---
kurs:
  - M0067M
tags:
  - matematik
  - linjär-algebra
  - matris
förkunskaper: []
status: true
aliases:
  - Matrismultiplikation
  - Matristransponat
  - Matris
---

---

## 1. Matrisnotation
> [3B1B: Vectors, what even are they?](https://youtu.be/fNk_zzaMoSs)

### 1.1 Kolumnvektorer

$$
A = [\vec{a}_1 \quad \vec{a}_2 \quad \vec{a}_3 \quad \cdots \quad \vec{a}_n]
$$

### 1.2 Matris-vektormultiplikation
> [3B1B: Linear combinations, span, and basis vectors](https://youtu.be/k7RM-ot2NWY)

Multiplicera en radmatris med en kolumnmatris:
$$
A\vec{x} = x_1\vec{a}_1 + x_2\vec{a}_2 + \cdots + x_n\vec{a}_n
$$

Detta är en **[[Geometri för linjära system|linjärkombination]]** av kolumnvektorerna.

---

## 2. Transponat

**Definition:** Transponatet $A^T$ fås genom att byta rader och kolumner.

$$
A^T_{ij} = A_{ji}
$$

**Symmetrisk matris:** Om $A^T = A$

---

## 3. Spåret (Trace)

**Definition:** Spåret av en kvadratisk matris är summan av diagonalelementen:

$$
\text{tr}(A) = \sum_{i=1}^{n} a_{ii}
$$

---

## 4. Översättning mellan representationer

$$
\text{Ekvationssystem} \longleftrightarrow \text{Matris} \longleftrightarrow \text{Vektorekvation} \longleftrightarrow \text{Utökad koefficient-matris} \longleftrightarrow \text{Gausselimination}
$$

---

## Resurser

### Videor
- [3Blue1Brown: Vectors, what even are they? (kap 1)](https://youtu.be/fNk_zzaMoSs) — grundläggande vektorbegrepp och notation
- [3Blue1Brown: Linear combinations, span, and basis vectors (kap 2)](https://youtu.be/k7RM-ot2NWY) — linjärkombinationer och kolumnvektorer
- [3Blue1Brown: Linear transformations and matrices (kap 3)](https://youtu.be/kYB8IZa5AuE) — hur matriser representerar transformationer

### Interaktiva verktyg
- [matrixcalc.org](https://matrixcalc.org/) — matrisberäkningar (determinant, invers, multiplikation)
- [Desmos Matrix Calculator](https://www.desmos.com/matrix) — matrisoperationer med stegvisa lösningar

### Wikipedia
- [Matrix (mathematics)](https://en.wikipedia.org/wiki/Matrix_(mathematics))
- [Transpose](https://en.wikipedia.org/wiki/Transpose)
- [Trace (linear algebra)](https://en.wikipedia.org/wiki/Trace_(linear_algebra))
- [Augmented matrix](https://en.wikipedia.org/wiki/Augmented_matrix)

### Fördjupning
- [Immersive Linear Algebra — Chapter 6: The Matrix](https://immersivemath.com/ila/ch06_matrices/ch06.html) — interaktiv 3D-bok