---
kurs:
  - S0008M
tags:
  - matematik
  - sannolikhetslära
  - sats
förkunskaper:
  - "[[Summor av normalfördelade stokastiska variabler]]"
status: utkast
aliases:
  - Fördelningen för medelvärdet
  - Stickprovsmedelvärdets fördelning
  - Kvadratrotslagen
---

> **Kurs:** S0008M
> **Förkunskaper:** [[Summor av normalfördelade stokastiska variabler]]

---

Medelvärdet av $n$ oberoende observationer från samma normalfördelning är självt normalfördelat, med samma väntevärde men med standardavvikelsen delad med $\sqrt n$. Resultatet är grunden för nästan all inferens om väntevärden.

---

## 1. Summa och medelvärde av likafördelade variabler

Låt $\xi_1,\dots,\xi_n$ vara oberoende och alla $N(\mu,\sigma)$. Med $a_i = 1$ respektive $a_i = 1/n$ i satsen om [[Summor av normalfördelade stokastiska variabler|summor av normalfördelade variabler]] får vi

$$
\boxed{\sum_{i=1}^n \xi_i \in N\!\left(n\mu,\ \sigma\sqrt n\right), \qquad \bar\xi = \dfrac1n\sum_{i=1}^n \xi_i \in N\!\left(\mu,\ \dfrac{\sigma}{\sqrt n}\right)}
$$

---

## 2. Kvadratroten

> [!important] Spridningen växer som $\sqrt n$, inte som $n$
> Summan av $n$ oberoende variabler har standardavvikelsen $\sigma\sqrt n$, medan $n$ gånger **samma** variabel, $n\xi_1$, har standardavvikelsen $n\sigma$. Oberoende fel tar delvis ut varandra, identiska fel gör det inte.
>
> För medelvärdet betyder det att standardavvikelsen $\sigma/\sqrt n$ krymper när $n$ växer — men långsamt: fyra gånger så många mätningar halverar spridningen.

Samma jämförelse gjordes med byggelementen i [[Linjära funktioner av stokastiska variabler]]: fem element valda på måfå gav mindre spridning i totallängden än ett element kopierat fem gånger.

---

## 3. När $\xi_i$ inte är normalfördelade

Väntevärdet och standardavvikelsen

$$
E(\bar\xi) = \mu, \qquad V(\bar\xi) = \dfrac{\sigma^2}{n}
$$

gäller för **alla** fördelningar, så länge variablerna är oberoende och har samma $\mu$ och $\sigma$. Normalfördelningen är däremot exakt bara om $\xi_i$ är normalfördelade. Annars ger [[Centrala gränsvärdessatsen]] att $\bar\xi$ är approximativt normalfördelad när $n$ är stort.

> [!note] Varför det spelar roll för inferens
> $\bar\xi$ är den naturliga [[Punktskattning|punktskattningen]] av $\mu$. Att vi känner dess fördelning, $N(\mu,\ \sigma/\sqrt n)$, är det som gör det möjligt att bygga [[Konfidensintervall|konfidensintervall]] och test för $\mu$.

> [!warning] Vanliga fel
> - **Glömma roten.** $D(\bar\xi) = \sigma/\sqrt n$, inte $\sigma/n$.
> - **Summa eller medelvärde.** Summan har $D = \sigma\sqrt n$, medelvärdet $\sigma/\sqrt n$. Läs vilken storhet frågan gäller.
> - **$\xi_1 + \dots + \xi_n$ är inte $n\xi_1$.** $n$ oberoende mätningar har variansen $n\sigma^2$; en mätning gånger $n$ har $n^2\sigma^2$.

---

## 4. Lösta lektionsuppgifter

> [!example]- Lektion 9, övning 6 — Störda kunder under 14 dagar
> Ett telemarketingföretag har kommit fram till att andelen störda kunder en godtyckligt vald dag kan beskrivas av en normalfördelning med väntevärde $55$ procent och standardavvikelse $8$ procent. Vad är sannolikheten att den genomsnittliga andelen störda kunder under en 14-dagarsperiod överstiger $58$ procent?
>
> > [!note]- Lösning
> > Låt $\xi_i$ = andelen störda dag $i$, $i = 1,\dots,14$, oberoende och $N(55,\ 8)$. Medelvärdet:
> > $$
> > \bar\xi \in N\!\left(55,\ \dfrac{8}{\sqrt{14}}\right) = N(55;\ 2{,}138)
> > $$
> > $$
> > P(\bar\xi > 58) = 1 - \Phi\!\left(\dfrac{58 - 55}{2{,}138}\right) = 1 - \Phi(1{,}40) \approx \boxed{0{,}081}
> > $$
> >
> > ![[lek09-medel-14-dagar.png|460]]
> >
> > **Jämförelse.** En enskild dag är $P(\xi_i > 58) = 1 - \Phi(3/8) \approx 0{,}35$. Genomsnittet över 14 dagar sprider mycket mindre, så det är betydligt ovanligare att det hamnar över 58.
> >
> > **På räknaren.** `normCdf(58,∞,55,8/√(14))`.
> >
> > *Facit: 0,081 (tabell med $z$ avrundat; utan avrundning 0,080). Antagandet om oberoende mellan dagarna står inte i uppgiften men krävs.*

> [!example]- Lektion 9, övning 9 (Vännman 6.14) — Kex i en förpackning
> Tjockleken hos ett kex är $N(0{,}4;\ 0{,}05)$ cm, oberoende mellan kexen. En förpackning rymmer en stapel på 12 cm.
>
> a) Vad är sannolikheten att minst 28 kex får plats?
>
> b) Vad är sannolikheten att minst 30 kex får plats?
>
> > [!note]- Lösning
> > Låt $\xi_k$ = tjockleken hos kex nummer $k$, $\xi_k\in N(0{,}4;\ 0{,}05)$, oberoende. Minst $n$ kex får plats om de $n$ första tillsammans är högst 12 cm.
> >
> > **a)** $\xi = \xi_1 + \dots + \xi_{28}$:
> > $$
> > \xi \in N\!\left(28\cdot0{,}4,\ 0{,}05\sqrt{28}\right) = N(11{,}2;\ 0{,}265)
> > $$
> > $$
> > P(\xi\le 12) = \Phi\!\left(\dfrac{12 - 11{,}2}{0{,}265}\right) = \Phi(3{,}02) \approx \boxed{0{,}9987}
> > $$
> >
> > **b)** $\xi = \xi_1 + \dots + \xi_{30}\in N(12;\ 0{,}05\sqrt{30})$, och 12 cm är precis väntevärdet:
> > $$
> > P(\xi\le 12) = \Phi(0) = \boxed{0{,}5}
> > $$
> >
> > *Uppgiften (Vännman 6.14) är återgiven ur det handskrivna lösningsförslaget, och svaren stämmer med det.*

---

## Se även

- [[Summor av normalfördelade stokastiska variabler]]
- [[Centrala gränsvärdessatsen]]
- [[Linjära funktioner av stokastiska variabler]]
- [[Punktskattning]]
- [[Konfidensintervall]]

## Resurser

- [Khan Academy: Sampling distribution of the sample mean](https://www.khanacademy.org/math/statistics-probability/sampling-distributions-library)
- [Wikipedia: Standard error](https://en.wikipedia.org/wiki/Standard_error)

---

← [[Summor av normalfördelade stokastiska variabler]] · [[S0008M]] · [[Centrala gränsvärdessatsen]] →