---
kurs:
  - M0067M
tags:
  - linjär-algebra
  - matris
förkunskaper:
  - "[[Matriser]]"
  - "[[Determinanter]]"
status: true
aliases:
  - Invers matris
---
> **Kurs:** M0067M
> **Förkunskaper:** [[Matriser]], [[Determinanter]]

---

En kvadratisk matris $A$ är **inverterbar** om det finns $A^{-1}$ med

$$
AA^{-1}=A^{-1}A=I.
$$

## Villkor för inverterbarhet

Följande är ekvivalenta:
- $A$ är inverterbar
- $\det A\neq 0$
- $Ax=0$ har endast trivial lösning
- Kolonnerna är [[Linjärt beroende och oberoende|linjärt oberoende]]
- $A$ har full rang

## 2×2-inversen

$$
A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix},\quad A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}
$$

## Allmänt: Gauss-Jordan

Radreducera $[A\mid I]$ till $[I\mid A^{-1}]$.

## Räkneregler

$$
(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1},\qquad (A^T)^{-1}=(A^{-1})^T
$$

## Se även

- [[Matriser]]
- [[Elementärmatriser]]
- [[Determinanter]]