglängderna för att skillnaden alls ska synas.
> >
> > *Ej kontrollerat mot facit — två oberoende lösningar stämmer överens.*

> [!example]- Exempel — Positronium
> Positronium är ett bundet system av en elektron och en positron, som har samma massa som elektronen men positiv laddning. Bestäm med Bohrs modell och reducerad massa joniseringsenergin, avståndet mellan partiklarna i grundtillståndet och våglängden för fotonen vid övergången $2\to1$.
>
> > [!note]- Lösning
> > **Reducerad massa.**
> > $$
> > m_r=\dfrac{m_em_e}{m_e+m_e}=\dfrac{m_e}{2}
> > $$
> >
> > **Joniseringsenergin.** $E_n\propto m_r$:
> > $$
> > E_{\text{jon}}=\dfrac{13{,}6\text{ eV}}{2}=\boxed{6{,}80\text{ eV}}
> > $$
> >
> > **Avståndet.** $r_n\propto1/m_r$, och Bohrradien avser nu avståndet mellan partiklarna:
> > $$
> > r=2a_0=2\cdot5{,}29\cdot10^{-11}\text{ m}=\boxed{1{,}06\cdot10^{-10}\text{ m}}
> > $$
> >
> > **Övergången $2\to1$.**
> > $$
> > \Delta E=6{,}80\left(1-\dfrac14\right)=5{,}10\text{ eV}\qquad\lambda=\dfrac{1240\text{ eV}\cdot\text{nm}}{5{,}10\text{ eV}}=\boxed{243\text{ nm}}
> > $$
> > Det är dubbelt så lång våglängd som vätets Lyman-$\alpha$, eftersom alla energier är halverade.
> >
> > *Ej kontrollerat mot facit — två oberoende lösningar stämmer överens.*

## Läsning

- [[z.University Physics.pdf#page=1320|39.3 Energy Levels and the Bohr Model of the Atom]]

---

← [[Väteliknande system]] · [[F0005T]] · [[De Broglie-våglängd]] →