---
kurs:
  - F0005T
tags:
  - fysik
  - molekylfysik
  - fenomen
förkunskaper:
  - "[[Masströghetsmoment]]"
  - "[[Rörelsemängdsmoment]]"
  - "[[Reducerad massa]]"
status: utkast
aliases:
  - Rotationsnivåer
  - Rotationsspektrum
  - Rotationsövergångar
---

> **Kurs:** F0005T
> **Förkunskaper:** [[Masströghetsmoment]], [[Rörelsemängdsmoment]], [[Reducerad massa]]

---

En diatomär molekyl kan rotera kring sitt masscentrum, och eftersom det inte finns någon potentiell energi är hela energin kinetisk: $E=K=L^2/2I$. Schrödingerekvationen kvantiserar rörelsemängdsmomentet på samma sätt som för väteatomen, vilket ger diskreta rotationsnivåer med växande avstånd. Övergångarna följer $\Delta l=\pm1$ och ligger i mikrovågsområdet; $E=0$ är tillåtet, så rotationen kan frysas ut. Det var så de första bindningsavstånden $r_0$ mättes.

$$
\boxed{\;E_l=l(l+1)\dfrac{\hbar^{2}}{2I},\qquad I=m_r r_0^{2}\;}
$$

---

## Formeln, symbol för symbol

$$
\underbrace{E_l}_{\substack{\text{bara rörelse-}\\\text{energi}}}
=\dfrac{\overbrace{l(l+1)\hbar^{2}}^{L^{2}\text{, kvantiserat}}}{2I}
$$

$$
\underbrace{I}_{\substack{\text{tröghets-}\\\text{moment}}}
=\underbrace{m_r}_{\substack{\text{reducerad}\\\text{massa}}}\,
\underbrace{r_0^{2}}_{\substack{\text{bindnings-}\\\text{avståndet}^2}}
$$

Det är den klassiska rörelseenergin $L^2/2I$ med $L^2$ kvantiserat. Nivåerna växer som $l(l+1)$ och glesnar uppåt, och eftersom $I$ innehåller $r_0^2$ ger rotationsspektrumet bindningsavståndet.

---

## 1. Tröghetsmomentet och den reducerade massan

Vi behandlar molekylen som två punktmassor $m_1$ och $m_2$ på fast avstånd $r_0$ som roterar kring det gemensamma masscentrum. För att använda formeln i rutan behöver vi [[Masströghetsmoment|tröghetsmomentet]] uttryckt i $r_0$.

Masscentrum delar avståndet så att momenten balanserar:

$$
m_1r_1=m_2r_2
$$

$$
r_1+r_2=r_0
$$

$$
r_1=\dfrac{m_2}{m_1+m_2}\,r_0,\qquad r_2=\dfrac{m_1}{m_1+m_2}\,r_0
$$

Insatt i tröghetsmomentet för två punktmassor:

$$
I=m_1r_1^{2}+m_2r_2^{2}=\dfrac{m_1m_2^{2}+m_2m_1^{2}}{(m_1+m_2)^{2}}\,r_0^{2}
$$

$$
I=\dfrac{m_1m_2}{m_1+m_2}\,r_0^{2}=m_r r_0^{2}
$$

Rotationen av två kroppar blir alltså densamma som rotationen av en enda kropp med den [[Reducerad massa|reducerade massan]] $m_r$ på avståndet $r_0$ från axeln. När den ena atomen är mycket lättare, som väte i HCl, blir $m_r$ nästan lika med den lätta massan.

![[f05-rotation-hantel.png|520]]

*Molekylen som en hantel. Masscentrum ligger nära den tunga atomen, och rotationen kring det har samma tröghetsmoment som en enda kropp med den reducerade massan $m_r$ på avståndet $r_0$ från axeln.*

---

## 2. Nivåerna och avståndet mellan dem

All energi är kinetisk, $E=L^2/2I$, och [[Rörelsemängdsmoment|rörelsemängdsmomentet]] är kvantiserat som $L^2=l(l+1)\hbar^2$. Det ger formeln i rutan. För att slippa skriva bråket kortar vi

$$
B=\dfrac{\hbar^{2}}{2I}\qquad\Rightarrow\qquad E_l=l(l+1)\,B
$$

Avståndet mellan två grannivåer:

$$
E_l-E_{l-1}=B\,\bigl[l(l+1)-(l-1)l\bigr]
$$

$$
E_l-E_{l-1}=2l\,B
$$

$$
\boxed{E_l-E_{l-1}=\dfrac{l\,\hbar^{2}}{I}}
$$

Avståndet växer linjärt med $l$: nivåerna $0,\ 2B,\ 6B,\ 12B,\ \dots$ glesnar uppåt. Typiska värden på $B$ är några tiondels till några meV, långt under $kT\approx26$ meV vid rumstemperatur. Därför är många rotationsnivåer besatta samtidigt i en gas.

---

## 3. Urvalsregeln och rotationsspektrumet

En foton bär rörelsemängdsmomentet $\hbar$, så vid absorption eller emission ändras $l$ med exakt ett steg (se [[Urvalsregler]]):

$$
\Delta l=\pm1
$$

Absorption från $l-1$ till $l$ kräver då fotonenergin

$$
hf=E_l-E_{l-1}=2lB,\qquad l=1,2,3,\dots
$$

Det rena rotationsspektrumet är alltså en serie linjer vid $2B,\ 4B,\ 6B,\ \dots$ med **konstant** avstånd $2B=\hbar^2/I$ mellan linjerna, trots att nivåerna glesnar. Fotonenergierna är några meV, vilket motsvarar våglängder från tiondels millimeter och uppåt: fjärr-IR och mikrovåg.

![[f05-rotation-reglage.png|680]]

*Rotationsnivåerna $E_l=l(l+1)B$ för HCl ($B=1{,}31$ meV), med reglage för $l$. Absorptionen $l\to l+1$ (orange) och emissionen $l\to l-1$ (blå) följer $\Delta l=\pm1$. Nivåerna glesnar uppåt, men linjerna till höger ligger med det konstanta avståndet $2B$.*

Molekylen måste ha ett permanent [[Dipolmoment|dipolmoment]] för att fältet ska kunna vrida den. HCl och CO har ett rotationsspektrum, men $\mathrm{H_2}$, $\mathrm{N_2}$ och $\mathrm{O_2}$ har det inte.

---

## 4. Bindningsavståndet ur spektrumet

Mäter vi den lägsta linjen, övergången $0\to1$, går räkningen baklänges:

$$
\Delta E_{0\to1}=E_1-E_0=2B=\dfrac{\hbar^{2}}{I}
$$

$$
I=\dfrac{\hbar^{2}}{\Delta E_{0\to1}}
$$

$$
m_rr_0^{2}=\dfrac{\hbar^{2}}{\Delta E_{0\to1}}
$$

$$
\boxed{r_0=\dfrac{\hbar}{\sqrt{m_r\,\Delta E_{0\to1}}}}
$$

Med $\Delta E_{0\to1}=hf$ räcker en frekvensmätning för att bestämma bindningsavståndet. Linjerna kan mätas med sex–sju värdesiffror, så $r_0$ blir mycket noggrant bestämt.

> [!warning] Vanliga fel
> - **Atommassan i stället för den reducerade massan.** $I=m_rr_0^2$, inte $m_1r_0^2$ eller $(m_1+m_2)r_0^2$. För HCl är skillnaden mellan $m_r$ och väteatomens massa bara $3\ \%$, men för CO är $m_r$ knappt hälften av syreatomens massa.
> - **$l^2$ i stället för $l(l+1)$.** Nivån $l=1$ ligger på $2B$, inte på $B$.
> - **Nivåavståndet tas som konstant.** Nivåerna glesnar ($2lB$). Det är *linjerna* i spektrumet som ligger med konstant avstånd $2B$.
> - **Fel övergång läses av.** Frekvensen för $l\to l+1$ är $(l+1)\cdot2B/h$. Står det "den tredje linjen" menas övergången $2\to3$, inte $3\to4$.
> - **u omvandlas inte till kg.** $1\text{ u}=1{,}661\cdot10^{-27}$ kg måste in innan $I$ räknas i SI.

---

## 5. Lösta exempel

> [!example]- Exempel — Rotationsnivåer i HCl
> HCl-molekylen ($^{1}$H: $1{,}008$ u, $^{35}$Cl: $34{,}969$ u) har bindningsavståndet $0{,}1275$ nm. Bestäm den reducerade massan, tröghetsmomentet, energin för nivån $l=1$ och våglängden för övergången $l=3\to2$.
>
> > [!note]- Lösning
> > **Reducerade massan.**
> > $$
> > m_r=\dfrac{1{,}008\cdot34{,}969}{1{,}008+34{,}969}\text{ u}=0{,}980\text{ u}=0{,}980\cdot1{,}661\cdot10^{-27}\text{ kg}=\boxed{1{,}63\cdot10^{-27}\text{ kg}}
> > $$
> > *Fysika: Te*
> >
> > **Tröghetsmomentet.**
> > $$
> > I=m_rr_0^{2}=1{,}627\cdot10^{-27}\cdot(0{,}1275\cdot10^{-9})^{2}=\boxed{2{,}64\cdot10^{-47}\text{ kg}\cdot\text{m}^{2}}
> > $$
> >
> > **Energienheten $B$.**
> > $$
> > B=\dfrac{\hbar^{2}}{2I}=\dfrac{(1{,}0546\cdot10^{-34})^{2}}{2\cdot2{,}645\cdot10^{-47}}=2{,}10\cdot10^{-22}\text{ J}=1{,}31\text{ meV}
> > $$
> >
> > **Nivån $l=1$.** $E_1=1\cdot2\cdot B=\boxed{2{,}62\text{ meV}}$.
> >
> > **Övergången $3\to2$.** Nivåavståndet är $2lB$ med $l=3$:
> > $$
> > \Delta E=6B=7{,}87\text{ meV}
> > $$
> > $$
> > \lambda=\dfrac{hc}{\Delta E}=\dfrac{1240\text{ eV}\cdot\text{nm}}{7{,}87\cdot10^{-3}\text{ eV}}=1{,}58\cdot10^{5}\text{ nm}=\boxed{158\ \mu\text{m}}
> > $$
> >
> > Våglängden ligger i fjärr-IR, som väntat för en rotationsövergång. Det är tillåtet enligt $\Delta l=-1$, så linjen syns i emission.
> >
> > *Ej kontrollerat mot facit — två oberoende lösningar stämmer överens.*

> [!example]- Exempel — Bindningsavståndet i HF
> Vätefluorid ($^{1}$H: $1{,}008$ u, $^{19}$F: $18{,}998$ u) absorberar vid $1{,}233$ THz i övergången $l=0\to1$. Bestäm molekylens bindningsavstånd och frekvensen för övergången $l=1\to2$.
>
> > [!note]- Lösning
> > **Reducerade massan.**
> > $$
> > m_r=\dfrac{1{,}008\cdot18{,}998}{1{,}008+18{,}998}\text{ u}=0{,}957\text{ u}=1{,}59\cdot10^{-27}\text{ kg}
> > $$
> >
> > **Energin för $0\to1$.**
> > $$
> > \Delta E_{0\to1}=hf=6{,}626\cdot10^{-34}\cdot1{,}233\cdot10^{12}=8{,}17\cdot10^{-22}\text{ J}=5{,}10\text{ meV}
> > $$
> >
> > **Tröghetsmomentet.** $\Delta E_{0\to1}=\hbar^2/I$ ger
> > $$
> > I=\dfrac{\hbar^{2}}{\Delta E_{0\to1}}=\dfrac{(1{,}0546\cdot10^{-34})^{2}}{8{,}17\cdot10^{-22}}=1{,}36\cdot10^{-47}\text{ kg}\cdot\text{m}^{2}
> > $$
> >
> > **Bindningsavståndet.**
> > $$
> > r_0=\sqrt{\dfrac{I}{m_r}}=\sqrt{\dfrac{1{,}36\cdot10^{-47}}{1{,}59\cdot10^{-27}}}=9{,}25\cdot10^{-11}\text{ m}=\boxed{0{,}0925\text{ nm}}
> > $$
> >
> > **Övergången $1\to2$.** Linjeenergin är $2lB$, så linjen för $l=2$ har dubbla energin mot $l=1$:
> > $$
> > f_{1\to2}=2f_{0\to1}=\boxed{2{,}47\text{ THz}}
> > $$
> >
> > **Rimlighetskoll.** HF är kortare än HCl ($0{,}1275$ nm), vilket stämmer med att fluor är en mindre atom än klor.
> >
> > *Ej kontrollerat mot facit — två oberoende lösningar stämmer överens.*

## Läsning

- [[z.University Physics.pdf#page=1441|42.2 Molecular Spectra]]

---

← [[Kristallstrukturer]] · [[F0005T]] · [[Molekylvibration]] →