---
kurs:
  - S0008M
tags:
  - matematik
  - sannolikhetslära
  - storhet
förkunskaper:
  - "[[Sannolikhetsfunktion]]"
  - "[[Frekvensfunktion]]"
status: utkast
aliases:
  - Typvärde
  - Modalvärde
  - Sannolikaste värdet
  - Mode
---

> **Kurs:** S0008M
> **Förkunskaper:** [[Sannolikhetsfunktion]], [[Frekvensfunktion]]

---

Det mest sannolika värdet är det värde där sannolikhetsfunktionen respektive frekvensfunktionen antar sitt största värde. Det sammanfaller inte nödvändigtvis med väntevärdet — för en sned fördelning skiljer de sig åt.

---

## 1. Definitionen

**Diskret** variabel: det mest sannolika värdet är det $x$ där [[Sannolikhetsfunktion|sannolikhetsfunktionen]] $p_\xi(x)$ är störst — den **högsta stolpen** i stolpdiagrammet.

**Kontinuerlig** variabel: det $x$ där [[Frekvensfunktion|frekvensfunktionen]] $f_\xi(x)$ har sitt maximum — toppen på kurvan.

Det kan finnas flera: $\text{Po}(4)$ har två lika höga stolpar, i $3$ och $4$.

---

## 2. Att hitta det för en diskret fördelning

När sannolikhetsfunktionen är given som formel är det enklast att jämföra grannar. Kvoten

$$
\dfrac{p_\xi(x)}{p_\xi(x-1)}
$$

är större än $1$ så länge stolparna växer och mindre än $1$ när de avtar. Det mest sannolika värdet ligger där kvoten passerar $1$. Alternativt räknar vi ut stolparna runt [[Väntevärde|väntevärdet]] och ser vilken som är högst — det mest sannolika värdet ligger ofta nära väntevärdet för de vanliga fördelningarna.

---

## 3. Mest sannolika värde, väntevärde och median

| Mått | Är | Syns i figuren som |
|---|---|---|
| mest sannolika värde | där sannolikheten är störst | högsta stolpen eller toppen |
| [[Väntevärde\|väntevärde]] | masscentrum | balanspunkten |
| [[Median och kvantiler\|median]] | mittpunkt i sannolikhetsmassa | punkten som delar massan i två lika delar |

> [!warning] Sneda fördelningar drar isär måtten
> För en symmetrisk fördelning med en topp sammanfaller alla tre. En lång svans åt höger drar väntevärdet åt höger men flyttar inte toppen. En enstaka tung stolpe långt bort kan till och med göra väntevärdet hur stort som helst medan det mest sannolika värdet står kvar.

---

## 4. Lösta lektionsuppgifter

> [!example]- Lektion 5, övning 7 — Tretton arbetare med handborrmaskin
> Tretton arbetare använder, statistiskt oberoende av varandra, en handborrmaskin $20\ \%$ av arbetstiden. Låt $\xi$ = antalet arbetare som i ett visst ögonblick använder sin handborrmaskin.
>
> a) Bestäm fördelningen för $\xi$.
>
> b) Bestäm $E(\xi)$ med hjälp av formelbladet.
>
> c) Vilket är det mest sannolika antalet arbetare som använder sin handborrmaskin?
>
> > [!note]- Lösning
> > **a)** Tretton oberoende arbetare, var och en med sannolikheten $0{,}2$:
> > $$
> > p(x) = P(\xi = x) = \binom{13}{x}\,0{,}2^x\,0{,}8^{13-x}, \quad x = 0, 1, \dots, 13, \qquad\text{dvs.}\quad \xi\in\text{Bin}(13,\ 0{,}2)
> > $$
> > Binomialkoefficienten räknar sätten att välja *vilka* arbetare som använder sin maskin, och potenserna ger sannolikheten för varje sådant val.
> >
> > **b)**
> > $$
> > E(\xi) = np = 13\cdot0{,}2 = \boxed{2{,}6}
> > $$
> >
> > **c)** Ur tabellen över fördelningsfunktionen, $p(x) = F(x) - F(x-1)$:
> > $$
> > p(0) \approx 0{,}0550, \quad p(1) \approx 0{,}1787, \quad p(2) \approx 0{,}2680, \quad p(3) \approx 0{,}2457
> > $$
> > och stolparna fortsätter att avta för $x \ge 3$. Det mest sannolika antalet är $\boxed{2}$.
> >
> > ![[lek05-bin13-typvarde.png|460]]
> >
> > **Jämförelse.** Väntevärdet $2{,}6$ ligger mellan de två högsta stolparna, lite förskjutet åt höger eftersom fördelningen har en svans åt höger.
> >
> > *Uppgiften (Vännman 3.31) är återgiven ur det handskrivna lösningsförslaget, och svaren stämmer med det.*

---

## Se även

- [[Väntevärde]]
- [[Median och kvantiler]]
- [[Sannolikhetsfunktion]]
- [[Frekvensfunktion]]

## Resurser

- [Wikipedia: Typvärde](https://sv.wikipedia.org/wiki/Typv%C3%A4rde)


---

← [[Frekvensfunktion]] · [[S0008M]] · [[Exponentialfördelning]] →